1、第3講群的定義及例子設(shè)非空集S上有一個(gè)運(yùn)算, 1、如果運(yùn)算滿足結(jié)合律，則稱(S,)是半群。2、如果半群S中有一個(gè)元素e滿足e a 二 a e = a,則稱(S，e)是幺半群，稱e為單位元或幺元。3、如果幺半群S滿足 VaeS有bwS使得a - b= b a 二 e貝!I稱。是可逆元，并稱b是0的一個(gè)逆元。注:通常用1表示單位元。群定義 4命題 若a是可逆元，則a的逆元是唯 一的，記為Q-1.證明：若a有兩個(gè)逆元b和c,即有 ab=ba=l9 ac=ca=l a b=lb=cab=cl=c. 5、如果幺半群S的每個(gè)元素都有逆元，貝！|稱S是一個(gè)群(group) o運(yùn)算滿足交換律的群S稱為交換群.

2、群定義 6、對(duì)群G中的元a和正整數(shù)兀. a"表示個(gè)a相乘； a"n =(a_1)n,a°= 1 7、 驗(yàn)證：amn =(am)n ; am+n =aman.幾個(gè)問(wèn)題: (1)V為什么要求群的運(yùn)算滿足結(jié)合律? (2)、為什么要有單位元? (3)、逆元的存在性有何運(yùn)算意義?啲例子再明確一下群的概念宦義F非空集合，如果G上定義了一個(gè)運(yùn)顰滿足 （ I ） （口） cm）結(jié)合律 Va,b,cWA 有(ab)c=d(bc)； 有單位元 XMWA有 ea=ae=a； 有逆兀 X/WG,有bWG使得 ab=ba=e（其中b稱為a的逆元，記為a-1 ）o 則稱G是一個(gè)群.注意：記住

3、驗(yàn)證運(yùn)算的封閉性！1.1群的概念和例子例1實(shí)集有理數(shù)集Q、整數(shù)集Z關(guān)于數(shù)的 加法都是交換群（滿足交換律的群）；關(guān)于數(shù)的乘法怎么樣？規(guī)定：只有交換群的運(yùn)算符才能用加號(hào)“+”表示。當(dāng)交換群G的運(yùn)算符才能用加號(hào)“+”表示時(shí)，則 稱G為加群。例2正實(shí)集R +、正有理數(shù)集Q +關(guān)于數(shù)的乘法都是交換群;正整數(shù)集Z+關(guān)于數(shù)的乘法怎么樣?£： =1,吃=0丄2,人，兀一1.不難驗(yàn)證：|U農(nóng)關(guān)于數(shù)的乘法是一個(gè)群叫做次單位根群。例4 域F上的全體n階可逆方陣GLn(F)關(guān)于矩陣的乘 法構(gòu)成一個(gè)群，稱為F上的階一般線性群.證明：封閉性 可逆矩陣的乘積還是可逆矩陣,結(jié)合律:矩陣的乘法滿足結(jié)合律;即 V A, B W GLn(F),有AB e GLn(F).單位矩陣I就是單位元;單位元:逆元:VAGGLn(F), A可逆，A的逆矩陣就是 A的逆元.1.1群的概念和例子例5 域F上的行列式為1的全體兀階方陣之集 SLJF)關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)群，稱為F上 的兀階特殊線性群.例6實(shí)數(shù)域R上的全體兀階正交矩陣之集OJR) 關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)群，稱為階正交群.例7向量空間Vf上的全體可逆線性變換GL(V)關(guān)于變換的合成運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群.例8 n維歐氏空間Vf上的全體正交變換之集On(V)關(guān)于變換的合成運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群.例9平面上繞一定點(diǎn)按同一