1、113 由于風向變化，一帆船不斷改變航向。它先沿北偏東 行駛 ，然后北偏西 行駛 ，最后又沿北偏東 行駛 。上述航程經歷了 h min 。 求：(1) 此期間帆船的總位移； (2) 此期間帆船的平均速度；(3) 如果在整個航程中速率不變，求速率。 指導： 解此題應先建立平面直角坐標系，將每一段位移用坐標分量 、 表示，然后疊加 總位移為 ；再由定義式求平均速度 和速率 ，式中 。 114 根據例11算出的運動學方程，計算小船在該坐標系中的速度和加速度。指導： 此題由例11算出的運動學方程 對時間求一階導數 二階導數 可得速度和加速度。 115 一質點的初始位置為 ，它的初速度 。此質點以恒加速

2、度 運動。 (1) 什么時刻質點的 坐標為最大值？ (2) 求該時刻質點的位置矢量。 提示： 此質點在 和 坐標軸上的投影點都是勻變速直線運動。指導：(1)這是求極值的問題，要求坐標的最大值，則，即，由勻變速直線運動的公式 解出坐標為最大值時的時間。 (2)將代入式，中，求出時刻和質點的位置 。116 某質點的運動學方程為 (1) 寫出此質點的速度矢量式；(2) 求它的速率表達式； (3) 求此質點在前 內走過的路程；(4) 求它的加速度矢量式； (5) 求該質點的法向加速度和切向加速度。指導： 從運動方程可知，質點作圓周運動。可直接由定義式 ， ， ， ， 求出各量。 117(1)設題114

3、中船的質量為 ，求船所受的合力的大小； (2)設題115中質點的質量為 ，求該質點所受的合力的矢量式； (3)設題116中質點的質量為 ，求該質點所受的法向力和切向力。指導：由于各物體的加速度均已知，所以可直接由 ， 求解。 118 有一定滑輪，半徑為 ，沿輪周繞著一根繩子，設懸在繩子一端的物體按 的規律運動，繩子和滑輪之間沒有滑動。求輪周上任一點 在 時刻的速度、切向加速度、法向加速度和總加速度。指導： 由于輪周上任一點速度大小和物體的速率相同，所以可由定義式速度 ，切向加速度 ， 法向加速度 ， 總加速度 求解。 119 將質量為 小球系在傾角 為 的光滑斜面上，如圖所示 。當斜面以加速度

4、 沿水平向左運動時,求：(1) 繩的張力；(2) 斜面對球的支持力；(3) 當加速度至少多大時,斜面對球的支持力為零；(4) 當加速度至少多大時,繩的張力為零。指導： 顯然，此題應以地面為參照系由牛頓第二定律求解。應先受力分析，在平行于斜面和垂直于斜面兩個方向列出動力學方程 式中重力 ，可 (1)求解出繩的張力 ，(2)解出斜面給小球的正壓力，(3)將 代入可得斜面運動的加速度，(4)將 代入可得繩的張力為零時斜面運動的最小加速度。 120 質量為 的物體系于長度為 的繩的一端，在豎直平面內繞繩子的另一端作圓周運動。設 時刻物體速度的大小為 ,繩子與豎直方向成 角,如圖所示。求 時刻繩中的張力

5、和物體的切向加速度。指導： 此題應以小球為研究對象，小球作圓周運動，用切向坐標和法向坐標討論較為方便。在切向和法向上列出動力學方程 和 ，解出 與 ，繩對小球的拉力與繩中的張力是一對作用力和反作用力，大小相等方向相反 。 121 有一飛機在俯沖后沿一豎直圓周軌道飛行，設飛機的速率恒定為 。為使飛機的加速度不超過重力加速度的 倍 ，此圓周軌道的最小半徑應為多少？設駕駛員的質量為 ，在最小圓周軌道的最低點，他對座椅的壓力為多大？指導： (1)飛機在豎直平面作勻速圓周運動，其加速度沿法向，由可知， 當飛機的加速度取最大值時，圓周軌道半徑最小，為； (2)在軌道最低點駕駛員受的正壓力(支撐力)和重力都

6、沿法向，由 求出正壓力 ，它與駕駛員對座椅的壓力大小相等，是一對作用力與反作用力。 *122 一質量為的質點沿直線運動。開始時刻速度為 。設它所受阻力與速度的大小成正比，即 為正的常量 。求速度 隨時間變化的函數關系。 提示： 由牛頓第二定律，得，再將上式變換為，然后等式兩邊分別積分。指導： 此題質點受變力運動，其加速度是變量，不可用勻變速直線運動的公式求解。應由牛頓第二定律 ，得，再將上式變換為，因時速度為，上式兩邊分別積分，得， 。 215 用蒸汽錘對金屬加工，錘的質量為 ，打擊時的速度為 ，打擊時間為 。求汽錘對金屬的打擊力。 指導： 在打擊中，錘因受到工件的反沖擊，速度發生了變化，打擊

7、結束時速度為零,由質點的動量定理 ，可求得錘受到的沖擊力 ，汽錘對金屬的打擊力與錘受到的沖擊力是一對作用力與反作用力， 。 216 一質量為 的人，以的速度跳上一輛迎面開來速度為的小車，小車的質量為 。求人跳上小車后，人和車共同運動的速度。指導： 顯然，此題用動量守恒定律解，但解此題需先選定坐標軸的正方向，確定各物體速度的正負，若以人的動量 的指向為坐標軸的正方向，由動量守恒定律 ，式中 ， ，可解出結果。式中“”表示方向與人上車前的速度的方向相反，而與小車原來的運動方向相同。 217 高空走鋼絲演員的質量為 ，為安全起見,演員腰上系一根 長的彈性的安全帶，彈性緩沖時間為 ，當演員不慎跌下時，

