1、3.2立體幾何中的向量方法第二課時空間向量與垂直關系一時/期魯III分層設計助學助記 認知更深刻填一填空間垂直關系的向量表示設直線l, m的方向向量分別為 a=（a1，a2, a3）, b=（bi, b2, b3）,平面% 3的法向量分 別為 U=（U1,u2,U3）, v=（vi,V2,V3）,則入 % / 位直大系向里關系向量運算關系坐標關系Uma± ba b= 0a1b1 + a2b2 + a3b3= 0l _L aa / ua = Q,入 C Ra1=入 1, a2=入 2, a3=入 3a_L 3u ± vu v= 0u1V1 + u2v2 + u3v3= 0判T

2、J1 .若兩直線方向向量的數量積為0,則這兩條直線一定垂直相交.（X）2 .若一直線與平面垂直，則該直線的方向向量與平面內的所有直線的方向向量的數量積為 0.（，）3 .兩個平面垂直，則其中一平面內的直線的方向向量與另一平面內的直線的方向向量垂 直.（X）.， 一一一 , ， 一一一 一 一， ，4 .若點A, B是平面a上的任意兩點，n是平面a的法向量，則 AB n = 0.（V）5 .若向量ni, n2為平面a的法向量，則以這兩個向量為方向向量的兩條不重合直線一定 平行.（，）6 . 一個平面的法向量有無限多個，它們互相平行.（，）7 .如果一個向量與平面內兩個向量垂直，則此向量是平面的一

3、個法向量.（X）8 .給定一點A和一個向量a,那么，過點A,以向量a為法向量的平面是確定的.（，）想一想1 .確定直線方向向量的兩種方法是什么？一是用空間一個基底表示，二是建立空間直角坐標系，寫出方向向量的坐標.2 .用向量法證明空間的線、面垂直關系的關鍵是什么？需要確定直線的方向向量和平面的法向量，然后把證明線、面的垂直關系轉化為向量間 的關系.3 .用向量法證明線面垂直的方法及步驟是什么？（1）基向量法.確定基向量作為空間的一個基底，用基向量表示有關直線的方向向量；找出平面內兩條相交直線的方向向量，并分別用基向量表示；分別計算有關直線的方向向量與平面內相交直線的方向向量的數量積，根據數量積

4、為 0,證得線線垂直，然后由線面垂直的判定定理得出結論.(2)坐標法.方法一：建立空間直角坐標系；將直線的方向向量用坐標表示；找出平面內兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量；分別計算兩組向量的數量積，得到數量積為0;方法二：建立空間直角坐標系；將直線的方向向量用坐標表示；求出平面的法向量；判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.思考感悟：練一練1 .若n=(2, 3,1)是平面a的一個法向量，則下列向量中能作為平面a的法向量的是()A. (0, -3,1) B. (2,0,1)C. (-2, -3,1) D. (-2,3, 1)答案：D2 .已知兩直線的方向向量分別為a, b,則下列選項中能

5、使兩直線垂直的為()A. a= (1,0,0), b=(-3,0,0)B. a= (0,1,0), b= (1,0,1)C. a=(0,1, 1), b=(0, -1,1)D. a= (1,0,0), b=(-1,0,0)答案：B3.若直線l的方向向量為 a= (1,0,2),平面”的法向量為 嚴(一2,0, 4),則()A. l/ a B. l± aC. l? a D. l與a斜交答案：B4.已知直線l與平面a垂直，直線l的一個方向向量為u=(1, 3, z),向量v=(3,2.1) 與平面a平行，則z等于()A. 3 B. 6C. 9 D. 9答案：C二測2寤電11國組氧行賽最久

6、屬知識點一向量法處理線線垂直問題1 .已知空間三點 A(0,0,1), B(1,1,1), C(1,2, 3),若直線 AB 上一點 M,滿足 CMXAB, 則點M的坐標為.解析：設 M(x, v, z), AB=(- 1,1,0), aM = (x, v, zT),由題意知，AM= MB, ，(x, y, z 1)=11,1,0),x= Z, y= Z, z= 1,則 M(X, Z, 1)., , CM =(一 心 1 ,卜 2,4). 一 11 1-CM XAB, .(卜 1)(-1) + (卜 2)1 + 4X0=0,解得 壯 2，.-.M -2，2 1 .,1 1答案：-1 1 12.

