1、:業專考報校學考報二二二二二二二二二二二：號證考準二二二二二二7名姓- - - - - - - - - - - - - - - - - - I2006年浙江省普通高校“專升本”聯考高等數學（二）試卷題號一一二四總分得分考試說明：1、考試時間為150分鐘；2、滿分為150分；3、答案請寫在試卷紙上， 用藍色或黑色墨水的鋼筆、圓珠筆答卷，否則無效;4、密封線左邊各項要求填寫清楚完整。得分一、填空題：（只需在橫線上直接寫出答案，不必寫 出計算過程，本題共有 8個空格，每一空格 5分， 共40分）3 axsin4x e 101.若 f （x）x ，在ax 0x 0連續，則 a .x 1 t2，一2 .

2、曲線x ； t 在t 2處的切線方程 y t3為 .3 .設函數y （2x 1）sinx,則其導數為 4 .2（1 xcosx）dx =.5 .設 y cos（sinx）,貝U dy dx.閱卷人6.曲線y 而x與直線x 1, x 3及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉一周,所得旋轉體體積為7.微分方程 y 4y 5y 0的通解為18.若級數 千彳 收斂，則 的取值范圍是 n 1 n二.選擇題.（本題共有5個小題，每一小題4 分，共20分，每個小題給出的選項中，只有一 項符合要求）得分閱卷人1.limxx .arctanx x 1(A)(B)(C) 1(D)不存在2.0 時,f (x)x sin x是

3、比 x2的(A)高階無窮小(B)等價無窮小(C)同階無窮小(D)低階無窮小3.(A)絕對收斂(B)條件收斂(C)發散(D)無法判斷4.曲線yx2與直線1所圍成的圖形的面積為(A)(B) 3(C) 3(D)5.廣義積分x(1 x)3 dx 為(A)(B) 0(C)2(D)三.計算題:(計算題必須寫出必要的計算過程，只寫答案的不給分,本題共10個小題，每小題 6分，共60分)xtan tdt1 .計算極限limn-.x 0x22 .計算函數yx2jyx的導數 y .3計算由隱函數ey xln y確定的函數 y f(x)的微分dy.14 .判別正項級數jn ln(1 )的斂散性.n 1n5.計算不定

4、積分dxx (1 x)6 .求哥級數3nx2n的收斂半徑與收斂區間n 0:業專考報7 .計算定積分xsin2xdx08 .計算微分方程dy 獨一y?滿足初始條件y(0) 1的特解.dx y(1 x2)9.計算函數 y sin(ln x)的二階導數 y- - - - - - -二校學考報二二二二二二二二二二二：號證考準二二二二二二7.名姓10.將函數 y lnx展成（x 1）的哥級數并指出收斂區間得分閱卷人四.綜合題：（本題共4個小題，共30分）n nb an(b a).n 1/_ _、b(n2,3,)1.本題7分設0 a b ,證明不等式22.本題7分設函數f(x)° f(x)dx,

5、求f (x)在區間0, 2上的最大值與最小值.x( 為實數)3 .本題8分設f (x)0,試問在什么范圍時，(1)f(x)在點x 0連續;(2)f(x)在點x 0可導.x4 .本題 8分若函數 f(x) o (x t)f(t)dt ex,求 f(x).2006年浙江省普通高校“專升本”聯考高等數學(二)試卷(A)參考答案及評分標準考試說明：1 .考試時間為150分鐘；2 .滿分為150分3 .答案請寫在試卷紙上，用藍色或黑色墨水的鋼筆、圓珠筆答卷，否則無效;4 .密封線左邊各項要求填寫清楚完整。一、 填空題：(只需在橫線上直接寫出答案，不必寫出計算過程。本 題共有8小題，每小題5分，共40分。

6、)sin4x e3ax 1 x 01.若f(x)x , x 0在x 0連續，則ax 0a 1.x 1 t2 , _2 .曲線 '在t 2處的切線方程為y 3x 7.y t32sinx3 .設函數 y (2x 1)sinx,則其導數為y (2x 1ncosxln(2x 1) .2x 14 .2(1 xcosx)dx =4:5 .設 y cos(sin x),貝U dy cosxsin(sin x) dx.6 .曲線y Vin-x與直線x 1, x 3及x軸所圍成的圖形 繞x軸旋轉一周,所得旋轉體體積為(3ln 3 2).7.微分方程 y 4y 5y 0的通解為y e2x(C1 cosx

7、C2 sin x).23n 1 n18.若級數二收斂，則的取值范圍是、選擇題：(本題5個小題，每小題4分，共20分.每小題給出的4個選項中,只有一項符合要求.)1. lim xarctanx( B ).x x 1(A)(B)(C) 1(D)不存在2.當 x 0時，f (x) x sin x 是比 X2 的(A).(A)高階無窮小(B)等價無窮小(C)同階無窮小(D)低階無窮小3.cosn0 . n 1(A)絕對收斂(B)條件收斂(C)發散(D)無法判4.曲線yx2與直線1所圍成的圖形的面積是(C).(A)(B)344(C)-3(D)x5.廣義積分一 Jdx為(D ).0 (1 x)31(D)(

8、A)1(B) 0(C)12三、 計算題：(計算題必須寫出必要的解題過程，只寫答案的不給分.本題共10個小題，每小題6分，共60分)2.計算極限Iim0xtan tdt0解:(5分)xtan tdt0lim 2x 0x2tan x=lim 一x 0 2x(6分)2 .計算函數 y x2L_x的導數 y .1 x解1:兩邊取對數，得1 ln y 21n x -ln(1兩邊求導數1x) 2(1 x)(1分)y_211y x 2(1 x) 2(1 x)(4分)(6分)解2:ln x2 . _x21n x 21n(1 x) 1n(1 x)由于y e *1 x e 2,所以1(4分)21n x _1n(1

9、 x) 1n(1 x)2111e 2一一 x 2 1 x 1 x(6分)3計算由隱函數ey xln y確定的函數 y f(x)的微分dy.解：方程兩邊關于x求導數，把 y看成x的函數.yey ln y 匯- (3 分)y解得 yyyn y(4分)ye x所以函數y f(x)的微分dyyyn y dx (6分)yey x15.判別正項級數 品1n(1 -2)的斂散性. n 1n解1： 由于in（i n-2n1-3n2(3分)已知級數n 11n2(P1）收斂(5分)由比較判別法知級數而ln(1 L)收斂.n(6分)1-3n2ni唁ln(1分）因為級數n1-3收斂n2所以原級數、.n ln(115.

