1、21.2銳角的三角函數值一、教法設想：通過同學們經常使用的三角板，讓同學們計算一下，當A=30°, A=45°, 由于同學們所使用三角板大小不一，但他（她）們求得的比值都是和，這是為什么呢？由相似三角形有關性質得出：在這些直角三角形中，銳角A取一個固定值，A的對邊與斜邊的比值仍是一個固定值，進而再引入正弦，余弦的概念，并向同學說明0< sinA < 1, 0< cosA< 1（A為銳角）. 再分別求出30°，45°，60°特殊三角函數值并應用其進行計算，進一步研究任意銳角的正弦值與余角的余弦值關系. 根據30°

2、，45°，60°正、余弦值分析，引導同學歸納出：當角度在0°90°間變化時，正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）；當角度在0°90°間變化時，余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）. 適時介紹正弦和余弦表的構造. 結合實例進行查表，知其角度查正弦值或余弦值，反之亦然. 正確處理好修正值. 對學有余力的學生，也可適當介紹“sin2A+ cos2A = 1”這一重要關系式. 在學習正弦、余弦的概念后，再進一步學正切、余切較容易，可仿正弦、余弦的教法進行，對學有余力的學生也可講授這些重要關系式. 在教學中對0°，

3、30°，45°，60°，90°的特殊角的三角函數值要求學生一定要熟記，為此，我們可分別列出表并編出口決讓學生記易，省時易記. 表I：三角函數30°45°60°SinCostg口決：一，二，三，三，二，一，三九二十七. 表II.三角函數0°30°45°60°90°SinCostg01ctg10口決：0，一，二，三，四帶根號，比上2要記牢. 第二行左右倒，三，四行靠推導. 【指點迷津】本單元銳角三角函數的引進，使形與數緊密結合為一體，開辟了數形結合的新航向. 因此，在本單元教學中

4、，務必注意數形結合思維方法的引導，應用. 用其法解決生活中的實際問題. 達到得心應手. 二、學海導航：【思維基礎】 1. 銳角三角函數定義RtABC中，C= 90°，AB= c，BC= a，AC= b， 則A的正弦，余弦，正切，余切分別是：SinA = _ CosA =_ tgA =_ CtgA= _. 它們統稱為A的銳角三角函數. （1）一銳角的三角函數值是四個_；銳角三角函數都不可能取_，且A為銳角時，SinA，CosA均在_ _內取值. 2. 特殊角的三角函數值（完成下表） 角度 三 角函數 值三角函數0°30°45°60°90°

5、;增減值SinCostgctg 3. 互余角間的三角函數關系，ABC中，C= 90°，A + B = 90°，B =90°A，則有： Sin(90°A) = _ Cos(90°A) = _ tg (90°A) = _ Ctg(90°A) = _. 4. 同角三角函數關系公式：（A為銳角）. （1）Sin2A + Cos2A = _; Cos2A = _, Sin2A = _. 【學法指要】 例1. 如果A為銳角，CosA= ，那么（ ） A. 0°< A 30° B. 30°< A4

6、5° C. 45°< A 60° D. 60°< A < 90° 思路分析： 當角度在0° 90°間變化時，余弦值隨著角度的增大（或減少）而減小（或增大）. 60°< A < 90° 應選D 例2. 當45°< X < 90°時，有（ ） A. Sin x > Cos x > tg x B. tg x > Cos x > Sin x C. Cos x > Sin x > tg x D. tg x > S

7、in x > Cos x 思路分析： 45°< x < 90° 取A = 60° ， tg x > Sin x > Cos x 應選D 解選擇題，采取特例法可出奇制勝，如本例取x = 60°在45°< x < 90°的范圍內，很快可知Sin 60°,Cos 60°,tg60°的值，誰大誰小，相形見絀. 因之，在解決有關選擇題時，根據題目的限制條件，靈活選取特殊值（也可畫特殊圖形，特殊點，特殊位置，特殊線等），可巧奪天工. 例3. 計算： 思咯分析：若a0時 , a

8、0 = 1 對此項中的Sin36°是一項干擾支. 迷惑同學們，因為Sin36°，不是表內特殊值，求不出來，至使解題陷入僵局，其實不然. 不需要求Sin36°之值，只需要知道即可. 因而，解題時，必須善于排除干擾支，解除困惑，準確使用數學概念，正確求出答案，對于特殊角三角函數值的計算，一. 要準確無誤代入三角函數值；二. 要按照實數的運算法則進行運算；三. 運算的結果必須是最簡關系式. 于是對上式便一目了然了. 例4. 已知方程的兩根為 tg, ctg,求k和，（為銳角） 思路分析：tg, ctg為二次方程的二根，根據與系數關系式，得 tg· ctg=1