8、在緩沖時間內安全帶給演員的平均作用力有多大？若緩沖時間為 ,平均作用力為多大？指導： 該題分兩個過程討論，演員先從高度為 處作自由落體運動，由 求出安全帶剛拉直時演員的速度 ，再由動量定理 求出演員所受的合力，注意，此時演員受向上的拉力 和向下的重力 作用，以速度的方向為正方向，合力 ，所以 ，題中要求的平均作用力僅為安全帶給演員的平均拉力為 。 218 一靜止物體，由于內部作用而炸裂成三塊，其中兩塊質量相等，并以相同的速率 沿互相垂直的方向分開，第三塊的質量 倍于其他任一塊的質量。求第三塊的速度大小和方向。 指導： 物體炸裂時的內力遠大于物體所受的外力重力，所以系統動量守恒。三塊的動量和為

9、。可用兩種方法求解，一是解析法：以互相垂直的兩塊的動量方向為坐標軸的 、 軸方向，則第三塊的動量 ， 得 第三塊的速度大小為 ，其方向用動量與 軸夾角 表示 。二是矢量法：用矢量三角形解，如圖，第三塊速度的方向與其他兩塊的速度方向均成 角，由矢量圖可得 ，可求出第三塊的速度大小。 219 一個不遵守虎克定律的實際彈簧,它的彈性力 與形變的關系為 式中 ，。 求彈簧由 伸長到 時，彈性力所作的功。指導： 這是一道典型的變力作功的問題，應用定義 代入數據即可。 220 一人從 深的井中提水，起始時，桶中裝有 的水，桶的質量為 ，由于水桶漏水，每升高 要漏去 的水，求水桶勻速地從井中提到井口，人所作

10、的功。指導： 水桶勻速上升，由牛頓第二定律，水桶所受合力為0，人的拉力等于水桶的重力 ，但因水的質量隨高度減少，所以這是變力作功問題。選井中水面為坐標原點，向上為 軸正向，在 處水桶和水的總質量為 ，由定義 積分 ，可求出人所作的功。 221 質量為 的物體沿 軸作直線運動，所受合外力 ，如果在 處時速度 ，試求該物體移動到 處時速度的大小。指導： 已知物體受力與位置的關系，求運動速度，可用動能定理 求解。其中 ， ，故可得 。 222 質量為 的小球系于繩的一端，另一端固接于 點。繩長 。將小球拉至水平位置 ，然后放手。求小球經過圓弧上 、 、 點時的 (1)速度； (2)加速度； (3)繩

11、中的張力。假定不計空氣阻力,并且已知 指導： (1)取小球和地球為研究系統，系統所受外力為繩的拉力，但在小球運動過程中，小球的位移與外力垂直，拉力不作功，系統機械能守恒， ，即 ， 為 時刻繩與水平 方向的夾角，由此可求出小球在各位置的速率 。(2)由牛頓第二定律，切向力 ， 。法向力 ，而 ，(3)繩中的張力 。代入數據可得小球經過 、 、 各點時的速度、 加速度和繩中的張力 223 質量為 的子彈，在槍筒中前進時受到的合力大小為 子彈在槍口的速度是 。計算槍筒的長度。指導： 此題是已知物體受力與位置的關系和物體速度變化求物體所走過的距離 的問題，可用動能定理解。由功的定義式 求出功與距離

12、的關系，再由 ， ，解出距離 。 224 一彈簧，原長 ，勁度系數為 ，上端固定，下端掛一質量為 的物體。先用手托住，使彈簧保持原長。 (1) 如將物體托住慢慢放下，達靜止(平衡位置)時，彈簧的最大伸長和彈性力是多少？ (2)如突然松手釋放物體，物體達到最大位移，彈簧的最大伸長和彈性力是多少？物體經平衡位置時的速度時多少？提示： (1)平衡位置，合力等于零；(2) 最大位移時，瞬時速度等于零，也就是動能等于零。指導： 取彈簧、物體和地球為研究系統，系統所受合外力為0，機械能守恒。此題中勢能有兩部分，一是物體、地球系統的重力勢能，另一是彈簧、物體系統的彈性勢能。(1)由平衡位置合力為零 ， ，求

13、出物體在平衡位置時 彈性力 和彈簧伸長量 ；(2)由物體從突然松手時到最大位移時機械能守恒 ，其中 ， 求出彈簧的最大伸長 和彈性力 ；(3)由物體從初始位置到平衡位置機械能守恒 ， 即 ，且 ，即 求出物體經 平衡位置時的速度 。 225 彈簧下面懸掛質量分別為 和 的兩個物體。最初，它們處于靜止狀態，突然剪斷 和 之間的連線，使 脫落。試用動能定理或功能原理計算， 的最大速率是多少？已知 ， ， 。指導： 先建坐標，若以彈簧的原長端點的位置為原點，向下為 軸正向， 的初始位置為 ， 剪斷后， 到達新的平衡位置 時速度最大， 受力 ，由動能定理 ，式中 ，可得 解出最大速率 。 *226 如

14、圖所示，質量為 的小球，系在繩的一端，繩的另一端固定在 點，繩長 。今將小球以水平初速 從 點拋出，使小球在豎直平面內繞一周(不計空氣阻力)。(1)求證 必須滿足的條件： 。(2)設 ，求小球在圓周上 點 ( )時, 繩子對小球的拉力。 指導： 取小球和地球為系統，系統所受外力為繩的拉力，但在小球運動過程中，小球的位移與拉力垂直，拉力不作功，系統機械能守恒，設繩與 成角時，小球的速度為，則，由此求出小球速度與初速度的關系。(1)小球在最高點處有 ，而 ，從而證出 ，(2)由機械能守恒 代入已知條件 時,在 的 點 ，由牛頓第二定律, 在法向 ，可得繩子對小球的拉力 。 316 細棒長為,質量為

