1、第一節第一節 級數的概念與性質級數的概念與性質一、基本概念一、基本概念 nnnuuuuu3211(常數項常數項)無窮級數無窮級數一般項一般項部分和數列部分和數列 niinnuuuus121級數的前級數的前 n 項部分和項部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 級數的收斂與發散級數的收斂與發散: :如如果果ns沒沒有有極極限限, ,則則稱稱無無窮窮級級數數 1nnu發發散散. .即即 常常數數項項級級數數收收斂斂( (發發散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) )例例 1 1 討討論論等等比比級級數數( (幾幾何何級級數數) ) nnnaqaqaq

2、aaq20 )0( a的的收收斂斂性性. .解解時時如如果果1 q12 nnaqaqaqasqqan 1)1(,1時時當當 q0lim nnqqasnn 1lim級數收斂級數收斂,1時時當當 q nnqlim nnslim級數發散級數發散時時如果如果1 q,1時時當當 q,1時時當當 q nasn級數發散級數發散 , 0,為為偶偶數數為為奇奇數數nnasn不不存存在在nns lim級數發散級數發散 綜上,得級數 發發散散時時當當收收斂斂時時當當,1,10qqaqnn例例 2 2 判判別別無無窮窮級級數數 11232nnn的的收收斂斂性性. . 解解nnnu 1232,3441 n已知級數為等比

3、級數，已知級數為等比級數，,34 q公比公比, 1| q.原級數發散原級數發散例例 3 3 判判別別無無窮窮級級數數 )12()12(1531311nn 的的收收斂斂性性. . 解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和和為為級級數數收收斂斂二、基本性質二、基本性質結論結論: : 級數的每一項同乘一個不為零的常數級數的每一項同乘一個不為零的常數, , 斂散性不變斂散性不變. .結論結論: : 收斂級數

4、可以逐項相加與逐項相減收斂級數可以逐項相加與逐項相減. .解解 1)1(5nnn 11115nnn5)111(lim5 nn 121nn, 121121 . 61521)1(51 nnnn故故)111()3121()211(lim5 nnn證明證明nkkknuuu 21 ,kknss kknnnnss limlim 則則.kss 類似地可以證明在級數前面加上有限項不類似地可以證明在級數前面加上有限項不影響級數的斂散性影響級數的斂散性.性性質質 4 4 收收斂斂級級數數加加括括弧弧后后所所成成的的級級數數仍仍然然收收斂斂于于原原來來的的和和. .證明證明 )()(21111nnnuuuu.lim

5、,limssssknknn ,knks 其前其前 k 項部分和項部分和.limlimssknkkk 注意注意收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂. )11()11(例例如如 1111 收斂 發散三、收斂的必要條件三、收斂的必要條件. 0lim nnu證明證明sunn 1設設,1 nnnssu則則1limlimlim nnnnnnssuss . 0 級數收斂的必要條件級數收斂的必要條件: :注意注意1.1.如果級數的一般項不趨于零如果級數的一般項不趨于零, ,則級數發散則級數發散; ; 1)1(4332211nnn例如例如 發散2.2.必要條件不充分必要條件不

6、充分. ., 0lim但但調調和和級級數數是是發發散散的的有有 nnu n131211例例如如調調和和級級數數證法一證法一: :nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其和為其和為假設調和級數收斂假設調和級數收斂)lim(2nnnss 于于是是ss , 0 .調調和和級級數數發發散散)(210 n便便有有.這這是是不不可可能能的的 )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8項4項2項2項 項m221每每項項均均大大于于21)1(1 mm項項部部分分和和大大于于即即前前由性質由性質4 4的推論的推論, ,知原級數知原級數( (調和級數調

7、和級數) )發散發散. .證法二證法二: :nsn1211 ,)1ln(111 ndxxn)( n故調和級數發散。故調和級數發散。調和級數的部分和調和級數的部分和dxxdxnnnnnn 11111dxxdxxdxxnn 13221111證法三證法三: :小結小結1 1. .由由定定義義, ,若若ssn, ,則則級級數數收收斂斂; ;2.2.當當0lim nnu, ,則級數發散則級數發散; ;3 3. .按按基基本本性性質質. .常數項級數的基本概念常數項級數的基本概念基本審斂法基本審斂法一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若nnan242)12(31 , ,則則 51nna= =_；2 2

8、、 若若nnnna! , ,則則 51nna= =_；3 3、 若級數為若級數為 642422xxxx則則 na_；4 4、 若級數為若級數為 97535432aaaa則則 na_；5 5、 若級數為若級數為 615413211 則當則當 n_時時 na_；當；當 n_時時 na_；6 6、 等比級數等比級數 0nnaq, ,當當_時收斂；當時收斂；當_時發散時發散 . .練習題練習題二二、由定義判別級數、由定義判別級數 )12)(12(1751531311nn的 收 斂的 收 斂性性. . 三三、判別下列級數的收斂性、判別下列級數的收斂性: : 1 1、 n31916131； 2 2、 )3121()3121()3121()3121(3322nn； 3 3、 nn101212014110121 . . 練習題答案練習題答案一、一、1 1、1086429753186427531642531422121 ； 2 2、543215! 54! 43! 32! 21! 1 ； 3 3、)2(642