9、k = 1 原方程為 即tg= , ctg= 或 tg= , ctg = 故1=30° 2 = 60°銳角三角函數與二次方程等有著千絲萬縷的聯系，各種知識交織在一起，因而必須把綜合知識進行剖析，分解，然后各個擊破，便可打通思路. 如本例，首先運用二次方程的有關知識根與系數關系；再運用銳角三角函數的倒數關系求出K，又回到解一元二次方程來，解出二根，從中求出tg,ctg之值，再求出對應的之值，總之，善于剖析，化整為零，一個一個解決，對復雜的綜合題便可攻破了. 例5. 在ABC中，三邊之比a：b：c = 1：2，則SinA + tgA等于（ ） A. B. C. D. 思路分析：

10、 a：b：c = 1：2 可設a = k, b = k , c = 2k ( k > 0 ) a2 + b2 = k2 + (k)2= 4k2 = (2k)2 = c2 ABC是直角三角形，且C= 90° 根據三角函數定義，可知： ABC是直角三角形，且C= 90°根據三角函數定義，可知：SinA + tg A 應選（A）對于題設是以連比形式出現的，通常都是增設參數K，將未知轉化已知，使問題明朗化，進而再研究三角形三邊的關系，從而判定為直角三角 形，又轉化為銳角三角函數問題，找到思路，這是解決此類問題的常用方法，而且又比較方便，請同學們今后遇到此類問題，可小試“牛刀”

11、. 【思維體操】 例1. 已知AD是直角ABC的斜邊BC上的高，在ADB及ADC中分別作內接正方形，使每個正方形有兩條邊分別在DB，DA及DC，DA上，而兩個正方形的第四個頂點E，F各在AB，AC上，求證：AE= AF.揭示思路1：設ABC= . 正方形EMDG與正方形DNFH的邊長分別為a , b AD = AG + DG = a·tg + a AD = AH + DH = b·Ctg+b a tg + a = b ctg+b = b·ctg= AH. AE = AF揭示思路2：設BC = a , 且ABC=，則有 AB = a cos 同理： AE = AF由

12、上兩種思路證得AE= AF， 可發現用三角法研究幾何問題，開門見山，直截了當，只要所給定的幾何圖形中有直角三角形. 便可應用銳角三角函數列出它們的邊角關系式，再應用代數法計算一下，便可達到目的. 題設所給的問題中，未有給定直角三角形，只要能構造出直角三角形，同樣也可轉化為用三角法證解之，而且也比較方便，由此可見，用三角法證（解）幾何問題為解幾何問題又開拓了新的渠道. 為數與形結合提供了新的條件，我們應在這條新渠道不斷探索，取得新的成果. 現沿這思路繼續擴散. 擴散一：如圖，RtABC中，有正方形DEFG，D，G分別在AB，AC上，E，F在斜邊BC上，求證：EF2 = BE·FC揭示思

13、路：從題設及圖形中都可發現有直角三角形，所以用三角法證之比較順暢. 在RtBDE中，在RtGFC中， B + C =90°，tgB = tg(90° C) = ctgC DE = GF = EF EF2 = BE·CF擴散二： 在ABC外側作正方形ABDM和ACEN， 過D，E向BC作垂線DF，EG，垂足分別為F，G，求證：BC = DF + EG 提示思路：觀察圖形可發現直角三角形DFB及直角三角形EGC. 便萌生用三角法證明，可是此時DF，EG比較分散. 設法作AHBC再構兩個直角三角形，通過正方形為“媒介”，這樣把DF，EG就有了聯系. 此時，應用銳角三角函

14、數定義建立邊角關系，便可馬到成功！在RtEGC中， EG = b cos在RtDBF中，同理，DF = c cos（設b, c , ,如圖）EG + DF = b Cos + c cos在 RtABH中，BH = c cos在 RtACH中，CH = b cosBC = BH + CH , BC = b cos + c cosBC = EG + DF擴散三：設頂角A = 108°的等腰三角形的高為h，A的三等分線及其外角的四等分線分別為P1，P2，求證：揭示思路： 從圖形中可發現有幾個直角三角形存在，這個信息向我們提供用三角法證明是得天獨厚的條件，不要猶豫，不然，將會失去良機. 如圖

15、，設ABC的底邊上的高AH = h , A的三等分線AD= P1， A的外角四等線AE = P2，BAC= 108°，AB = AC，DAH = 18°在RtADH中，cos18°= CAE = (180°108°)= 18° ACB =(180°108°)= 36°AEC = 18°在RtAHE中，Sin18°= 擴散四：已知：如BAC=90°，ADBC，DEAB，DFAC，垂足分別為D、E、F.求證：揭示思路：本例直角三角形之多，用三角法證之更不宜遲，用銳角三角函數定義，