7、如圖， ABC中，AC=BC, D為AB邊中點，POL平面ABC,垂足 O在CD上，求 證：AB± PC.解析：設CA=a, CB= b, OP = v.由條件知，v是平面ABC的法向量，所以 v a= 0, v b= 0,因為D為AB中點，所以CD=1(a+b),因為O在CD上，所以存在實數 N 使CO= QD=2(a+b),因為CA=CB,所以|a|=|b|,所以 ABCP=(b a) a+b+v =(a+ b) (b-a)+ (b- a) v = -2(|b|2|a|2)+b v a v =0,ABC,則實數33 A. 740葉x, 157，2,4y, z分別為(),4015

8、,4 B.y,一亍 440D. 4, 40, 15所以ABCP,所以ABXPC.知識點二向量法處理線卸垂直問題3.已知 AB=(1,5, 2), BC=(3,1, z),若 AB,BC, E3P=(x-1, y, 3),且 BP,平面解析： ABXEBC,，AB BC= 0,即 1X3+5X1 + ( 2)Xz= 0,z= 4.BC = (3,1,4). BP，平面 ABC,BP AB=0,BP BC=0x-y X 1+ 5y+ 2 X 3=0, 即3 x-y +y+ 3 X4=0,解得 x= 4, y=綜上,40157.15x=y, y=- y, z=4.答案：B4.正方體 ABCD AiB

9、iCiDi的棱長為1, E, F分別是棱 BC, DDi上的點，如果 BiEL平面ABF，則CE與DF的長度之和為解析：分別以直線 DiAi, DiCi, DiD為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設 CE=x,DF = y,則 E(x,1,1), F(0,0,1 y), A(1,0,1) , Bi(1,1,0),所以 AF= ( 1,0, y), BiE= (x1,0,1).又BiE,平面 ABF,所以 BiEXAF,即 BiEAF=0,所以 x+ y= 1.答案：1知識點三向量法處理面面垂直5.在四面體 ABCD中，ABL平面 BCD, BC=CD, / 別是AC, AD的中點，求證：平

10、面 BEFL平面 ABC.BCD = 90°, Z ADB = 30°, E, F 分證明：以B/a,%為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設，D(0, >/3a,0), E 乎a, 2s43a, ： , F 0,A(0,0, a),則易得故 AB=(0,0,B(0,0,0),-a), BC =為a 3 a2 a，a a設平面ABCni AB=0的法向量為ni=(xi, yi, zi),則 一ni BC=0aZi = 0,xi + yi = 0, ni=(1, 1,0)為平面 ABC的一個法向量.設n2=(x2, y2, Z2)為平面BEF的一個法向量，同理可得 n2

11、=(1,1, - V3). . nin2=(1, 1,0) (1,1, -73)=0,，平面BEF,平面 ABC.6.如圖，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，。是AC的中點，G是BBi的中點，E是線段 DiO上一點，且 DiE=2EO.求證：(1)DG，AC;(2)DBi,平面 CD。平面CDE，平面 CDiO.解析：不妨設正方體的棱長為1,以DA, DC, DDi所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立 .，一1 1如圖所小的空間直角坐標系，則 D(0,0,0), A(1,0,0), Bi(1,1,1), O 2, 2，0 , C(0,1,0), Di(0,0,1),1G 1, 1, 2 .

12、-1-(1)DG= 1, 1, 2 , AC=( 1,1,0),工,-.DG AC = - 1 + 1 + 0=0, .1.DGXAC, DGXAC.11(2)DBi=(1,1,1), CDi = (0, 1,1), OC= £, 2，0 ,112 + 1 x 2+ 1X0 = 0, DBi CDi = 1 X0 + 1 X ( 1) + 1 X 1 = 0 , DBi OC = 1 XDBiXCDi, DBiXOC, CDinOC = C, .DBi,平面 CDiO. ._. . f (3)由(2)知平面CDiO的一個法向量為DBi = (1,1,1), r一 2 一 2 1 11

13、 12- DiE=2EO, . DiE = 3DiO=3 2，2, - 1 = 3,3 ,E ；, 1 1 .DE= ；,；, 1，設 n=(xi,yi,zi)是平面CDE 的法向量，由3 3 333 3一n DC = 01113X1 + 3丫1 + 3ZI = 0yi= 0令xi=1,得n = (1,0, 1)是平面CDE的一個法向量,又 nDBi=(1,0, - 1) (i,i,i) = i-i=0,.nXtDBi, 平面 CDEL平面 CDiO.綜合應用7 .已知點P是平行四邊形 ABCD所在的平面外一點，如果屆=(2, 1, 4), AD=(4,2,0), AP=(1,2, 1).對于

14、結論：APLAB;APLAD;AP是平面 ABCD的法向量；AP/BD. 其中正確的是(填序號).解析：AP AB= (-1,2,1) (2, 1, -4)=- 1 X2+2X ( - 1)+(- 1)X (-4) = 0, . APAB,即正確.AP AD= (1,2, - 1) (4,2,0)= (-1)X4 + 2X2+ (-1)X 0=0.-.AP±AD,即正»一, 一一I一 一一，,一，一.八確.又,ABnAD=A,，AP，平面ABCD,即AP是平面 ABCD的一個法向量， 正確. AP是平面ABCD的法向量,AP±BD,不正確.答案：8 .在直角坐標系

