1、1.3 1.3 簡單幾何體的簡單幾何體的表面積和體積表面積和體積靈感不過是靈感不過是“頑強頑強的勞動而獲得的獎的勞動而獲得的獎賞賞” 主備人：王朝遠主備人：王朝遠 徐洪燕徐洪燕 耿玲耿玲 1 1、表面積：幾何體表面的面積、表面積：幾何體表面的面積 2 2、體積：幾何體所占空間的大小。、體積：幾何體所占空間的大小。20222022年年1 1月月2929日星期六日星期六8 8時時5959分分1616秒秒 云在漫步云在漫步20222022年年1 1月月2929日星期六日星期六8 8時時5959分分1616秒秒 云在漫步云在漫步表面積、全面積和側面積 表面積表面積：立體圖形的所能觸摸到的面積之和叫做它

2、的表面積。（每個面的面積相加 ） 全面積全面積： 全面積是立體幾何里的概念，相對于截面積（“截面積”即切面的面積）來說的，就是表面積總和 側面積側面積：指立體圖形的各個側面的面積之和（除去底面）20222022年年1 1月月2929日星期六日星期六8 8時時5959分分1616秒秒 云在漫步云在漫步20222022年年1 1月月2929日星期六日星期六8 8時時5959分分1616秒秒 云在漫步云在漫步棱柱、棱錐、棱臺的側面積 側面積所指的對象分別如下： 棱柱-直直棱柱。 棱錐-正正棱錐。 棱臺-正正棱臺2.2.幾何體的表面積幾何體的表面積 （1 1）棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是）棱柱、棱錐、

3、棱臺的表面積就是 . . （2 2）圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別）圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是是 、 、 ；它們的表面積等于；它們的表面積等于 . .各面面積各面面積 之和之和矩矩形形扇形扇形扇環形扇環形側面積側面積與底面面積之和與底面面積之和回憶復習有關概念回憶復習有關概念1、直棱柱：、直棱柱：2、正棱柱：、正棱柱：3、正棱錐：、正棱錐：4、正棱臺：、正棱臺：側棱和底面側棱和底面垂直垂直的棱柱叫直棱柱的棱柱叫直棱柱底面是正多邊形的底面是正多邊形的直直棱柱叫正棱柱棱柱叫正棱柱底面是正多邊形，底面是正多邊形，頂點在底面的射影是頂點在底面的射影是底面中心底面中心的棱錐的棱錐正棱錐正棱錐被

4、平行于底面的平面所截，被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫正棱臺截面和底面之間的部分叫正棱臺作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺各一個，找作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺各一個，找出出斜高斜高CBAA1B1C1COBAPDC1D1A1ODBACB1斜高的概念2、分別作出一個圓柱、圓錐、圓臺，并找出旋轉軸、分別作出一個圓柱、圓錐、圓臺，并找出旋轉軸分別經過旋轉軸作一個平面，觀察得到的軸截面是分別經過旋轉軸作一個平面，觀察得到的軸截面是 什么形狀的圖形什么形狀的圖形.ABCDABCABCD直棱柱：設棱柱的高為直棱柱：設棱柱的高為h，底面多邊形的周長為，底面多邊形的周長為c，則則S直棱柱側直棱柱側

5、 .（類比矩形的面積）（類比矩形的面積）圓柱：如果圓柱的底面半徑為圓柱：如果圓柱的底面半徑為r，母線長為，母線長為l，那么，那么S圓柱側圓柱側 .（類比矩形的面積）（類比矩形的面積）ch2rl知識點一：柱、錐、臺、球的表面積與側面積知識點一：柱、錐、臺、球的表面積與側面積(1)柱體的側面積把直三棱柱側面沿一條側棱展開，得到什么圖形？側面積怎么求？chhcbaS )（直棱拄側直棱拄側habcabchh棱柱的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？棱柱的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？h正棱柱的側面展開圖正棱柱的側面展開圖底側表面積SSS2思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側面分別沿著一條母線思考：把