15、，設轉軸通過棒上離中心為 一點并與棒垂直，則棒對此軸的轉動慣量為(用平行軸定理計算)指導： 細棒對過質心的垂直軸的轉動慣量為 ，由平行軸定理 ，, 可求出結果。 317 在半徑為 的均勻薄圓盤中挖出一直徑為 的圓形面積，所剩部分質量為 ，圓形空面積的中心距圓盤的中心為 ，求所剩部分對通過盤心且與盤面垂直的軸的轉動慣量。指導： 此題用補償法解，先求未挖過的半徑為實心大圓盤對軸線的轉動慣量，再由平行軸定理求半徑為的小圓盤對邊緣且垂直于盤的軸的轉動慣量 （ ），即 兩者之差即為所要求的剩余部分轉動慣量。式中各部分質量可這樣求： 小圓盤的面積 ，實心大圓盤的面積 ， ， ，又所以挖出小圓盤質量， 而實

16、心大圓盤的質量 318 如圖所示，兩個物體質量分別為 和 ，定滑輪的質量為 ，半徑為 ，可看成圓盤。已知 與桌面的摩擦系數為 。設繩與滑輪無相對滑動，且可不計滑輪軸的摩擦力矩。求 下落的加速度和兩段繩中的張力。指導： 此題中定滑輪的質量為 不可忽略，滑輪為剛體，因此要對滑輪和兩個物體分別進行受力分析。如圖，由牛頓第二定律、轉動定律立出各物體的動力學方程 （1）對 ，由牛頓第二定律 （2）對 ，由定軸轉動定律 （3）而 （4） （5） （6）由此可解得物體的加速度與繩中的張力 319 如圖所示，一質量為 、半徑為 的圓盤，可繞垂直通過盤心的無摩擦的水平軸轉動。圓盤上繞有輕繩，一端懸掛質量為 的物

17、體。求物體由靜止下落高度 時，其速度的大小。 指導： 此題用機械能守恒解。以圓盤、物體和地球為系統，外力和非保守內力不作功，所以由 即 ，其中 ， ，可解得物體速度。 320 如圖所示，一物體質量為 ，從一傾角為 的斜面滑下，物體與斜面的摩擦系數為 。一飛輪裝在定軸 處，繩的一端繞在飛輪上，另一端與物體相連。若飛輪可看成實心圓盤，質量為 ，半徑為 ，其所受的摩擦阻力矩忽略不計。求： （1）物體沿斜面下滑的加速度； （2）繩中的張力。 指導： 設物體的質量為 ，滑輪的質量為 ，滑輪的半徑為 。隔離物體分析受力如圖，圖中 ，因物體沿斜面方向運動，所以在該方向和與之垂直的方向上列動力學方程： 對物體

18、， ，由牛頓第二定律，沿張力方向（平行于斜面） （1）在垂直于斜面的方向 （2）對滑輪，由轉動定律 （3）而 （4） （5） （6）聯立這些方程可解得物體的加速度 和繩中的張力 。 321 如圖所示，連在一起大小不同的鼓輪，其質量分別為 和 ，半徑分別為 和 。兩鼓輪各繞有繩索，兩繩索各掛有質量分別為 和 的物體 。求鼓輪的角加速度和繩的張力。（各鼓輪可看成質量均勻分布的圓盤，繩索質量和軸承摩擦不計。）指導： 隔離物體分析受力如圖，顯然，由牛頓第二定律和轉動定律列出動力學方程：對質量為 的物體， 由牛頓第二定律 （1）對質量為 的物體 （2）對鼓輪，由定軸轉動定律 （3）而 （4） （5） （

19、6）聯立這些方程可解得鼓輪的角加速度、二物體的加速度和繩中的張力。 322 如圖所示，一質量為 、長為 的均勻直棒，以鉸鏈固定于一端 點。可繞 點作無摩擦的轉動。此棒原來靜止，今在 端作用一與棒垂直的沖量 ，求此棒獲得的角速度。指導： 此題由角動量定理 解，沖量矩 ， ， ，可解出棒的角速度，其轉向為逆時針。 323 如圖所示， 與 兩飛輪的軸桿可由摩擦嚙合器使之連接， 輪的轉動慣量為 。開始時， 輪靜止， 輪以 的轉速轉動。然后使 和 連接，連接后兩輪的轉速 。求：（1） 輪的轉動慣量；（2）在嚙合過程中損失的機械能。指導： 、 兩飛輪組成的系統在嚙合過程中無外力矩的作用，角動量守恒，由式

20、解出 輪的轉動慣量 ；再由嚙合過程中轉動動能的減少 求出最后結果。 324 質量為 ，長為 的均勻細棒，在水平面內繞通過棒中心并與棒垂直的固定軸轉動。棒上套有兩個可沿棒滑動的小物體，它們的質量都是 。開始時，兩個小物體分別被固定在棒中心的兩側，距棒中心都是 。此系統以每分鐘15圈的轉速轉動。求: (1) 當兩小物體到達棒端時系統的角速度； (2) 兩小物體飛離棒端后，系統的角速度。指導： 在本題中，小物體從開始位置到離開棒的過程中，棒和小物體組成的系統不受外力矩的作用，角動量守恒。開始時，棒和小物體的角速度相同為 ，兩小物體在處角動量均為，由角動量守恒，解出。小物體離開棒的瞬時，棒仍以的角速度