16、列出邊角關系，可十分巧妙就證得結論.設ABC = ，則DAF = CDF= 擴散五：在正方形ABCD中，AE平分BAC交BC于E，交OB于F，求證：EC = 20F揭示思路：觀察圖形，圖中有許多直角三角形，它啟示我們用三角法作為“向導”，可直達目的地. BEF = ACB + EAC = 45°+BAEBFE= CAE, BEF = BFE, BE = BF進而可知AD = DF設正方表ABCD邊長為1，又設BAE = CAE =則OA= OB = 在RtABE中，BE = AB·tg= BFBF = OBOF = OB OA·tgABtg= OB OAtgOF

17、= OA·tg= (1) EC= BCBE = 11·tg= 1+1 = 2 = (1)EC = 20F應用銳角三角函數的定義研究幾何問題；直觀，又少添或不添設輔助線，充分發揮數的長處. 把幾何問題通過銳角三角形邊角關系，應用計算法，便可曲徑通幽，柳暗花明. 同學們應加強這方面的學習，以拓寬幾何證題思路. 三、智能顯示【動腦動手】 1. 在RtABC中，C = 90°，則SinB + CosB的值（ ） （A）大于1 （B）小于1 （C）等于1 （D）不確定 2. 在ABC中，它的邊角同時滿足下列兩個條件；（1）SinC=1；（2）SinA,CosB是方程4x2c

18、x + 1 = 0的兩個根，求a，b，c及SABC 3.證明：“從平行四邊形ABCD的頂點A，B，C，D向形外的任意直線MN引垂線AABBCCDD垂足是ABCD（如下圖）求證：AA + CC=BB + DD，現將直線MN向上移動，使得A點在直線的一側，B、C、D三點在直線的另一側（如中圖），這時，從A、B、C、D向直線MN作垂線，垂足為ABCD，那么垂線放AABBCCDD之間存在什么關系？如將直線MN再問上移動，使兩側各有兩個頂點（如下圖）. 從A，B，C，D向直線MN作的垂線放AABBCCDD之間又有什么關系？根據左圖，中圖，右圖寫出你的猜想，并加以證明. 揭示思路：1. 在RtABC中，C

19、= 90°由銳角三角函數定義，得a + b > c SinB + CosB > 1 , 應選A. 2. SinC = 1 , C = 90° SinA + CosB = ,SinA CosB = 又A + B = 90°, B = 90°A CosB = Cos(90°A ) = SinA c = 4 , A= 30°, a = 2 , b = 3. 猜想如下：對于中圖有：CC AA= BB+ DD對于右圖有：CC AA= DD BB證法1. 如圖,設AEA= ,則AA= AESin= (OAOE)Sin= OASinOE

20、Sin，又CC= CESin= (OC + OE ) Sin= (OA + OE ) Sin = OASin+ OESinCC AA= 2OESinOO= OESin, CC AA= 2OO由題設知，OO為梯形BBDD的中位線. BB+ DD= 2OOCC AA= BB+ DD（2）如圖，仿（1）證法可得 CC AA= 2OESin DDBB = 2OFSinOESin= OFSin, CC AA= DD BB證法二：（1）延長CB交MN于E，設AD與MN交于F， 又設AFA= ，則BEB= ，在RtEBB中， BE= CE CBBB= BESin CBSin 在R tECC中，Sin=, C

21、C= CESinCC BB= BCSin在RtAAF與RtFDD中.AA= AFSin, DD= DFSinDF= AD AFDD= ADSin AFSinADD= ADSin AADD+ AA= ADSinAD= BC, CC BB= DD+ AACC AA= BB+ DD（2）仿證法（1）同樣可證得CC+ BB= BCSinAA+ DD= ADSinCC+ BB= AA+DD，CC AA= DD BB證法三：（1）如圖，作DECC， 則DDCE為矩形，CE= CC DD設AFA= ， 則易知CDE= 在RtCDE中，CC DD= CDSin在RtAFA中， AA= AFSin在R

22、tFBB中， BB= BFSinBB= (AB AF)Sin= ABSin AFSinAA+ BB= ABSinAB = CD, AA+ BB= CC DDCC AA= DD+ BB（2）如圖，仿（1）同法可證： CC AA= DDBB【創新園地】已知ABC中，BAC= 120°，ABC=15°，A，B，C的對邊分別為a, b ,c那么a：b：c = _ （本結論中不含任何三角函數，但保留根號，請考慮多種解法）. 解法一：過點B作BDAC交CA的延長線于點D. BAC=120°，ABC= 15°, ACB= DBC=45°,ABD= 30° 在RtABD中，Sin30°= AD=