1、X22乂 1;16是不能確定橢圓6.分析：當方程有兩種形式時,2X應分別求解，如(1)題中由a2 y b21 求出 a2148 ,b237，在得方程148371后，不能依此寫出另一方程2y148372 2解：(1 )設橢圓的標準方程為務社a b由已知a 2b.又過點2,6，因此有2 2或爲右1 .a b226 26 2222".21或22 1 .abab由、，得a2148,b237 或 a22222XJ 1或LX1 2)設方程為X2y_1 由已知，ab252 , b213 故所求的方程為3, b c 3，所以a218 故所求方程橢圓講義與練習題型一：橢圓的第

2、一定義與標準方程例1、橢圓的一個頂點為 A 2,0，其長軸長是短軸長的 2倍，求橢圓的標準方程. 分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置.2 2解: (1 )當A 2,0為長軸端點時，b 1，橢圓的標準方程為： 1 ;41(2)當A 2,0為短軸端點時，a 4，橢圓的標準方程為：4說明：橢圓的標準方程有兩個， 給出一個頂點的坐標和對稱軸的位置, 的橫豎的，因而要考慮兩種情況.變式練習：求適合條件的橢圓的標準方程.(1)長軸長是短軸長的 2倍，且過點 2, 6 ;(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的聯線互相垂直，且焦距為2 2為x- L 1.189關鍵在于焦點的位置是否確定，若不能確定，

3、應設方程a2b2b2說明：根據條件求橢圓的標準方程的思路是“選標準，定參數”變式練習：已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為空和3例2、已知動圓P過定點A 3,0，且在定圓B: x 3 y2 64的內部與其相內切， 求動 圓圓心P的軌跡方程.解：如圖所示，設動圓P和定圓B內切于點M .動點P到兩定點， 即定點A 3,0和定圓圓心B 3,0距離之和恰好等于定圓半徑，即PA PB PM PB BM 8. 點P的軌跡是以 A , B為兩焦點，半長軸為 4,半短軸長為b . 42 32 . 7的橢圓的方程：167253解：設兩焦點為F1、 F2，且PF14.5從橢圓定義知，過P點

4、作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程.從PF12a PF1 PF22丫5 .即 a J5.例3、已知方程1表示橢圓，求k的取值范圍.sin PF|F2PF2PF11 、,可求出2PF1F2,2c6PF1cos6鄉，從而b2a2 c210所求橢圓方程為2 o 2x 3y1或區2y_1.3510105PF2知PF2垂直焦點所在的對稱軸，所以在Rt PF2F1中，22k50,解：由3k0,得 3 k5,且k4.k53 k,滿足條件的k的取值范圍是3 k 5 ,且k 4變式練習：221已知橢圓 xy1的離心率e，求k的值.k 8 92分析：分兩種情況進行討論.說明：本題易出現如下錯解

5、：由k 5 0,得3 k 5，故k的取值范圍是3 k 5.3 k 0,出錯的原因是沒有注意橢圓的標準方程中a b 0這個條件，當a b時，并不表示橢圓.1解：當橢圓的焦點在x軸上時，a2 k 8 , b2 9，得c2 k 1.由e ，得k 4 .2當橢圓的焦點在 y軸上時，a29 , b2 k 8，得c21 k .1 1 k 155由e ，得，即k 滿足條件的 k 4或k .2 9444說明：本題易出現漏解.排除錯誤的辦法是：因為k 8與9的大小關系不定，所以橢圓的焦點可能在 x軸上，也可能在 y軸上.故必須進行討論.總結區：求橢圓方程的總結: 題型二：第二定義的應用及焦半徑，焦點弦和焦點三角

6、形問題F ,過點A1, 3，點M在橢圓上，當AM| 2MF2 2例4、橢圓X y 1的右焦點為16 12為最小值時，求點 M的坐標.分析：本題的關鍵是求出離心率 e1，把2MF|轉化為M到右準線的距離，從而得以 M 2.3,. 3 .1說明：本題關鍵在于未知式|AM| 2MF|中的“ 2”的處理.事實上，如圖， e 1 , 即MF是M到右準線的距離的一半，即圖中的MQ，問題轉化為求橢圓上一點 M，使M到A的距離與到右準線距離之和取最小值.變式練習：已知橢圓求PAPR的最大值、最小值及對應的點 P坐標;21內有一點A(1,1), F!、F2分別是橢圓的左、右焦點，點P532PF2 的最小值及對應

