1、第四節第四節一、隱函數的導數一、隱函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數 三、相關變化率三、相關變化率 隱函數和參數方程求導隱函數和參數方程求導 相關變化率 31xy 一、隱函數的導數一、隱函數的導數由由)(xfy 表示的函數表示的函數 , 稱為顯函數稱為顯函數 .例如例如,013 yx可確定顯函數可確定顯函數,sin xxy ),1ln(2xy 若由方程若由方程0),( yxF可確定可確定 y 是是 x 的函數的函數 ,函數為隱函數函數為隱函數 .則稱此則稱此例如例如,稱為隱函數的顯化稱為隱函數的顯化 .03275 xxyy可確定可確定 y 是是 x 的函數的

2、函數 ,但此隱函數不能顯化但此隱函數不能顯化 .隱函數求導方法隱函數求導方法: 0),( yxF0),(dd yxFx兩邊對兩邊對 x 求導求導(含導數含導數 的方程的方程)y)(xyy 時刻注意時刻注意.的的函函數數是是 x問題問題: : 隱函數不易顯化或不能顯化如何求導隱函數不易顯化或不能顯化如何求導? ?隱函數求導法則隱函數求導法則: :用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導. .例例1. 求由方程求由方程03275 xxyy)(xyy 在在 x = 0 處的導數處的導數.0dd xxy解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導求導 )32(dd75xxyy

3、x得得xydydydd5xydyyddd)2( 1621x025211dd46 yxxy因因 x = 0 時時 y = 0 , 故故210ddxxy0確定的隱函數確定的隱函數(把把 y 看成看成 x 的函數的函數)xyydd54xydd21621x0例例2. 求橢圓求橢圓191622yx在點在點)3,2(23處的切線方程處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對橢圓方程兩邊對 x 求導求導8xyy920y2323 xyyx169 2323 xy43故切線方程為故切線方程為323y43)2( x即即03843 yx觀察函數觀察函數.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 解解 142)1(311

4、1)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求求導導得得上上式式兩兩邊邊對對 x142)1(3111 xxxyy例例3.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設設例例4. 求求)0(sin xxyx的導數的導數 . 解解: 兩邊取對數兩邊取對數 , 化為隱式化為隱式xxylnsinln 兩邊對兩邊對 x 求導求導yy 1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx xxxexylnsinsin 先在方程兩邊取對數先在方程兩邊取對數, , 然后利用隱函數的求導然后利用隱函數的求導方法求出導數

5、方法求出導數. .-對數求導法對數求導法適用范圍適用范圍: : 1) 對冪指函數對冪指函數)()(xgxfy 可用取對數求導法可用取對數求導法 :)(ln)(lnxfxgy yy1)(ln)( xfxg )( )(1)(xfxfxg )0)( xf2) 有些顯函數多個函數相乘用對數求導法求導很方 便 .例如例如,兩邊取對數兩邊取對數兩邊對兩邊對 x 求導求導 yy.,1cos2yxxxy 求求 21ln y)ln(coslnln2121xxx 21221cossin121xxxxx.tancos2211121xxxxxxxy又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21ln

6、y對對 x 求導求導21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對數兩邊取對數2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x二、由參數方程確定的函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數.,)()(定的函數定的函數稱此為由參數方程所確稱此為由參數方程所確間的函數關系間的函數關系與與確定確定若參數方程若參數方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數消去參數問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何求導? ?t 參參數數方方程程)()(1txx )()(2tyy ,)()(存存在在的的

7、反反函函數數假假設設xtttxx 則復合函數則復合函數 . )()()(xyyxtytyy 函數函數就是參數方程所確定的就是參數方程所確定的那那么么且且存存在在設設定定理理,0)(,)(, )(.1 txtytx)()(txtyxdyd.tdxdtdydxdyd 或或還還有有存存在在進進一一步步假假設設,)(),(tytx .)()()()()(322txtxtytxtyxdyd .證證,)(0 tx,)()(存存在在的的反反函函數數xtttxx ,)(1txxdtd 且且:根根據據復復合合求求導導法法得得xdtdtdydxdyd)()(txty1.)()(txtyxdtdtxtytddxdy

