1、根式及其運算二次根式的概念、性質以及運算法則是根式運算的基礎，在進行根式 運算時，往往用到絕對值、整式、分式、因式分解，以及配方法、換元法、 待定系數法等有關知識與解題方法， 也就是說，根式的運算，可以培養同 學們綜合運用各種知識和方法的能力.下面先復習有關基礎知識，然后進 行例題分析.二次根式的慨念：式子石叫作二次根式.二次根式的性質:(I)(Va/ = a ?（2）VcT =|a|= Cs 當日=0時，-a,當自<0吋.二次根式的運算法則:(j) aVni= (a + b)TinC2)Va /b =j書弋b>0 廟一唐Q0）.若心M7a>7b*設a，b，c，d，m是有理數

2、，且m不是完全平方數，則當且僅當也=G b = d時，a+ bTm = c + d-Tm*形如兄=日+応=自-命的兩個根式互稱為共輒豐賦，當兩個含有二次根式的代數式相乘時，如果它們的積不含有二次根 式，則這兩個代數式互為有理化因式.例1化簡:(1) Jk2 -4蠱 +4 +|1 -葢|* 其中 1<區<岔(2) J日 - b 晶- b _ J(b - 菱)° -1匕 _ a| 解（i由二次根式的性質盲TH可知，化簡二欽根式的一個有效方法是配方去掉根號，所以頂式=J(sc-2)勺 +|1- z|=|s - 2|十卩 _北|,因為x-2 V0, 1-x V 0,所以原式=2-

3、x+x-1=1要使后不有意義，必須a-b>0.所以J3 筑)衛2 -t>i 11* " fi|= a - b + 原式=(Va-b2 - (a-b) - (a-b)=a-b-a+b-a+b=b-a說明 若根式中的字母給出了取值范圍，則應在這個范圍內進行化簡; 若沒有給出取值范圍，則應在字母允許取值的范圍內進行化簡.例2化簡： 2710 + 14+715 + 721分析 兩個題分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化, 這樣計算化簡較繁我們可以先將分母因式分解后，再化簡.解（1）原式=邁斗語）（的十忌 _177-575 + -/?1 -5廬式宀需十朋76（1 + 22

4、 +/3） 二（、療+屈）認怎十擊） _忝（1+旋1屈 "翻壓匚1）=0怎-邏.例3化簡：J11 + 2伍,分析本例是復合二次式需云厲的化簡問題，優簡方袪主要有 下面兩種.解法1配方法.711 + 2-718 = V92>/1S+2J（屁殲三”后配方法是要設法找到兩個正數 x, y(x >y)，使x+y=a , xy=b，則J日士 M . 盤 +±2倆=水五 士歷屮 ”丘士腸O>y)解法2待定系數法.設尿 + Nf忑+石,兩邊平方得11 + 2-7?8 =定 +y + 2Sy,所以（黑十y = 11, zy = 18.所以 Vll + 2V13 =+ Vs

5、 = 3+ 72.例4化簡:JTBi J右-6J10T存邊Q7§；-厲說明本題為冷(H 顧是常見錯誤.U(2)這是多重復合二次根式，可從里往外逐步化簡.原式二盤3,血十4仏扭-“=& 3-唧靛4忑=&匚樂亠2恵=23_6（2*吃）=$1一趴挖=711-2/18 = 3- 72.例5 化簡 713 + 275*27*2735,分析 被開方數中含有三個不同的根式，且系數都是2，可以看成是將反+唐+石平方待耒的*因此用持定系數法來化簡.數法來化簡.解設713+2 + 2/7 235 = J7 十唐十忑兩邊平方得13 + 275 + 2>/7+2V35©、十y

6、十工= 13.所以xy = 5>弊=入Z5J 35,XX得(xyz)2=5 X7 X35=35 2.因為x, y, z均非負，所以xyz >0，所以xyz=35 .*，有z=7 同理有x=5 , y=1 所求x, y, z顯然滿足，所 以原式=1+擊十存例6化簡._妣+癥+ / + J1Q +嘉解設原式=x，則x2 = (4 - J10 + 2擊)+(4 + J10*25)*乂二/二禹侶亠Jl"2向-8-F 2725 =8 +2(1) 6/謁數庁細?顯餒有孟幺所以原式乜+ 1例 化簡：珂244石 J 血_ I召7T解法 1 利用(a + b)3= a3 + b3+ 3ab