7、的點 P的坐標.是目標函數當,分析：本題考查橢圓中的最值問題， 通常探求變量的最值有兩種方法： 即代數方法二是數形結合，即幾何方法本題若按先建立目標函數，再求最值，則不易解 決；若抓住橢圓的定義，轉化目標，運用數形結合，就能簡捷求解.解:如上圖，PR PF22aPA PR2a 6 , F2（2,0）, AF2PAPF2 AF2 2a AF26立，此時P、A、F2共線由PAPF2af2號僅當PAPF2af2PF!時成立，此時P、A、，二 PA PFj |pf.建立A、2 ,設P是橢圓上任一點，由PF2 af2J2 ,等號僅當PA PF2 AF2時成PF2 af2F2共線.F2的直線方程x y 2

8、0，解方程組x y 25x2 9y22a AF26 J2，等0,得兩交點45p(7瀘，5瀘)、卩2(7瀘，5，P點與P2重合時,綜上所述，P點與P重合時，PA PR取最小值6 <2PA PF2取最大值6如下圖，設P是橢圓上任一點，作PQ垂直橢圓右準線，Q為垂足，由a 3, c 2 ,圓第二定義知PF2PQ232， PQ ；pf2，PA 3PF2PQ,要使其和最小需有 A、Q共線，即求A到右準線距離.右準線方程為x A到右準線距離為1,代入橢圓得滿足條件的點P坐標（口，1）51說明：求PAPF2I的最小值，就是用第二定義轉化后，過A向相應準線作垂線段.巧e用焦點半徑PF2與點準距PQ互化是

9、解決有關問題的重要手段.例5、設P（xo , y。）是離心率為e的橢圓2 X2 a2y21 （a b 0）上的一點，P到左焦點Fi和b右焦點F2的距離分別為r1和r2，求證:ria ex0, r2 a ex。.并由此證明橢圓上的點到焦點距離最遠和最近的點都在頂點。分析：本題考查橢圓的兩個定義， 利用橢圓第二定義， 可將橢圓上點到焦點的距離轉化 為點到相應準線距離.X。解：P點到橢圓的左準線由橢圓第二定義，PFl e,PQ二 ri ePQ a exo，由橢圓第一定義，j 2a a ex。.說明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式, 題時，有著廣泛的應用.請寫出橢圓焦點在在解決與橢圓的焦半徑(或焦點弦)

10、的有關問 y軸上的焦半徑公式.變式練習：2 2xy(06四川)如圖，把橢圓1的長軸AB分成8分，過每個分點作x軸2516的垂線交橢圓的上半部分于R, P2,P七個點，F是橢圓的一個焦點，則PF| P2F |P7F|【解析】只需取橢圓的另一焦點與P , P2,R七個點分別連接，由結論1和對稱性可知:PF-14 53522已知橢圓41 , Fi、F2為兩焦點，問能否在橢圓上找一點M，使M至咗準線I的距離MN是MFj與MF2請說明理由.解：假設M存在，設MX-, y-，b . 3， c 1， e左準線I的方程是xMF1aex12 1x1，2MF2 a,2c1c1捲42 _ x12 _ x122解之得

11、X14或為125 .MN 4 x1 .又由焦半徑公式知:另一方面2 x12.1 2ex12 x1 . MN MF122.整理得 5x132x1480.則與矛盾，所以滿足條件的點 M不存在.說明：(1) 利用焦半徑公式解?？珊喕忸}過程.(2) 本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設存在，根據已知條件進行推理和運算進而根據推理得到的結果，再作判斷.(3)本例也可設 M 2cos，3sin 存在，推出矛盾結論(讀者自己完成)2 2Xy例7、已知橢圓方程 2 21 a b 0，長軸端點為A , A2，焦點為F1, F2, P是橢圓ab上-一占I*八 '、：A PA2, Fi

12、PF22.求證：FiPF?的面積S b tan2分析：求面積要結合余弦定理及定義求角1的兩鄰邊，從而利用 S abs in C求面積.2解：如圖，設P x, y ,由橢圓的對稱性,不妨設P x, y,由橢圓的對稱性,不妨設P在第一象限.由余弦定理知:由橢圓定義知:F1PF2PFi2PFi -PF2cos4c2 PFiPF2PF1 PF2 sin2a ,12b2則2得sin21 cosPFib2 tanPF22b21 cos總結區：焦點三角形的處理方法:變式訓練：已知Fi, F2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且 F1PF2 60 .(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)求證 PF1F2的面積與