10、計算不定積分dx x (11：dx一 x (1 x)=2arctan . x Cdxx (1 x)=2 d1 t2= 2arctant C= 2arctan、. x6.求哥級數3nn 0解:x 0時,limn1-3n2limn二) nTn1(4(5分)4）收斂。 n(6分)x)d( x)( x)2(6分)(4分)t2,dx2tdt ,于2tdt2-t(1 t)(4分)(5分)(6分)x2n的收斂半徑與收斂區間limnun 1unlimn3n1x2(n D3nx2 n3x2(2分)_,2r1, 一一所以當3x2 1 ,即|x| 時，哥級數 .33nx2n 收斂；當 3x2 1 , n 0即|x|

11、11-1時，哥級數3n x2n發散，所以哥級數的收斂半徑 R -J3n 0J 3(3分)由于x1，-產時，級數.33nx2nn 0成為1發散。n 0(5分)1 d(1x2)(6分)因此騫級數收斂區間為11.計算定積分xsin2 xdx0解：由于公式2sin x1 ，,-(1 cos2x),所以xsin2 xdx =二0x(1cos2x)dx(2分)1,c、,-0 (x xcos2x)dx0xdx0 xcos2xdx3分)0xdsin2xxsin2xsin2xdx(5分)1cos2x8(6分)dy12.計算微分方程dxx(1 y2)滿足初始條件y(0) 1的特解.y(1 x2)解：分離變量得 -

12、1ydy xdx2.2y 1 x(2分)兩邊積分ydy1 y2xdx1 x22d(1 y )21 x21 y212121即,ln(1 y ) 1ln(1 x2) 1c (4分)或 ln(1y2) ln(1 x2) C將初始條件y(0) 1代入得C ln2 (5分)2_2一所求特解是y 2x 1(6分)13 .計算函數y sin（ln x）的二階導數y解：y8s(lnx)x(3分)sin(ln x) cos(ln x)2xsin(ln x) cos(lnx)2x(6分)14 .將函數 y lnx展成（x 1）的哥級數并指出收斂區間解：因為 y ln x ln1 (x 1)(1分)23n根據哥級數

13、展開式ln(1 x) x x, | Iff (1* HI n1 x 1(2 分)于是23n(x 1) (x 1)n 1 (x 1)ln x (x 1) '，'，( 1) 5 分收斂區間是 x （0, 2（6分）四、綜合題（本題 4個小題，共30分）1.本題7分設0 a b,證明不等式 an 1n nb an(b a)bn1 (n 2,3,|()證明：設 f(x) xn, n 2 ,( 2 分) 則f （x）在閉區間a,b上滿足Lagrange定理條件，于是存在一點（a,b）,使 上一迨） f （ ）（3分）b a n nb a n 1即n（4分）b a因為n 2且ab ,所以a

14、n 1 n 1 bn 1 ,（5分）3.n nn nn 1b an 1n 1 b an 1 一八、因此 na nb ，從而a b .(7分)b an(b a)22.本題7分設函數f(x) x2o f(x)dx,求f(x)在區間0, 2上的最大值與最小值.22解：由于定積分 0 f(x)dx是一確定的實數，設 0 f (x)dx k (1分)對f(x)的等式兩邊積分有22 22f (x)dx x dx kdx000一 2 -8于正 k f (x)dx 一 2k(2 分)03由上式解得 k 89f (x) x2 -(3 分)9令f (x) 2x 0得駐點x 0(4分)當x (0, 2)時，恒有 f

15、 (x) 0,表明f (x)在區間(0,2)內嚴格增加， (5分)8 一所以f(0)是函數f(x)在0,2的最小值 (6分)9-28f (2) 一是函數f(x)在0, 2的最大值.(7分)91 x sin x 0 3.本題8分設f(x)x,( 為實數)試問 在什么氾0,x 0圍時(1) f(x)在點x 0連續；(2) f(x)在點x 0可導.解：(1)當分)所以當1 一0時，x是x 0時的無否小重，而sin一是有界變重, x(21c-、0 時，lim f (x) lim x sin 0 f (0)(3 分)x 0x 0即當 0時，f(x)在點x 0連續。(4分)(2)當1時，由導數定義及有界變

16、量乘無窮小量是無窮小量，得f (x) f (0) f (0)lim -x 0 x1 . 16=lim x sin 0x 0xsinl（6分）（7分）所以當 1時，f（x）在點x 0可導.（8分）x4.本題 8 分若函數 f(x) o(x t)f(t)dt ex,求 f(x).xx一一解：f(x) x o f(t)dt °tf dt e上式兩邊關于x求導數xf (x)0 f (t)dt xf (x) xf (x) ex, f (x)0 f(t)出(1分)f (x) f (x) ex( 2 分)記y f（x）,則上式是二階常系數非齊次微分方程x，即 y y e (I)(3分)由于1是y y 0的特征方程r2 1 0的單根，所以設yxaxe是萬程 *xx _.y y 0的通