6、圓柱、圓錐、圓臺的側面分別沿著一條母線 展開，分別得到什么圖形展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖展開的圖形與原圖 有什么關系？有什么關系？rlr2 長長寬寬llSSr2 長長方方形形圓圓柱柱側側 圓柱的側面展開圖是矩形圓柱的側面展開圖是矩形2222()Srrlr rlOOrl2 r 底側表面積SSS2正棱錐：設正棱錐底面正多邊形的周長正棱錐：設正棱錐底面正多邊形的周長為為c，斜高為，斜高為h，則，則S正棱錐側正棱錐側 .（類比三角形的面積）（類比三角形的面積）圓錐：如果圓錐的底面半徑為圓錐：如果圓錐的底面半徑為r，母線長，母線長為為l，那么，那么S圓錐側圓錐側 .（類比三角形的面積）（類

7、比三角形的面積）rl(2)錐體的側面積錐體的側面積12ch把正三棱錐側面沿一條側棱展開，得到什么圖形？側面積怎么求？hh12Sch正棱錐側棱錐的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？棱錐的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？/h/h正三棱錐的側面展開圖正三棱錐的側面展開圖側面展開正五棱錐的側面展開圖正五棱錐的側面展開圖底側表面積SSS思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側面分別沿著一條母線思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側面分別沿著一條母線 展開，分別得到什么圖形展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖展開的圖形與原圖 有什么關系？有什么關系？rl180lnl 扇扇lR 扇扇rllllnSS 扇扇扇扇圓圓錐

8、錐側側213602圓錐的側面展開圖是扇形圓錐的側面展開圖是扇形r2lOr2()Srrlr rl 正棱臺：設正正棱臺：設正n棱臺的上底面、下底面棱臺的上底面、下底面周長分別為周長分別為c、c，斜高為，斜高為h，則正，則正n棱臺棱臺的側面積公式：的側面積公式：S正棱臺側正棱臺側 . 圓臺：如果圓臺的上、下底面半徑分圓臺：如果圓臺的上、下底面半徑分別為別為r、r，母線長為，母線長為l，則，則S圓臺側圓臺側 l(rr)(3)臺體的側面積臺體的側面積注注：表面積側面積底面積：表面積側面積底面積1) 2cc h（把正三棱臺側面沿一條側棱展開，得到什么圖形？側面積怎么求？（類比梯形的面積）（類比梯形的面積）

9、hh1) 2Scc h正棱臺側 （側面展開hh正四棱臺的側面展開圖正四棱臺的側面展開圖棱臺的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？棱臺的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？下底上底側表面積SSSS 參照圓柱和圓錐的側面展開圖，試想象圓臺的參照圓柱和圓錐的側面展開圖，試想象圓臺的側面展開圖是什么側面展開圖是什么 r2lOrO r2 r圓臺的側面展開圖是圓臺的側面展開圖是扇環扇環22()Srrr lrl 思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側面分別沿著一條母線思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側面分別沿著一條母線 展開，分別得到什么圖形展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖展開的圖形與原圖 有什么關系？有什么關

10、系？1r2rllrrSS)21 （扇環扇環圓臺側圓臺側 r2lOrO r2 r22()Srrr lrl xrxrxl rxr xr lS側側()()r lxr xrlrxr x()r lrl lOrO r圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關系？之間有什么關系？lOOrrr上底擴大上底擴大lOrr0上底縮小上底縮小2222 ()Srrlr r l 2()Srrlr r l 22()Srrrlrl 棱柱棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，h它們的側面展開圖還是它們的側面展開圖還是平面圖形平面圖形，計算它

11、們的計算它們的表面積就是計算它的各個側面面積和底面面積表面積就是計算它的各個側面面積和底面面積之和之和 例例1 已知棱長為已知棱長為a，各面均為等邊三角形的，各面均為等邊三角形的四面體四面體S-ABC，求它的表面積，求它的表面積 DBCAS 分析：四面體的展開圖是由四個全等的正三角形分析：四面體的展開圖是由四個全等的正三角形組成組成因為因為BC=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面體因此，四面體S-ABC 的表面積的表面積交交BC于點于點D解：先求解：先求 的面積，過點的面積，過點S作作 ，ABCBCSD 例2：一個正三棱臺的上、下底面邊

12、長分別是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱臺的側面積. 分析：關鍵是求出斜高，注意圖中的直角梯形O1ODABCC1A1B1D1E例3：圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，高為 ，求其側面展開圖扇環所對的圓心角.32分析：抓住相似三角形中的相似比是解題的關鍵小結：1、抓住側面展開圖的形狀，用好相應的計算公式，注意逆向用公式； 2、圓臺問題恢復成圓錐圖形在圓錐中解決圓臺問題，注意相似比.答：1800練習1：一個正三棱柱的底面是邊長為5的正三角形，側棱長為4，則其側面積為 _;答：60練習2：正四棱錐底面邊長為6 ,高是4，中截面把棱錐截成一個小棱錐和一個棱臺，求棱臺的側面積79答：練習3： 圓臺