21、轉動，而小物體的切向速度為 。 4-10：一系統從狀態 沿 過程到達狀態 ，吸收了 的熱量，同時對外作功 。(1) 如沿 過程，做功為 ，問系統吸收多少熱量？(2) 系統從狀態 沿圖示曲線所示過程返回狀態 ，外界對系統做功 ，問系統是吸熱還是放熱？數值多少？指導： 此題中幾個過程的始狀態和終狀態均為圖中 點和 點，內能僅是狀態的函數，因此，我們可由 過程利用熱力學第一定律 求出 、 狀態的內能的增量 ，(1) 沿 過程從狀態 到狀態 系統吸收的熱量為 ，(2) 系統從狀態 沿圖示曲線所示過程返回狀態 ，吸收的熱量為 。 418 如圖所示，一定量的空氣，開始在狀態 ,其壓強為 ，體積為 ，沿直線

22、 變化到狀態 后，壓強變為 ，體積變為 。求此過程中氣體所作的功。 指導： 此題利用氣體所作功 在量值上等于 圖上過程曲線下的 面積求解，在此過程中氣體作正功，即 419 壓強為 ，體積為 的氮氣，摩爾定體熱容為 ,從 加熱到 。 (1) 體積不變時，氣體內能增量是多少？吸收熱量是多少？ (2) 壓強不變時，氣體內能增量是多少？吸收熱量是多少？指導： 此題應先由理想氣體狀態方程 求出氣體的摩爾數 ，(1)體積不變的過程，氣體不做功，內能的增量等于吸收熱量 ；(2)是等壓升溫過程，內能僅是溫度的函數， ， 吸收熱量 ，式中 ， 所以 。 420 理想氣體盛于氣缸中,設氣缸活塞與氣缸壁間無摩擦。其

23、等壓摩爾熱容為 ，開始時壓強為 ，體積為 。將此氣體在等壓下加熱，使氣體體積增大一倍。然后在等體下加熱至壓強增大一倍。最后絕熱膨脹使溫度降為起始溫度。請將全過程在 圖中畫出，并求內能的增量和對外所做的功。 指導： 全過程如圖，此理想氣體系統開始狀態為,從到為等壓過程，從到是等體過程，從到是絕熱膨脹過程。由于初態和末態溫度相等，所以，從狀態到狀態的內能增量 。由熱力學第一定律， ，全過程吸收的熱量等于對外做的功。絕熱過程無熱量交換，所以全過程系統對外所做的功為 ，而 ，再利用理想氣體狀態方程 和 將T 換為已知的 、 ，即得 。而 ， ，可解出全過程氣體外所做的功。 421 有 、 理想氣體。在

24、等溫過程體積膨脹為原來的3倍，求氣體對外作的功。 指導： 在等溫過程中， 理想氣體狀態方程 中的溫度是常量（ ），因而壓強 與體積 的函數關系為 ，從 等溫膨脹到 ，氣體對外做功為， ，利用理想氣體狀態方程解出 代入積分即可。 422 的氮氣，溫度為 ，壓強為 。將氣體絕熱壓縮，使其體積變為原來的 。求(1) 壓縮后的壓強和溫度；(2) 在壓縮過程中氣體所作的功。 指導： 設初始壓強、體積和溫度分別為 、 和 ，壓縮后的壓強、體積和溫度分別為 、 和 。(1)由絕熱方程 、 解出 、 ；(2)由求出，而氣體絕熱過程作功等于內能的減少，即 。 423 一卡諾機，在溫度 和 的兩個熱源間運轉。 (

25、1) 若一次循環，熱機從的熱源吸進 的熱量，問應向 的熱源放出多少熱量？ (2) 若此循環逆向工作（按制冷循環工作），從 的熱源吸進 熱量, 問應向 的熱源放出多少熱量？ 指導：(1) 對卡諾熱機， ，故向低溫熱源放出的熱量為 ； (2) 對卡諾制冷機，有 ，故向高溫熱源放出的熱量 由卡諾制冷機 求出向高溫熱源放出的熱量。 424 一卡諾機低溫熱源溫度為 ，效率為 ，若要把它的效率提高到 ，高溫熱源的溫度應提高多少度？指導： 由 分別解出兩個不同效率時高溫熱源的溫度，再求其差。 425 有一以理想氣體為工作物質的熱機，其循環過程如圖所示。試證明熱機效率為 指導： 這是由三個過程組成的循環過程，

26、其中絕熱過程 ，等體過程 為吸熱過程 ，等壓過程 為放熱過程 。將二式代入 化簡即可。 426 一定量的理想氣體經圖示循環，請填寫表中的空格。指導： 對各過程應用熱力學第一定律 ，由各過程的特征可得下表（表中方框內的數字如 是已知的。） 內能增量 作功 吸熱量 *427 質量為 ，摩爾質量為 的理想氣體，在等體過程中溫度從 升高到 。試證這一過程中熵變為 指導： 在氣體的初態和末態間作等體可逆曲線。在氣體沿此曲線溫度升高 的元過程中，氣體吸熱為 熵增為 *428 質量為 ，摩爾質量為 的理想氣體，摩爾定壓熱容為 。在等壓過程中溫度從 升高到 。試求這一過程中熵變。指導： 在氣體的初態和末態間作

