1、圓的方程【教學目標】在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程；會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心， 能 根據條件寫出圓的方程。進一步提高用解析法研究幾何問題的能力； 加深對數形結合思想和待 定系數法的理解；增強用數學的意識。【教學重難點】圓的標準方程的推導；圓的一般方程及其代數特征。【教學過程】（一）圓的標準方程問題1:已知一定圓C的半徑為r ,求此圓的方程。分析：設M是圓上任意一點，根據圓的定義，可知點 M到圓心C的距離等于r,所以圓C 就是集合 P=M|MC|二r如左圖，以圓心C原點建立平面直角坐標系, 設圓上任意一點M （x，y） ,因為lMC r,所以1x2 y2 r22.2整理得：x

2、y r（1）這里邊我們要注意點M的坐標與方程（1）的關系：由方程（1）的推導過程可知，若點 M在圓上，則M的坐標滿足方程（1）;反之，若點M的坐標是方程（1）的解，即X2 y2 r2 ,則有J，y2 r ,即MC r , 可知點M在圓上。222綜上可知，圓C的方程是X y r O說明：求圓的方程應需考察以下兩個方面： 首先應建立一個合適的平面直角坐標系 （若沒 有給出直角坐標系）；其次，所得方程是否為軌跡（圓）方程，可由曲線方程的定義驗證。問題2:若設一定圓C的圓心在（a，b）半徑為r ,求此圓的方程。設圓上任意一點M(x,y)，因為lMC r,22所以(x a) (y b) r,22_ 2整

3、理后得：(X a) (y b) r O22同問題1,可以驗證方程(X a) (y b)r2是圓心在(a，b)半徑為r的圓的方程。可以看到只要知道了圓心坐標和半徑，就可以得出其相應的圓方程。我們稱方程22_ 2(x a) (y b) r是圓心為C(a,b),半徑為r的圓的標準方程。說明：這種對應關系把圓和方程聯系起來，我們把圓的定義從文字語言轉化為數學語言，把圓的幾何性質代數化，從而體現了解析幾何的特點。例1.根據圓的方程寫出圓心和半徑(1)(x 2)2 (y 3)25；222(x a) y a , a o； 22(3) x 2x y 4y 0。說明：本題要求學生熟練掌握配方法來求圓的幾何量：圓

4、心及半徑。例2.寫出下列各圓的方程：(1)圓心在C(3,4) ,半徑為樂;(2)經過點 p(5，1),圓心 C(8, 3)。(3)直徑的兩個端點為 A (3,-2)和B (-1, 6)。(4)求以C (-1, 2)為圓心，并且和直線2x-3y-5=0相切的圓的方程。說明：本例體現了求圓方程的方法之一：找出圓心和半徑。例3.過點(2,2百)且與圓x2 y2 4相切的圓的方程。說明利用圓相切的幾何性質來解決該問題。(二)圓的一般方程2221 .問題1：將圓的標準方程(x a) (y b) r展開后都可化到：22x y Dx Ey F 0 這一形式。22反之對于任意的D、E、F R,方程x y Dx

5、 Ey F 0(*)是否就一定可以表示為圓的方程呢?_ 2_2_,D2,E、2DE4F（x 一） （y 一）將方程（*）配方：224_ 2 一 2 一（1）當 D E 4F0時,方程(*)表小的軌跡為圓心22r <D E 4F 的圓；D E22(,-)(2)當D E 4F 0時，方程(*)表示一個點 2 2 ；2 一 2(3)當D E 4F 0時，萬程(*)無解，無軌跡圖形。由此可知，當且僅當D2 E2 4F 0時，方程x2 y2 Dx Ey F 0是圓的方程。22我們把方程x y Dx Ey F 0(D E 4F 0)稱為圓的一般方程。2.例4.根據下列條件，求圓的方程：(1)經過三點

6、(2, 2)、(1, 0)、(3, 0);(2)過原點O(0，0)和點A3, 1 ,且在y軸上截得的弦長為2;(3)過點A (5, 2)和B (3, 2),且圓心在直線2x y 3 0上。說明：本題既可以通過幾何的方法求出圓心、半徑后寫出圓的標準方程；也可通過設出圓的一般方程后，用待定系數法來求出圓的方程。可讓學生在解題中體會下兩種方程的各自特點。小結：圓一般方程的代數特點：22a. x、y項的系數相同、沒有xy項；B. D、E、F是3個參量，因此只需3個獨立的條件就可以列出一個三元一次方程組， 解 出未知數D、E、F ,得到圓的一般方程，這與圓的標準方程中的 3個參量a、b、r意義上不 同，

7、但在代數方程中本質上完全相同。223.例5.過圓O: x y 16外一點M (2,-6)作直線交圓。于A、B兩點，求弦AB 的中點C的軌跡。說明：例5要求學生進一步熟練掌握用圓的幾何性質解決直線與圓相交位置關系下的各類 問題（三）課堂小結1圓的標準方程及圓方程下的圓心半徑的求法；2圓的一般方程的代數特征；3在求圓方程的問題中，兩類方程形式各有千秋：（ 1）圓的標準方程帶有明顯的幾何的影子，圓心和半徑一目了然。（ 2）圓的一般方程表現出明顯的代數的形式與結構，更適合方程理論的運用。【作業布置】書上習題【教學反思】（ 1）圓是最基本的曲線。教材將其安排在學習了曲線方程概念和求曲線方程之后，學習三大圓錐曲線之前， 旨在熟悉曲線和方程的理論， 為后繼學習做好準備。 學生在運用方程來描繪出圓的軌跡的過程中， 使學生建立起方程和軌跡的一種對應， 這對以后圓錐曲線的學習非常重要。同時，有關圓的問題，特別是直線與圓的位置關系問題，也是解析幾何中的基本問題，這些問題的解決為圓錐曲線問題的解決提供了基本的思想方法。 因此教學中應加強練習， 使學 生確實掌握這一單元的知識和方法。（ 2）在解決有關圓的問題