15、 O xyz中,已知點P(2cos x+ 1,2cos 2x+2,0)和點Q(cos x, 1,3),其中 xC 0,水 若直線OP與直線OQ垂直，則x的值為.解析：由 OPLOQ,得 OP OQ = 0.即(2cos x+ 1) cos x+ (2cos 2x+ 2) (1) = 0.cos x= 0 或 cos x= 2.- x 0,可，-x = 2 x=g基礎達標、選擇題1111 .若平面 3的法向量分別為 m= 6，3， 1 , n= 2， 1，3 ,則()A. all 3 B.八 3C. a與3相交但不垂直D. all 3或a與3重合解析：n= - 3m, m / n,a/ 3或 a

16、與 3重合.答案：D2 .已知平面a內有一個點A(2, 1,2), a的一個法向量為 n = (3,1,2),則下列點P中， 在平面a內的是()3A. (1, - 1,1) B. 1, 3, 23-3C. 1, - 3, 2 D. T, 3, 2解析：若點P在平面 “內，則PA± a,即PAn=0.對于選項 A, PA= (1,0,1),則PA n =11(1,0,1) (3,1,2) = 5W0,故排除 A；對于選項 B, FA= 1, 4, 3 ,則PA n= 1 , 4, 2 (3,1,2)=0,故B正確；同理可排除C、D.答案：B3.在正方體 ABCD A1B1C1D1中，棱

17、長為 a, M , N分別為 A1B, AC的中點，則 MN與 平面BB1C1C的位置關系是()A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定解析：建系如圖，設正方體的棱長為2,-r7則 A(2,2,2), Ai (2,2,0), C(0,0,2) , B(2,0,2),M(2,1,1), N(1,1,2), . MN = (1,0,1).又平面BB1C1C的一個法向量為n = (0,1,0),1X0 + 0X 1+1X0=0,.MN±n, .MN/平面 BB1C1C.故選 B.答案：B4 .在菱形ABCD中，若於平面ABCD的法向量，則以下等式中可能不成立的是 ()A.PA AB=0 B

18、.PC BD = 0- A C.PC AB= 0 D.PA CD = 0解析：.阿，平面 ABCD, BD± PA.又. ACBD,PCXBD.故選項B正確，選項A和D顯然成立.故選 C.答案：C5 .已知點 A(0,1,0), B(1,0, 1), C(2,1,1), P(x,0, z),若 PAL平面 ABC,則點 P 的坐 標為()A. (1,0, -2) B. (1,0,2)C. (-1,0,2) D. (2,0, -1)解析：由題意知 AB= (- 1 , 1, 1), AC = (2,0,1), AP = (x, 1, z),又因為 PAL平面 ,1ABC,所以有 AB

19、AP = (-1, - 1, - 1) (x, - 1, z)=0,得一x+1z= 0 .,1AC AP= (2,0,1) (x,1 , z) = 0,得 2x+z=0 ,聯立得x=1, z= 2,故點P的坐標為(一1,0,2).答案：C6 .四菱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四邊形，AB = (2, 1, 4), AD=(4,2,0), AP=(-1,2, 1),則直線PA與底面ABCD的關系是()A .平行 B .垂直C.在平面內D.成60°角解析：. AB AP=2X ( 1)+2X( 1)+ ( 1)X ( 4)=0,AD AP= 4X(-1) + 2X2+0X

20、(- 1) = 0.又AB?底面 ABCD, AD?底面 ABCD ,ABA AD = A,.APL底面 ABCD.故選 B.答案：B7 .在正方體 ABCD AiBiCiDi 中，E, F 分別在 AiD, AC 上，且 AiE=2AiD, AF = 1AC, 33則()A. EF至多與AiD, AC中的一個垂直B. EF± AiD, EFXACC. EF和BDi相交D. EF與BDi異面解析：以點D為坐標原點，分別以 DA, DC, DDi的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系,設正方體的棱長為i,則 Ai(i,0,i), D(0,0,0), A(i,0,0), C(

21、0,i,0), E ： 0, 1 , F 2,0,333 3B(i,i,0), Di(0,0, i),一， 則AiD = ( i,0, i), AC = (-i,i,0),EF= 1, 3, -7 , BDi = (-i, i,i), 3 33EF = - BD i, ajD EF=0, Ac EF=0, 3從而 EF / BDi, EFXAiD, EFXAC,故選 B.答案：B8.在正方體 ABCD AiBiCiDi中，若E為AiCi的中點，則直線 CE垂直于（）A. AC B. BDC. AiD D. AiA解析：建立如圖所示的空間直有坐標系.設正方體的棱長為i.則 A(i,0,0),B(

