1、二次曲面的定義：二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面稱之三元二次方程所表示的曲面稱之相應地平面被稱為一次曲面相應地平面被稱為一次曲面討論二次曲面性狀的截痕法：討論二次曲面性狀的截痕法： 用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，調查其交線即截痕的外形，然后相截，調查其交線即截痕的外形，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面一、根本內容一、根本內容機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ozyx一橢球面一橢球面1222222 czbyax 橢球面與橢球面與三個坐標面三個坐標面

2、的交線：的交線：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面橢球面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓1zz 同理與平面同理與平面 和和 的交線也是橢圓的交線也是橢圓.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 橢球面的幾種特殊情況：橢球面的幾種特殊情況：,)1(ba 1222222 czayax旋轉橢球面旋轉橢球面12222 czax由橢圓由橢圓 繞繞 軸旋轉而成軸

3、旋轉而成z旋轉橢球面與橢球面的區別：旋轉橢球面與橢球面的區別：122222 czayx方程可寫為方程可寫為與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )| (1cz 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圓的方程截面上圓的方程方程可寫為方程可寫為機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二拋物面二拋物面zqypx 2222 與與 同號同號pq橢圓拋物面橢圓拋物面用截痕法討論：用截痕法討論：1用坐標面用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得一點，即坐標原點截得一點，即坐標原點)

4、0 , 0 , 0(O設設0, 0 qp原點也叫橢圓拋物面的頂點原點也叫橢圓拋物面的頂點.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.1zz 11212122zzqzypzx當當 變動時，這種橢變動時，這種橢圓的中心都在圓的中心都在 軸上軸上.1zz)0(1 z與平面與平面 不相交不相交.1zz )0(1 z2用坐標面用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得拋物線截得拋物線機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 與平面與平面 的交線為拋物線的交線為拋物線.1yy 121222yyqyzpx它的軸平行于它的軸平行于 軸軸z頂點頂點 qyy2,

5、 02113用坐標面用坐標面 ， 與曲面相截與曲面相截)0( xyoz1xx 均可得拋物線均可得拋物線.同理當同理當 時可類似討論時可類似討論.0, 0 qp機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 zxyoxyzo橢圓拋物面的圖形如下：橢圓拋物面的圖形如下：0, 0 qp0, 0 qp機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 特殊地：當特殊地：當 時，方程變為時，方程變為qp zpypx 2222旋轉拋物面旋轉拋物面)0( p由由 面上的拋物線面上的拋物線 繞它的軸繞它的軸旋轉而成的旋轉而成的xozpzx22 11222zzpzyx與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )0(1 z當當 變動時，這

6、種圓變動時，這種圓的中心都在的中心都在 軸上軸上.1zz機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 zqypx 2222 與與 同號同號pq雙曲拋物面馬鞍面雙曲拋物面馬鞍面用截痕法討論：用截痕法討論：設設0, 0 qp圖形如下：圖形如下：xyzo機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 三雙曲面三雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax1用坐標面用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得中心在原點截得中心在原點 的橢圓的橢圓.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.1zz 當當 變動時，這種橢變動時，這

7、種橢圓的中心都在圓的中心都在 軸上軸上.1zz 122122221zzczbyax2用坐標面用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( yxoz截得中心在原點的雙曲線截得中心在原點的雙曲線. 012222yczax實軸與實軸與 軸相合，軸相合，虛軸與虛軸與 軸相合軸相合.xz機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 122122221yybyczax雙曲線的中心都在雙曲線的中心都在 軸上軸上.y與平面與平面 的交線為雙曲線的交線為雙曲線.1yy )(1by ,)1(221by x實軸與實軸與 軸平行軸平行,z虛軸與虛軸與 軸平行軸平行.,)2(221by z實軸與實軸與 軸平行軸平行,x虛軸與虛軸與 軸平

8、行軸平行.,)3(1by 截痕為一對相交于點截痕為一對相交于點 的直線的直線.)0 , 0(b機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕為一對相交于點截痕為一對相交于點 的直線的直線.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax3用坐標面用坐標面 ， 與曲面相截與曲面相截)0( xyoz1xx 均可得雙曲線均可得雙曲線.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 單葉雙曲面圖形單葉雙曲面圖形 xyoz平面平面 的截痕是兩對相交直線的截痕是兩對相交直線.ax 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyaxxyo機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 橢球面、拋物面、雙