27、等壓可逆曲線。在氣體沿此曲線溫度升高 的元過程中，氣體吸 熵增為 電荷 與 相距 ，求兩電荷連線上電場強度為零的位置。指導：兩個電荷均帶正電，在兩電荷之間的連線上，兩電荷的電場強度方向相反，場強為零點一定在兩個電荷之間 以一個電荷的位置為坐標原點， 軸的方向指向另一個電荷，則兩電荷在 處產生的場強分別為 ， ， 由，即 解出電場強度為零的位置 。 517 一細棒被彎成半徑為 的半圓形，其上部均勻分布有電荷 ，下部均勻分布電荷 ，如圖所示。求圓心處的電場強度 。 指導：這是求電荷連續分布帶電體場強的問題，且電荷分布有對稱性，電荷線密度 。在上半弧取電荷元 。對圓弧類問題用角量討論較為方便，將 代

28、入，則 在 點產生的場強的大小為 ，方向如圖所示； 在下半弧對稱位置取電荷元 ，其在 點產生的場強的大小與 的大小相等，方向關于 軸對稱，所以總電場僅有 方向的分量。 ，積分 。 518 兩平行無限大均勻帶電平面上的面電荷密度分別為 和 ，如圖所示。求： (1) 圖中三個區域的場強 、 、 的表達式；(2) 若 ，那么 、 、 各多大？ 指導：二電荷均勻分布的無限大平板的電場均為勻強場，左邊平板的電場方向如下圖實箭頭所指，大小為 ，右邊平板的電場方向如圖中虛箭頭所指，大小為 ，由疊加原理即可求得個區域的場強519 一半徑為 ，圓心角為 的圓環上均勻分布 。求環心處的電場強度。 指導：此題應該選

29、取一合適的坐標系，如取圓環的對稱軸為 軸，坐標原點位于圓心的坐標系。環上單位長度電荷絕對值為 。如圖，在 處取電荷元 ，其在環心 處的電場強度方向如圖， 大小為 由于對稱，在 方向， 。在 方向 從 到 積分，即可得 。 因此，環上電荷在環心的電場強度為 520 若電荷 均勻分布在長為 的細棒上，求證在棒的延長線上，且離棒的中心為 處的電場強度的大小為 指導：取坐標如圖。在棒上 處取微元 ，其上電荷為 ，其在棒的延長線上距中心 處的 點的場強方向沿 軸正向，大小為 從 到 積分即可得證。521 若電荷 均勻地分布在長為 的細棒上。求證在棒的垂直平分線上，離棒為 處的電場強度大小為 當 時，求離

30、棒為 處的電場強度。 指導：取坐標如圖。 在棒上 處取微元 ，其上電荷為 ，其在棒的垂直平分線上距中心 處的 點的場強方向如圖，大小為 由對稱知，在 方向， 。在 方向 由 ， ， ， 故 將 變換為 ，或將 變換為 后積分，即可得證。對 積分時，積分限為從 到 ，對 積分的積分限為從 端對應的 到 端對應的 ，而 當 時，令 ，為線電荷密度，離棒為 處的電場強 若是正電荷，則 垂直于長棒向外，此結果應熟記。 522 邊長為 的立方盒子的六個面分別平行于 、和平面。盒子的一角在坐標原點處，在此區域有勻強電場，場強。求通過各面的電場強度通量。 指導：勻強電場通過平面的通量為 ， 為垂直于 軸的兩

31、個面，為垂直于軸的兩個面， 為垂直于軸的兩個面， ，代入已知條件，可分別計算通過垂直于三個坐標軸的平面的電通量 ， ， 523 一均勻帶電半圓環，半徑為 ，電量為 ，求環心處的電勢。指導：在半圓環上取微元 ，該微元所帶電量為 ，其在圓心的電勢為 ，對半圓環積分即可求得結果。 524 一電荷面密度為 的無限大均勻帶電平面，若以該平面處為電勢零點，求帶電平面周圍的電勢分布。 指導：建立坐標如圖所示。 無限大平板在周圍空間的場強方向如圖中箭頭所示， 大小為 ，故 由平板電勢為零有點 ， 在 的區域，電勢分布為 在 的區域，電勢分布為 因此 525 如圖所示，已知 ， ； ， 。求：(1) 點和 點的

32、場強和電勢；(2) 點和 點的電勢；(3) 將電量為 的點電荷 由 點移到 點，電場力所作的功；(4) 將 由 點移到 點，電場力所作的功。 指導：(1)、(2)由疊加原理求各點的場強和電勢，求解過程中要正確地寫出各源點電荷到場點的距離，注意場強是矢量，分析其方向。(3)、(4) 由 求電場力所作的功。 13 如圖所示，有兩根平行的長直導線，相距 ，分別載有同方向的電流 和。求 (1) 點處磁感強度的大小和方向； (2) 為零的位置。 指導： 長直導線產生的磁場公式為 ， (1)兩平行的長直導線在 點處磁感強度的方向相同，垂直向外，由疊加原理 可求得 點的磁感強度； (2) 磁場為零的點必在兩

33、導線之間，該處兩直導線的磁場方向相反，大小相等。 設距 為，由 可解出結果。 614 如圖所示，兩導線沿半徑方向分別接入一質量均勻的導線環上的 、 兩點，并與很遠處的電源相接，求環心處的磁感強度。 指導： 由圖知弧 和弧 并聯，有 ，而，電阻與圓弧長度成正比，因而也與圓弧的張角成正比，于是 ，而兩段圓弧上的電流在中心點的磁場方向相反，可解出 615 將導線彎成邊長為 的正六邊形，若沿導線流過電流強度為 的電流，求六邊形中心處的磁感強度的大小。 指導： 此題由疊加原理解，每載流邊在 點的磁感強度方向相同均為 ，大小為 ，式中 ，代入上式，可解出 點的磁感強度 的值。 616 如圖所示，兩根長直導