13、橢圓短軸長有關.分析：不失一般性，可以設橢圓方程為2 2xy221 ( a b 0), P( x1 , y.|) ( y10 ).ab思路一：根據題設容易想到兩條直線的夾角公式，即tan60-KpF2 0乞.3，設1 KPF2 KPF1P(xi , yi),Fi (c , 0) , F2(c , 0),化簡可得3x/、3y；2cyi .3c20 .又2 2 %yia2b21，兩方程聯立消去 x12得、3c2y12 2b2cy1. 3b4 0，由y1(0, b，可以確定離心率的取值范圍；解出 y1可以求出 PF1F2的面積，但這一過程很繁.思路二：利用焦半徑公式 PF1 a exi, PF2 a

14、 exi，在 PF1F2中運用余弦定理,求Xi，再利用Xi a, a，可以確定離心率e的取值范圍，將 捲代入橢圓方程中求 力，便可求出 PF1F2的面積.思路三：利用正弦定理、余弦定理，結合PFiPF22a求解.2解：(法i)設橢圓方程為 篤ab 0), Pg , yj , Fi( c,0) , F2 (c , 0),c 0，貝U PFia exi,a ex .在PFiF2中,由余弦定理得cOs60(a exi)2 (a ex)2 4c22(a exi)(a exi)解得xi24 c23e；.(i)： Xi(0,a2, 0 竺a23e222a ,即卩4ca20.故橢圓離心率的取范圍是e 丄，i

15、).222心 2 4c a將xi2 -3e2 y_ b2yib43c2b2，即 yi.3ci二 SpfiF2 尹2|y2cb23cPFiF2的面積只與橢圓的短軸長有關.(法2)設PFiPF2PF2Fi,PFiF2,i20.(i)在PFiF2中，由正弦定理得msinnsin2csin 60sinm n2csin sin 60 m2a，二sin2asin2csin 602 cossin60sinsin 60sin2 sin cos2 2當且僅當時等號成立故橢圓離心率的取值范圍是e - ,1).2在PF1F2 中，由余弦定理得：(2c)22 2 m n2mn cos 602 m2n mn(m n)2

16、 3mn mn 2a,-. 4c2 4a2 3mn ,即mn4/22 (a c )4b2.331 ?3二S pf1f2- mnsin 60b2 .即 PFi F?的面積與橢圓短軸長有關.2 3說明：橢圓上的一點P與兩個焦點Fi, F2構成的三角形為橢圓的焦點三角形，涉及有關焦點三角形問題，通常運用三角形的邊角關系定理解題中通過變形，使之出現PF1 PF2的結構，這樣就可以應用橢圓的定義，從而可得到有關a , c的關系式，使問題找到解決思路.x2例8設F1、F2為橢圓一92y41 = 1的兩個焦點,p為橢圓上的一點.已知P、F1、F2是個直角三角形的三個頂點，且|PF1|>|PF21

17、9;求 胡的值-解：由題意PF| PF26, F1F225PF2F1為直角，則PF1144 亠PFjPF15PF2，故33PF22PF2PF12若F1PF2為直角,得 PF14, PF22，故PF1PF2卩店2|2，即|PF16 PF1 22072PF2 2，即 20 6 PF1 2 PF1注：該題易忽略F1PF2為直角，想當然的認為只是PF2F1為直角題型三：橢圓的離心率問題例9、一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率.解：a2122* 1V32c2 3c a ，二 ec3>)33說明：求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求a，求c，再求比.二是列含a和c的齊次方

18、程，再化含 e的方程，解方程即可.2 2變式訓練：設橢圓 篤 爲 1(a b 0)的左、右焦點分別為 Fi, F2, A是橢圓上的一點， a b1AF2 F1F2，原點0到直線AFi的距離為一|OFi .求橢圓的離心率.3解：易得a , 2b，從而有e22 2xv例10、 橢圓二 亍1 (a b 0)與x軸正向交于點 A，若這個橢圓上總存在點a bP，使OP AP (0為坐標原點)，求其離心率e的取值范圍.分析：/ O、A為定點，P為動點，可以P點坐標作為參數，把OP AP，轉化為P點坐標的一個等量關系，再利用坐標的范圍建立關于a、b、c的一個不等式，轉化為關于e的不等式.為減少參數，易考慮運

19、用橢圓參數方程.x a cos解：設橢圓的參數方程是(a b 0),y bsi n貝U橢圓上的點 P(acos , bsin ), A(a , 0),/ OPAP ,bsi na cosbsi na cos a即(a2 b2)cos2a2 cosb2 0，解得 cos1 或 cosb22 ab21 cos 1 二 cos1 (舍去)，b2b21，又 b2 02a2c(1)過一個焦點F作垂直于長軸的弦PP，求證：不論a、b如何變化,APB 120 .變式訓練：J2若已知橢圓離心率范圍(,1)，求證在橢圓上總存在點P使OP AP 如何2證明？2 2選作思考：已知橢圓C ：x2 y21 a b 0