7、(a + b)來解.k= 3j20 + W2 +3 V20-14V2.兩邊立方得扌=犯 + 3 37S* k.即 6 40= 0.將方程左端因式分解有(x-4)(x 2 + 4x + 10) = 0.因為x2 + 4x + 10 = (x + 2)2 + 6 >0 ,所以x-4 = 0, x = 4 所以原式=4 .解法2?血 + 1必=3 V8 + 12V2+12 + 27?同理討2。-14據=2-品 所以 原式=（2 +運） + （2-返）胡說明 解法2看似簡單，但對于三次根號下的拼湊是很難的，因此本 題解法1是一般常用的解法.例8化簡：（1）+a* ; Jy 十 2 十 3羽蘆.甘

8、+,2 +2a3 +2/f+a3 +?原鞏一*£十宜 + 1)十 2-7( a2 + a + l)(a2 a -i-1) + (a2 - a +1)V2=于J（為-站2 J旳-蚣g原式二嚴+嚴庖 *2苗+4 + 2曲-45J (MJ + a h十一 證 匚"If本小題也可用換元法來化簡.、, 5 LM梵十 5令J2y -X冷七)"則y=原式二崔f七+ 6x + 9HJ2 , (K + $(因為X。)-(.2y -5 + 3).解用換元法.lfe- Jy WJa= 3s2 +1,= x2 + 3.所臥原式=弓Jii 2 + 1亠(耳？ + 3)盂+3+ 1 一 (禺

9、'亠可猛|J J1 十 十 + £ 孕 71 3k +=3 J(1F # 恥 h= (l + x) + (l-K)=2.例ID己知3£=魯y=；-香,求聲-5xy +妒的值.解直接代入較繁，觀察x, y的特征有xy= L 卜+ y二 10.所以3x2-5xy + 3y2 = 3x2 + 6xy + 3y2-11xy=3(x + y)2-11xy=3X102-11 X1 = 289 .例11求s軸J門十1)(護+1)(，4鞏2* +1)(2為+ 0 41的值-分析 本題的關鍵在于將根號里的乘積化簡，不可一味蠻算.解 設根號內的式子為A，注意到1 = (2-1)，及平方

10、差公式(a + b)(a-b)二 a2-b2，所以A = (2-1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(2256 + 1) + 1=(22-1)(2 2 + 1)(24+ 1)(2 8+ 1)(2256 + 1) + 1=(24-1)(2 4 + 1)(28+ 1)(2 16 + 1)(2256 + 1) + 1= = (2256 -1)(2 256 + 1) + 12 X 256-1 + 1 =22 X 256折以原式=叫滬區=工=斗*例12若也=VS+ a計算共有2000層4=的值.分析與解 先計算幾層，看一看有無規律可循.因為a=V2 + L所以-= = 72-1, a 72

11、+1所以 2 +丄=%叵一1十2 = 返+ l = a,所以 丄矗-12+-"a所乩 不論多少層，原式=丄=-1.a加3求根式2-2 +匸雖十匸的值.解 用構造方程的方法來解設原式為 x,利用根號的層數是無限的特點，有-= k兩邊平方得兩邊再平方得x4-4x 2 + 4= 2 + x,所以 x4-4x2-x +2 = 0.觀察發現，當x = -1 , 2時，方程成立.因此，方程左端必有因式(x+ 1)(x-2)，將方程左端因式分解，有(x + 1)(x-2)(x 2 + x-1) = 0 .所以盜=一 1 Z= 2,更二 1 “-又因為XY厶所以z= 4 x = 2j耳=1應舍去*原式二牛1例上4設斗二 的整數部分為如水數部分為丹試求宀掃十護的值.解因為>/5 + 1(75 +1)33 + /5a/5-I而0< 牛所阪=N 廠 上二.所以E£盂2 += 4斗一氏2衣=+ 2(疔-1)卜 H - 75) 5練習1 .化簡:|2 + f>|+j4_#p + f(2Jx 十 1屁 - 32 .計算：Jt7皿卮 p)鳳 r 1 亠_羽十姫+ V2-1 丿5十廠（521-475 + 8-715.3 .計算