34、線互相平行地放置，導線內的電流大小相等均為 ，方向相同，求圖中 、 兩點的磁感應強度 的大小和方向（圖中 ）。 指導： 此題由磁場的疊加原理求解，在 點，兩導線的磁感強度大小相等、方向相反， ；在 點，兩導線的磁感強度大小相等 。方向如圖，合磁感應強度方向垂至于 向左，大小為 。 617 如圖所示，載有電流 的長直導線，距此導線 處放置一矩形回路與導線共面。求通過此回路所圍面積的磁通量。 指導： 長直導線產生的場是非均勻場，求磁通量要積分，在距長直載流導線 處取面元 ，該處磁感強度方向為 ，大小為 ，磁通量為 ，通過整個回路所圍面積的磁通量為 。 618 一質譜儀的構造原理如圖所示，可用它測定

35、離子質量。離子源 產生質量 、電荷 的正離子。離子的初速度很小，可視為靜止的，離子源是氣體正在放電的小室。離子產生出來后經電勢差 加速進入磁感強度為 的勻強磁場中。在磁場中，離子沿一半圓周運動后射到距入口縫隙 處的照相底片上，并由照相底片把它記錄下來。若根據實驗測定可得到 、 、 、 ，求離子的質量。 指導： 帶電粒子在電勢差為 的電場中加速，電場力的功等于粒子動能的增量 。從而以速度 垂直進入磁場，在磁場中受洛倫茲力的作用，作勻速圓周運動， ，解出離子的質量 。 619 一線圈由半徑為 的四分之一圓弧 組成，如圖所示。通過的電流為 ，把它放在磁感強度為 的均勻磁場中， 的方向垂直紙面向里，求

36、(1) 、 、 弧所受磁力的大小和方向；(2) 整個線圈受的合力。 指導： 載流導線在磁場中所受安培力為 。由于 是勻強場，故 段： ，方向向下； 段： ，方向水平向右。 弧受力與 弦相同， ，方向垂直于弦 ，且背離圓心，式中 。(2) 整個線圈受的合力為 ，式中括號中矢量積分 ， 。 620 如圖所示，一根長直導線載有電流 ，矩形回路載有電流 。求作用在回路上的合力。已知 ， ， 。 指導： 長直導線在矩形回路處產生的場的方向為 ，大小為 ，矩形回路上下兩邊所受的安培力大小相等、方向相反、在同一條直線上，相互抵消；左右兩邊受力方向相反，大小分別為 和 ，回路所受合力為 ，方向向左，式中 ，

37、， 。 14 一匝數的線圈，通過每匝線圈的磁通量 ， 求：（1）任意時刻線圈感應電動勢的大小（2）在 時，線圈內的感應電動勢的大小。指導： 此題可由法拉第電磁感應定律i 代入磁通量的表達式求導，并代入數據即可得結果。 715 如圖所示，長直導線中通有以 的變化率穩定增長的電流， 求： (1) 若某時刻導線中的電流為，那么，穿過邊長為的正方形回路與長直導線共面）的磁通量 為多少？ (2) 回路中感應電動勢多大？感應電流的方向如何？ 指導： 先取坐標如圖，寫出直導線周圍磁場的表達式 ，在正方形上取面元 ( )，通過此面元的磁通量為 ，由 求出磁通量 ，再由i 求出感應電動勢，感應電流的方向亦可由楞

38、次定律判斷。 716 如圖所示，長 的金屬棒 繞通過 端的 軸旋轉，棒與 的夾角為 ，棒的角速度 ，磁場 的方向與 軸相同，大小為，求 上的感應電動勢的大小和方向。 指導： 在棒上沿 、距端為處取微元 ，微元的動生電動勢為 i，的方向垂直于軸， 故 ，又， 將此兩式代入i中，積分可得。 7-17 在無限長直導線中通有電流 ，一矩形線框與長直導線共面。線框上接有電壓表 ，并以速度 沿徑向離開載流直導線，如圖所示。(1) 求電壓表的讀數（用 、 、 表示），并在圖中標出電壓表的正、負極；(2) 若 ， ， ， ， ，則電壓表的讀數為多少？指導： (1) 線框平面上距長直載流導線 的磁感強度方向為

39、，大小為 。通過線框的磁通量為 對 求導數，即得i 注意，此式中 和 均隨時間變化， ，電壓表的正負極亦可有楞次定律判斷。 7-18 在長為 ，直徑為 的紙筒上應繞多少匝線圈才能使繞成的螺線管的自感為 ? 指導： 由自感系數的公式 解出線繞匝數 。 719 兩長直螺線管同軸并套在一起，半徑分別為 和 ，匝數分別為 和 ，長度均為 。求互感系數。指導： 先設一個線圈中（如半徑為 的線圈中）通有電流 ，其在管內產生的磁場 ，再求其通過另一個線圈的磁通鏈 ，互感系數 。 720 在真空中，若一勻強電場中的能量密度與一的勻強磁場能量密度相等，求該電場的電場強度。指導： 電場能量密度為 ，磁場能量密度為

40、 ，由 可求得電場強度 。 815 有一個彈簧振子，振幅為 ，周期為 ，初相為 。 (1)求振動方程；(2)畫出 , , 曲線。指導： 將已知條件直接代入振動方程 中即可，式中 。，畫出,曲線如圖。 816 簡諧振動方程為 求： (1) 振幅、角頻率、頻率、周期和初相； (2) 時的位移、速度和加速度。指導： 將已知方程與標準方程 比較可得 、 、 ，再由 、 求出頻率和周期。由 ， 求出 時的位置、速度和加速度。 817 一放置在水平桌面上的彈簧振子，振幅為 ，周期為 ，當 時， (1) 物體在負方向的端點； (2) 物體在平衡位置,向正方向運動； (3) 物體在 ,向負方向運動； (4)