20、, A、B是其長軸的兩個端點.a b(2)如果橢圓上存在一個點Q，使 AQB 120，求C的離心率e的取值范圍.分析：本題從已知條件出發，兩問都應從APB和 AQB的正切值出發做出估計，因此要從點的坐標、斜率入手本題的第（2）問中，其關鍵是根據什么去列出離心率e滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質：x a， y b，根據 AQB 120得到2ay22 2x y a、3，將 x222 a 2a 2 yb代入，消去x，用a、b、c表示y，以便利用y b列出不等式.這里要求思路清楚,計算準確,氣呵成.解：（1 ）設Fc,0 ,a,0 ,a,0 .b2c a是kAPb2，kBPb2b2b2APB是AP到

21、BP的角.二 tan APB2a22c2 2' a c tan APB 2，故 tan APBAPB120 .(2)設 Q x, y ,則 kQAAQB是QA到QB的角.yytan AQB x a x a2ay2221 yxya1 2 2x a CR4 on-2ay.3AQB120 ,- -222xya由于對稱性，不妨設 y0,于是2 x2 a2L冷 y2 3 1b22 a b22y 2ay 0.v y 0,2ab27任2yb,2ab2. b、3c22ab2,222小2- 3c , 4a a c 3c整理得、3 x2 y2 a22ay 0二 4c4 4a2c2 4a40, 3e4 4e

22、2 402 32 、6二 e -或 e 2 （舍），e 1.2 -總結區：離心率的值或范圍的求法（本質和通法） 題型四：弦中點問題例11、已知中心在原點，焦點在 x軸上的橢圓與直線 x y 1 0交于A、B兩點,M為AB中點，0M的斜率為0.25,橢圓的短軸長為2,求橢圓的方程.解：由題意，設橢圓方程為X由X2a2y1，得1X1X21a22a2yM11XM2 a4XM,yMkOM2, a2x22a2x1XM1為所求.說明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數法； 來解決弦長、弦中點、弦斜率問題.（2）直線與曲線的綜合問題,經常要借用根與系數的關系,2變式訓練：橢圓251上不同三點A x1 ,

23、y1 ,與焦點F 4,0 的（2）因為線段 AC的中點為4 ,也一y2 ,所以它的垂直平分線方程為:距離成等差數列.(1)求證X1X28 -（2）若線段AC的垂直平分線與x軸的交點為T ,求直線BT的斜率k.證明：（1）由橢圓方程知a5,b3 , c4.由圓錐曲線的統一定義知：|AF|2cAFa ex-!54 一捲.aa5X1c同理CF54X2 .TAFCF2BF5口9且 BF ,554L 4185X15 x25即X1X28 .555yiy22xyiy22 2又點T在x軸上，設其坐標為x0,O，代入上式，得：X) 4 丄一塵2 x1 x2又點A為，y1 , B X2, y2都在橢圓上，29y1

24、2525 X12 ,2Y29225 x；25將此式代入，并利用X1X28的結論得:229Y1Y2X1 X225XX29036,Xo 455kBT254Xo42x例12、已知橢圓21 ii，求過點p 1且被p平分的弦所在的直線方程.2 2分析一：已知一點求直線，關鍵是求斜率，故設斜率為利用條件求k.解法一：設所求直線的斜率為k，則直線方程為y-代入橢圓方程，并2整理得：1 2k2 x22k22k x由韋達定理得x-i2k22k12產P是弦中點x-X21 故得k -2所以所求直線方程為 2x分析二：設弦兩端坐標為x-, y-、X2, y2，列關于x1、x2、y1、y2的方程組，從而求斜率：y1X1

25、y2X2解法二1 1:設過P 1，丄2 2的直線與橢圓交于 A x-i, y1、B x2, y2，則由題意得2Xl2y11,22X22y21,2X1X21,y1y21.2 2一得x1X222y12y20 .將、代入得y1y21丄，即直線的斜率為1X1X222所求直線方程為2x 4y 3變式訓練：求過點(0, 2)的直線被橢圓x2+ 2y2= 2所截弦的中點的軌跡方程 解：設直線方程為y=kx+2，把它代入x2 + 2y2= 2,整理得(2k2+ 1) x2+8kx+6=0.要使直線和橢圓有兩個不同交點，則A> 0,即k< 62J6或k> 設直線與橢圓兩個交點為A( X1,y1