13、的上、下底半徑分別是10cm和20cm，它的側面展開圖的扇環的圓心角是1800，那么圓臺的側面積是多少？（結果中保留）小結：1、弄清楚柱、錐、臺的側面展開圖的形狀是關鍵； 2、對應的面積公式)cc21hS（正正棱棱臺臺C=021chS三三棱棱錐錐C=CchchS 直直棱棱柱柱S圓柱側= 2rlS圓錐側= rlS圓臺側=（r1+r2)lr1=0r1=r2思考：怎樣求斜棱柱的側面積？ 1）側面展開圖是平行四邊形 2）S斜棱柱側=直截面周長側棱長 3） S側側=所有側面面積之和所有側面面積之和幾何體占有空間部分的大小叫幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積做它的體積一、體積的概念與公理一、體積的概念與

14、公理:公理公理1、長方體的體積等于它的長、寬、高的積。、長方體的體積等于它的長、寬、高的積。V長方體長方體= abc推論推論1 、長方體的體積等于它的底面積、長方體的體積等于它的底面積s和高和高h的積。的積。V長方體長方體= sh推論推論2 、正方體的體積等于它的棱長、正方體的體積等于它的棱長a 的立方。的立方。V正方體正方體= a3公理公理2 2、夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行、夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積

15、相等。PQ祖暅原理祖暅原理定理定理1： 柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積的底面積 s 和高和高 h 的積。的積。V柱體柱體= sh二：柱體的體積二：柱體的體積推論推論 ： 底面半徑為底面半徑為r，高為高為h圓柱的體積是圓柱的體積是V圓柱圓柱= r2h三三:錐體體積錐體體積如圖：三棱柱如圖：三棱柱ADAD1 1C C1 1-BDC,-BDC,底面積為底面積為S S, ,高為高為h h. . ABD C D1C1CDA BCD1ADCC1D1A答答:可分成可分成 棱錐棱錐A-D1DC, 棱錐棱錐A-D1C1C, 棱錐棱錐A-BCD. 問：（問：（1 1）從）從A

16、 A點出發棱柱能點出發棱柱能分割分割成幾個三棱錐？成幾個三棱錐？ 定理定理如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面 積是，高是，那么它的體積是：積是，高是，那么它的體積是：推論：如果圓錐的底面半徑是推論：如果圓錐的底面半徑是，高是，高是， 那么它的體積是：那么它的體積是：hSS錐體錐體 3131圓錐圓錐 Shss/ss/hx四四.臺體的體積臺體的體積V V臺體臺體= =1 1h(s+ss+s)h(s+ss+s)3 3上下底面積分別是上下底面積分別是s/,s,高是高是h，則，則（包括圓臺）（包括圓臺）五五.柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關系？柱體、錐體、臺體的體積公

17、式之間有什么關系？hSSSSV)(31S為底面面積，為底面面積，h為柱體高為柱體高ShV 0SS分別為上、下分別為上、下底面底面面積，面積，h 為臺體高為臺體高ShV31SS S為底面面積，為底面面積，h為錐體高為錐體高上底擴大上底擴大上底縮小上底縮小(1)(1)長方體長方體的體積的體積V V長方體長方體abcabc . .( (其中其中a a、b b、c c為長、寬、高，為長、寬、高，S S為底面積，為底面積，h h為高為高) )(2)(2)柱體柱體( (圓柱和棱柱圓柱和棱柱) )的體積的體積V V柱體柱體ShSh. .其中，其中，V V圓柱圓柱 r r2 2h h( (其中其中r r為底面

18、半徑為底面半徑) )Sh知識點二柱、錐、臺、球的體積知識點二柱、錐、臺、球的體積(3)(3)錐體錐體( (圓錐和棱錐圓錐和棱錐) )的體積的體積V V錐體錐體 . .其中其中V V圓圓錐錐 ， r r為底面半徑為底面半徑13Sh r2h13(4)(4)臺體的體積公式臺體的體積公式V V臺臺 注：注：h h為臺體的高，為臺體的高，S S 和和S S分別為上下兩個底分別為上下兩個底面的面積面的面積其中其中V V圓臺圓臺 注：注：h h為臺體的高，為臺體的高，r r 、r r分別為上、下兩底的分別為上、下兩底的半徑半徑(5)(5)球的體積球的體積V V球球 . .1 1h(s+ss+s)h(s+ss