22、i,i,0), C(0,i,0), D(0,0,0), Ai(i,0,i), Ci(0,i,i),i iE2, 3，i，N i i 一一一一-CE= -, 2，i , AC= (i,i , 0), BD = ( i, -i,0), AiD=(-i,0, -i), AiA=(0,0,i2 +0xi = o,CE± BD.T). Ce EBD = (-i)X 2+( i)X答案：B二、填空題9.兩平面外3的法向量分別為 的值是.尸(3, -i, z), v = (-2, y, i),若 n 3,則 y+z解析：a_L ? v= 0? - 6+ y+z= 0,即 y+z= 6.答案：610

23、 .已知A, B, C三點的坐標分別為 A(4,i,3), B(2, 5,i), C(3,7,加 若ABAC,則k=.解析：.%=( 2, 6, 2), AC=( 1,6,卜 3), AB aC = 2362(卜 3)=0, 入 =-14.答案：1411 .已知點A, B, C的坐標分別為(0,1,0), (1,0,1), (2,1,1),點P的坐標為(x,0, z),若 raxab, RA±>AC,則點P的坐標為.解析：PA=(-x,1 , -z), AB=(-1, 1,1), AC= (2,0,1), PA AB=0, PA AC=0,x- 1 - z= 0, -2x- z

24、= 0,23.一1x z_= 3'-12答案：3, 6 312.若正三菱錐 PABC側面互相垂直，則棱錐的高與底面邊長之比為 .解析：設高為h,底邊長為 1,建立如圖所示的空間直角坐標系，則點P(0,0, h),A 卓 0, 0 ,B -63, 12, 0 ,C g - 1-, 0 ,玄=卓 0, - h , pB= g 2, h , 36262362PC=興 一；，一h ,得平面PAB, PAC的法向量分別為 <3, 3, 1 , 回 一 3, h ,則3- 9+ j12=0,解得 h=乎答案：；6 6三、解答題13.如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱 )ABC A1

25、B1C1的所有棱長都為2, D為CC1的中點.求證： AB1,平面A1BD.證明：如圖所示，取BC的中點O,連接AO.因為 ABC為正三角形, 所以AOXBC.因為在正三棱柱 ABC AiBiCi中，平面 ABC，平面BCCiBi, 所以AO,平面BCCiBi.取B1C1的中點Oi,以。為原點，分別為OB, OOi, OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立 空間直角坐標系，則 B(i,0,0), D(-i,i,0), Ai (0,2,5 A(0,0, ® Bi(i,2, 0).設平面AiBD的法向量為n=(x, v, z),BAi = (-i,2,5 BD(-2,i,0). 一、， .

26、. 因為 n±BAi, n±BD,n BAi = 0,-x+ 2y+#z= 0,故 一？n BD= 0,-2x+y=0,令 x= i,則 y=2, z= -故n = (i,2,5)為平面AiBD的一個法向量，而ABi=(i,2,一四， - -“所以 A Bi = n,所以 A Bi/ n,故ABi,平面AiBD.14.如圖，在三棱錐 P-ABC中，三條側棱 FA, PB, PC兩兩垂直，且 PA= PB = PC=3, G 是 PAB的重心，E, F分別是BC, PB上的點，且 BE EC = PF FB = i 2.(i)求證：平面 GEF,平面PBC;(2)求證：EG與

27、直線PG及直線BC都垂直.證明：(i)如圖，以三棱錐的頂點P為坐標原點，以 PA, PB, PC所在的直線分別為 x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系P xyz.則 A(3,0,0), B(0,3,0), C(0,0,3), E(0,2,i), F(0,i,0), G(i,i,0), P(0,0,0).于是 EF = (0, i, i), EG=(i, i, - i).n±EF設平面GEF的法向量是n = (x, v, z),則n±EGy + z= 01,可取 n = (0,1 , 1).x y z= 0一， 一一 * ，一顯然PA= (3,0,0)是平面PBC的一個法向量.一 ,一又 n PA=0, n±PA,即平面PBC的法向量與平面 GEF的法向量垂直，平面GEF，平面PBC.(2)由(1),知 EG=(1, 1, 1), PG=(1,1,0), BC=(0, 3,3), .EG PG = 0, EG BC = 0,EGXPG, EGXBC,EG與直線 PG及直線BC都垂直.能力提升15 .如圖，在四棱錐 PABCD中，PDL底面 ABCD,底面 ABCD為正方形，PD = DC, E, F分別是AB, PB的中點.(1)求證：EFXCD;(