26、)、B(X2,y2),中點坐標為C (x, y),則2x1x2x= 一2從參數方程<4k2，y=2k21” 4kx= 22k212y=22k212k24k21+2 = k消去 k得 x2 + 2 (y 1)2= 2，且 | x |<說明：主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點(1) 有關弦中點的問題， 軌跡；過定點的弦中點軌跡.，解決有關弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率.“韋達定理應用”及“點差法”.有關二次曲(2) 解法二是“點差法”(3) 有關弦及弦中點問題常用的方法是: 線問題也適用.總結區：點差法: 題型五：參數方程問題(常用于最值)x 4 cos ,例1

27、3、設橢圓(為參數)上一點P與x軸正向所成角y 2、3si n的坐標.分析：利用參數 與 POx之間的關系求解.解：設P(4cos ,2、3sin )，由P與x軸正向所成角為 ，3二 tan 3乙込，即tan 2 而sin 0, cos 0 ,由此得到cos4 cossin罕， P點坐標為年，嘗).5552 2變式訓練：(1)寫出橢圓 L 1的參數方程；(2 )求橢圓內接矩形的最大面積.94分析：本題考查橢圓的參數方程及其應用.為簡化運算和減少未知數的個數，常用橢圓的參數方程表示曲線上一點坐標，所求問題便化歸為三角問題.”x 3cos解：(R).y 2si n(2)設橢圓內接矩形面積為S，由對

28、稱性知，矩形的鄰邊分別平行于x軸和y軸，設(3cos ,2s in )為矩形在第一象限的頂點，(0-),則 S 4 3cos 2sin12sin212故橢圓內接矩形的最大面積為12.說明：通過橢圓參數方程，轉化為三角函數的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關的最值問題，用參數方程形式較簡便.題型六：定值、最值問題2 例14、求橢圓y2 1上的點到直線x y 6 0的距離的最小值.3分析：先寫出橢圓的參數方程，由點到直線的距離建立三角函數關系式，求出距離的最小值.解：橢圓的參數方程為 xy3 cos ，設橢圓上的點的坐標為、3 cos,sin,則點到3 cossin 6直線的距離為d2sin 32s

29、in 3d最小值22 -說明：當直接設點的坐標不易解決問題時，可建立曲線的參數方程.i- V33變式訓練：設橢圓的中心是坐標原點， 長軸在x軸上，離心率e ,已知點P 0/322到這個橢圓上的點的最遠距離是,7，求這個橢圓的方程，并求橢圓上的點P的距離等于7的點的坐標.分析：本題考查橢圓的性質、距離公式、最大值以及分析問題的能力，在求d的最大值時，要注意討論b的取值范圍此題可以用橢圓的標準方程，也可用橢圓的參數方程，要 善于應用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問題，從而加強等價轉換、形數結 合的思想，提高邏輯推理能力.解法一：設所求橢圓的直角坐標方程是2 x-2 a2由 e2a2 .

30、2a b2ae1，即a22b .設橢圓上的點到點P的距離是d，則d2x23y4b23y23y4b23，其中如果b1，則當2b時,d2 （從而有最大值.241，其中a b 0待定.b2由此得b 門-，與b 1矛盾.2 2 2112因此必有b 成立，于是當y 時，d （從而d ）有最大值.222 2由題設得,7 2 4b23，可得b 1, a 2 .所求橢圓方程是 -1.411由y及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點.3, 1 ，點,3, 1 到點2 2解法二：根據題設條件，可取橢圓的參數方程是a cos bsi n，其中a0，待定，2 2 .22 ,為參數.由e與_21a a2-可得aa 1 e21

31、32，即a 2b.設橢圓上的點3x, y到點P 0,的距離為d，則2d22322ya cosbsi n232224b 3b sin3b s in9243b2 sin14b2 3，如果丄11，即b，則當sin2b2b221時，d2（從而d）有最大值.由題設得23 Lb，由此得b , 7231 122，與b 2矛盾，因此必有丄1成立.于是當sin時d2 （從而d ）2b有最大值.由題設知2b72x2 cos4b23， b1，a2.所求橢圓的參數方程是ysin由sin1,cos2可得橢圓上的是例 15、設 x， y R， 2x2 3y2 6x，求 x22y 2x的最大值和最小值.分析：本題的關鍵是利用形數結合，觀察方程2 22x 3y 6x與橢圓方程的結構一致設x2 y2 2x m，顯然它表示一個圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的位置關 系求得最值.解：由 2x2 3y2 6x，得23x22'1934 23可見它表示一個橢圓，其中心在，0點，焦點在x軸上，且過（0, 0）點和（3, 0）2點設 x2 y2 2x m，貝U x 1 2 y2 m 1它表示一個圓，其圓心為（一1