19、+s)3 3h(r2rrr2)1 13 3R31 13 3例從一個正方體中，如圖那樣截去例從一個正方體中，如圖那樣截去4 4個三棱錐后，得個三棱錐后，得到一個正三棱錐到一個正三棱錐A ABCDBCD，求它的體積是正方體體積，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？的幾分之幾？1求空間幾何體的體積除利用公式法求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、補體法、轉化法等，外，還常用分割法、補體法、轉化法等，它們是解決一些不規則幾何體體積計算問它們是解決一些不規則幾何體體積計算問題的常用方法題的常用方法幾何體的體積小結幾何體的體積小結2計算柱體、錐體、臺體的體積關鍵計算柱體、錐體、臺體的體積關鍵是根據

20、條件找出相應的底面面積和高，要充是根據條件找出相應的底面面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉體的軸截面，將分利用多面體的截面及旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題空間問題轉化為平面問題RROORR球的體積：球的體積：一個半徑和高都等于一個半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個的圓柱，挖去一個以上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐以上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個半徑為后，所得的幾何體的體積與一個半徑為R的的半球的體積相等。半球的體積相等。探究球球1 1V =V =2 23 32 2= = R R3 33 3球球4 4V =V = R R3 3RROORR2222

21、1 1 RR-RR- RRRR3 3第一步：分割第一步：分割O O球面被分割成球面被分割成n n個網格，個網格， 表面積分別為：表面積分別為：nSSSS.321，則球的表面積則球的表面積：nSSSSS.321則球的體積為：則球的體積為：設設“小錐體小錐體”的體積的體積為：為：iViVnVVVVV.321iSO O知識點三、球的表面積和體積知識點三、球的表面積和體積（O O第二步：求近似和第二步：求近似和O Oih由第一步得由第一步得：nVVVVV.321nnhShShShSV31313131332211.iiihSV31iSiV第三步：轉化為球的表面積第三步：轉化為球的表面積RSVii31 如

22、果網格分的越細如果網格分的越細, ,則則: :RSRSRSRSVni3131313132.RSSSSSRni313132).( 由由 得得: :334RV 球的體積球的體積: :2 24 4R RS S iSiVih的值就趨向于球的半徑的值就趨向于球的半徑R RRihiSO OiV“小錐體小錐體”就越接近小棱錐。就越接近小棱錐。設球的半徑為設球的半徑為R，則球的體積公，則球的體積公式為式為V球球 .例例1(2009年高考上海卷年高考上海卷)若球若球O1、O2表表面積之比面積之比4，則它們的半徑之比，則它們的半徑之比_. R34 43 3(1)(1)若球的表面積變為原來的若球的表面積變為原來的2

23、 2倍倍, ,則半徑變為原來的則半徑變為原來的倍。倍。(2)(2)若球半徑變為原來的若球半徑變為原來的2 2倍，則表面積變為原來的倍，則表面積變為原來的倍。倍。(3)(3)若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:21:2，則其體積之比是，則其體積之比是。(4)(4)若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是。例例2 2：2422:134: 1例例3.3.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為a,a,它的各個它的各個頂點都在球頂點都在球O O的球面上，問球的球面上，問球O O的表面積。的表面

24、積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可分析：正方體內接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中變題變題1.1.如果球如果球O O和這個正方體的六個面都相切，則有和這個正方體的六個面都相切，則有S=S=。變題變題2.2.如果球如果

25、球O O和這個正方體的各條棱都相切，則有和這個正方體的各條棱都相切，則有S=S=。2a2 2 a 關鍵關鍵：找正方體的棱長找正方體的棱長a a與球半徑與球半徑R R之間的關系之間的關系OABCO 例例4：已知過球面上三點：已知過球面上三點A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距離等于球半徑的一半，且離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的體積，表面積體積，表面積解：如圖，設球解：如圖，設球O半徑為半徑為R，截面截面 O的半徑為的半徑為r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例例5、有三個球、有三個球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一一球切于正方體的各側棱球切于正方體的各側棱,一球過正方體的一球過正方體的各頂點各頂點,求這三個球的體積之比