41、物體在 ,向正方向運動。 求以上各種初始條件下的振動方程。 指導： 由 時旋轉矢量的位置即可求得。 818 一物體沿 軸作簡諧運動，振幅為 ，周期為 ，當 時位移為 ，且向 軸正方向運動。求： (1) 時，物體的位移、速度和加速度；(2) 物體從 處向 軸負方向運動開始，到平衡位置，至少需要多少時間?指導：（1）初相位由 時旋轉矢量的位置定，求出振動方程后再由 ， 求出 時的位移、速度和加速度。（2）設 時刻物體位于處，沿負向運動，時刻物體位于平衡位置，二時刻的旋轉矢量如圖,在此期間相位改變為 819 作簡諧振動的物體，由平衡位置向 軸正方向運動，求經過下列路徑所需時間各為周期的幾分之幾？ (

42、1) 由平衡位置到最大位移處； (2) 這段距離的前半段； (3) 這段距離的后半段。指導： 此題由旋轉矢量解較方便，設物體在 時刻位于平衡位置， 在 時刻位于 處， 在 時刻位于 處。各時刻振動的旋轉矢量如圖，由 即可求得經歷各段路程所需的時間。 820 兩個物體各自作簡諧振動，它們頻率相同，振幅相同。第一個物體的振動方程為 ， 當第一個物體處于負方向端點時，第二個物體在 處，且向 軸正方向運動。求：(1)兩物體振動的相位差；(2)第二個物體的振動方程。指導： (1) 由旋轉矢量圖可知，二物體振動的相位差為 (2) 由此，第二個物體的振動初相為 821 一簡諧振動的運動學方程為 (1) 若計

43、時起點提前 ，寫出其運動學方程。(2) 若使初相為零，計時起點應提前或推遲多少？指導： 計時起點提前 ，則新的時間 與老的時間 的關系為 。 （1）當 將上式代入原方程，即可得新的記時起點對應的振動方程。 (2) 設提前 的時間為 ， ， 為 當 時初相為0，式中 為整數， ， ，為提前； ， ，為推遲。 822 一物體放置在平板上，此板沿水平方向作簡諧振動。已知頻率為 ，物體與板的靜摩擦系數為 。要使物體在板上不發生滑動，最大振幅是多少？ 指導： 要使物體在板上不發生滑動，則物體所受靜摩擦力能帶動物體運動，設平板和物體一起振動的方程為 ，而物體作簡諧振動的加速度為 ， ，最大靜摩擦力 ，由牛

44、頓定律， ，所以有 ，解出振幅 。 823 實驗表明，當車輛沿豎直方向振動時，如果振動的加速度不超過 ，乘客就不會有不舒適的感覺。若車輛豎直振動的頻率為 ，求車輛振動的振幅最大允許值是多少？ 指導： 設車輛作簡諧振動，方程為 ，振動的加速度 ，由 解出最大允許振幅 的值。 824 一質點同時參與兩個在同一直線上的簡諧振動，其表達式分別為 用矢量圖法求合振動方程。指導： 由方程作出 時刻兩簡諧振動旋轉矢量如圖。825 已知兩簡諧振動的運動學方程為 求：(1) 合振動的振幅和初相； (2) 如另有運動學方程為 的第三個簡諧振動，則 為何值時，才能使 的合振動的振幅最大？ 為何值時，才能使 的合振動

45、的振幅最小？指導： （1）由方程作出時刻兩簡諧振動旋轉矢量， 。（2）的合振動的振幅最大，則 同相振動 ； 的合振動的振幅最小，則反相振動， 。 826 某阻尼振動的起始振幅為 ，經過 后變為 。求: (1) 該阻尼振動的阻尼系數； (2) 經過多少時間后振幅變為 。指導： 阻尼振動的初始振幅為 ， 時 代入可求出阻尼系數 ；將 代入式 中，可求得 時的 。 917 一橫波沿繩子傳播時的波動方程為 試求：(1) 繩上各點振動時的最大速度和最大加速度； (2) 處質點的振動方程。指導: 由波動方程對時間求偏導數 和 ， 其速度、加速度的振幅即為最大值。 918 已知某平面簡諧波在介質中以速度 沿

46、 軸負向傳播。若原點 的振動方程為 求: (1) 波動方程； (2) 在 處的振動方程。 指導: 因為已知的是原點的振動方程，且波向軸負向傳播，處的振動相位比原點超前 ，將式中換成即得波動方程；將 代入波動方程可得該處的振動方程。 919 平面簡諧波以速度沿軸正向傳播，點位于處，它的振動方程為 求： (1) 原點的振動方程； (2) 波動方程。 指導: 波沿 軸正向傳播，已知 處質點元的振動方程，將式中 改為 ,即是波動方程；將代入波動方程，即得原點的振動方程。 920 一余弦式空氣波沿直徑為 的圓柱管行進，波的平均能流密度為 ，頻率為 ，波速為 。求：(1) 波的平均能量密度； (2) 波的

47、最大能量密度； (3) 兩相鄰的同相位面之間空氣中的波的能量。 指導: 由 求 ； ； 。 921 有一波在介質中傳播，其波速為 ，振幅為 ，頻率為 。若介質的密度為 。 求：(1) 該波的能流密度； (2) 內垂直通過面積為 的平面的總能量。指導: 直接由公式 和 計算。 922 如圖所示，兩振動方向相同的平面諧波的波源分別位于 、 兩點。設它們相位相同，頻率為 ，波速為 ，求點 處兩列波的相位差。指導: 先求出波長 ， 處兩列波的相位差 ，考慮到 很小，所以 ， 。 923 位于 、 點的兩相干波源，相位差為 ，振動頻率均為 ，產生的波以 的速度傳播，介質中 點與 、 等距離，如圖所示。