8、d )()(22)()()()()()(txtxtxtytxty 12.)()()()()(3txtxtytxty ,進一步進一步例例5. 已知擺線已知擺線)sin(ttax 解解: xydd)cos1(tay dtdxdtdy/)cos1(sintata .2cot2sin22cos2sin22tttt22ddxydxdydxddxtd)2(cotdtdxdttd)2(cot )cos1(22/csc2tat .的一階和二階導數的一階和二階導數關于關于求求xy )()(dd22ttxy ,)()(tt xydd?例例6. 設設)(tfx , 且且,0)( tf求求.dd22xy ddxy)(

9、tft )(tf , t dd22xy1)(tf 知知解解:)()(tftfty 練習練習: P111 題題8(1),1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:注意注意 : 三、相關變化率)(, )(tyytxx 為兩可導函數為兩可導函數yx ,之間有聯系之間有聯系tytxdd,dd之間也有聯系之間也有聯系稱為相關變化率稱為相關變化率相關變化率問題解法相關變化率問題解法:找出相關變量的關系式找出相關變量的關系式對對 t 求導求導得相關變化率之間的關系式得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率求出未知的相關變化率tytyt 0lim)(.導數就是變化率導數就是變化率例例7

10、. 一氣球從離開觀察員一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升處離地面鉛直上升,其速率為其速率為,minm140當氣球高度為當氣球高度為 500 m 時時, 觀察員觀察員視線的仰角增加率是多少視線的仰角增加率是多少? 500h解解: 設氣球上升設氣球上升 t 分后其高度為分后其高度為h , 仰角為仰角為 ,那么那么 tan500h兩邊對兩邊對 t 求導求導 2sectdd thdd5001 知知,minm140dd th h = 500m 時時,1tan 22tan1sec ,2sec2 tdd 140500121 14. 0 )minrad/(思考題思考題: 當氣球升至當氣球升至500

11、 m 時停住時停住 , 有一觀測者以有一觀測者以100 mmin 的速率向氣球出發點走來的速率向氣球出發點走來,當距離為當距離為500 m 時時, 仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500對對 t 求導求導 2sectdd txxdd5002 知知,minm100dd tx.ddt x500,m500 x求求試求當容器內水試求當容器內水Rhxhr例例8. 有一底半徑為有一底半徑為 R cm , 高為高為 h cm 的圓錐容器的圓錐容器 ,今以今以 自頂部向容器內注水自頂部向容器內注水 ,scm253位等于錐高的一半時水面上升的速度位等于錐高的一半時水面上升的速度.解解

12、: 設時刻設時刻 t 容器內水面高度為容器內水面高度為 x ,水的水的VhR231 )(231xhr xrh)(33322xhhhR兩邊對兩邊對 t 求導求導tVdd22hR2)(xh,ddtx 而而,)(25222xhRh ,2時時當當hx hxhRr故故 txdd) scm(25dd3 tV) scm(100dd2Rtx 體積為體積為 V , 那那么么R內容小結內容小結1. 隱函數求導法則隱函數求導法則直接對方程兩邊求導直接對方程兩邊求導2. 對數求導法對數求導法 :適用于冪指函數及某些用連乘適用于冪指函數及某些用連乘,連除表示的函數連除表示的函數3. 參數方程求導法參數方程求導法4. 相

13、關變化率問題相關變化率問題列出依賴于列出依賴于 t 的相關變量關系式的相關變量關系式對對 t 求導求導相關變化率之間的關系式相關變化率之間的關系式求高階導數時求高階導數時,從低到高每次都用參數方程求導公式從低到高每次都用參數方程求導公式1. 設)(xyy 由方程由方程eyxey確定確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導求導, 得得0yxyyey再求導再求導, 得得2yey yxey)(02 y當當0 x時時, 1y故由故由 得得ey1)0(再代入再代入 得得21)0(ey 求求. )0(y , 求01sin232ytettxy.dd0txy解：解： txddyetydd0ddtxy2. 設設方程組兩邊同時對方程組兩邊同時對 t 求導求導,