48、、 兩波源在 點引起的分振動的振幅都是 。設 點波源的初相為 。求：(1) 點的振動方程； (2) 如果、的相位差為零或 時，點的振動方程。 指導: 先求出波長 ，由于 、 兩波源到 點的波程差為0， 處兩列波的相位差就是兩波源的初相差 ，(1)當 ，P點靜止；(2) 當 ， ，相位比 點落后 。 若 ，則 ， 等于 的幅角減去 ，再減去P點比波源滯后的相位 ，即 924 繩索上的駐波由下式表達 求：形成該駐波的反向行進的行波的振幅、波長和波速。 指導: 二反向行波為 和 ，其合成的駐波方程為 ，將此式與已知的表達式 比較可得振幅、波長和波速。 925 設機車以 的速率行駛，其汽笛聲的頻率為

49、，空氣中的聲速為 ，求下列情況下觀察者聽到的頻率。(1) 機車向觀察者靠近； (2) 機車離開觀察者；(3) 機車的運動方向與機車和觀察者的連線垂直。 指導: 此題由已知的公式代入數據即可求得結果。(1) 機車向觀察者靠近時，觀察者聽到的頻率為 ；(2) 機車離開察者時，觀察者聽到的頻率為 ；(3) 機車的運動方向與機車和觀察者的連線垂直時沒有多普勒效應。 926 一聲源以 的頻率振動，它必須以多大速度向觀測者運動才能使觀察者聽不到聲音？可聞聲的最高頻率 ，空氣中的聲速為 。指導: 將可聞聲的最高頻率作為 ，由 ，即可求出聲源運動的最小速度 ， 。 1022 單色光射在兩個相距為 的狹縫上，在

50、狹縫后的屏幕上，從第一級明紋到同側第四級明紋間的距離為。求此單色光的波長。指導:由明紋位置 ，一級、四級明紋間的距離，解出波長 。 1023 以波長為 的激光作雙縫干涉實驗，雙縫間距為 。求距雙縫 的屏幕上相鄰兩明紋間的距離。指導: 相鄰兩明紋間距 。 1024 雙縫裝置的一個縫被折射率 的玻璃所遮蓋。在玻璃片插入后，屏上原來的中央明紋處現為第五級明紋所占據。設入射光波長為 ，求玻璃片的厚度。指導: 設玻璃片的厚度為 ，遮蓋了玻璃片后，兩光束的光程差為 ，原在中央明紋處 ， ， 。 1025 在很薄的玻璃劈尖上用單色光垂直照射，光的波長為 ，測得相鄰兩條紋的間距為 ，玻璃的折射率為 ，求此劈尖

51、的劈角。指導: 由條紋間距 ，解出劈角 。 1026 用垂直照射的單色光觀察牛頓環，測得第五級明環直徑為 ，透鏡的曲率半徑為 ，求所用光源的波長。指導: 由牛頓環的明紋半徑公式 ，解出 。 1027 在空氣中，垂直入射的白光從肥皂膜（ ）上反射，在可見光譜中 處有一個干涉極大，而在 處有一干涉極小，并且在這極大與極小之間沒有另外的極值出現。求肥皂膜的厚度。指導: 厚度為 的等厚膜對兩不同波長的光入射，其反射光的光程差分別為 (極大)， (極小)，中間無其它極值，此處的極大和極小同級次， ，聯立上三式，可解得 。 1028 單縫夫瑯禾費衍射裝置中，若縫寬為 ，凸透鏡焦距為 ，用 和 的平行光垂直

52、照射到單縫上。求這兩種光的第一級明紋中心的距離。指導: 設兩種單色光的第一級明紋的衍射角分別為 和 ，由教材式(10-34)明紋條件 ，當 有 ， ，因 很小有 ，代入上兩式有， ， ， 。 1029 單縫夫瑯禾費衍射實驗中，以波長為 的光垂直入射在單縫上，若凸透鏡的焦距為 ，測得右方第一級暗紋和左方第一級暗紋間的距離為 。求縫寬。指導: 一級暗紋條件為 ，因衍射角很小，有 ，代入上式得單縫寬度 間，式中 。 1030 波長為 和 的平行光垂直照射到光柵上，用焦距為 的凸透鏡把通過光柵的光線聚焦在屏上。若光柵常量為 ，求這兩種光同側的一級明紋中心的距離。 指導: 由光柵方程 可求得兩種波長的光

53、所對應的一級明紋的衍射角，且 。因而一級明紋到中央明紋的距離 兩個一級明紋之間的距離為 1031 某衍射光柵在 中具有 條均勻間隔的刻線。鈉光燈發出的黃光垂直入射在光柵上，這種黃光包含有兩條緊鄰的譜線，其波長分別為 和 求：(1)對 的光，第一級明紋的衍射角；(2) 兩條光線第一級明紋之間的角間距。指導: 光柵的光柵常量 ，由光柵方程 可求得兩種波長的光所對應的一級明紋衍射角 和 。應注意在這一題中 相當大， 、 和 三者差別較大。兩條光線一級明紋間的角間距為 。 1032 已知地球至火星的距離為 ，光的波長為 。在理想情況下，試估計火星上兩物體的線距離為多大時，恰好能被地球上的觀測者用 孔徑的望遠鏡所分辨。 指