1、數列復習與訓練新方案嘗試黃岡中學 吳校紅 大家知道，在課本的數列一章中，首先介紹了數列的有關概念與表示方法，接著介紹了等差數列與等比數列的定義、通項公式、求和公式，最后介紹了數列在分期付款中的應用教材內容比較少，而且很簡單但是，高考對于這一章的考查既全面，也有一定的深度，基本上已列為選拔優秀學生的重點的考點因此合理組織好這一章的高考復習成為考生數學能不能得高分的關鍵因素之一過去，我們往往是利用別人已編好的資料按部就班地組織復習，等這一章復習完了的時候，學生們反應數列的題目還是不會做，說心里總是沒有底兒，可見收獲是甚微的原因是這些資料上的知識并沒有內化為學生的知識因此，對本章的復習方法我們進行了

2、一些新的嘗試，學生反應還不錯下面將我們對數列這一章的復習與訓練方法做一介紹，以期待起到拋磚引玉的作用復習的指導思想是什么呢？可以多倡導學生自我完善知識結構，形成合理的知識體系；必須對教材的重點內容有所提升；在訓練上必須做到有條不紊，對各類題型必須網絡到邊到角；加強對熱點考點進行強化訓練；突出數列這一章中的重要思想方法的講解與訓練的力度那么，如何合理對這一章的復習進行規劃與實施呢？針對上面的指導思想，我們將這一章的復習劃分為以下四個部分：第一部分 用類比法歸納數列的基礎知識回顧等差數列、等比數列的定義，可以看出，將等差數列的定義中的“差”改為“比（商）”、“公差”改為“公比”即得等比數列的定義也

3、就是通過類比可以看出“等差數列”與“等比數列”的聯系2004年北京高考試題就出了一道“等和數列”的題目，那么，什么是等和數列，就只需將“等差數列”中定義中的“差”字改為“和”字即可要有效地把握好這一章的知識可以放手讓學生自己去梳理知識、去完善知識體系老師可以指出，將等差數列的有關知識通過類比就可以得出等比數列的相應知識，好比寫對聯，只要將“差”改為“商”，將“和”改為積，將“算術平均值”改為“幾何平均值”，等等，即可給學生充足的時間，讓他們去挖掘本章知識的內涵可以讓總結得全面具體又突出了重點的學生在班上交流，給學生一個自學為主同時能展示與提升自己的機會與空間下面，列舉一位總結得比較好的學生的歸

4、納成果：等差數列與等比數列的有關知識比較一覽表等 差 數 列等 比 數 列定義一般地,如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列這個常數叫公差一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫等比數列這個常數叫公比 遞推關系 （） （） （） （） （） （）通項公式 （） （） （）（）求和公式 （） (求積公式 ( ( (，主要性質若p+q=s+r, p、q、s、rN*,則.對任意c>0,c1,為等比數列.若、分別為兩等差數列，則為等差數列.數列為等差數列.若為正項等差自然數列，則為等差數列.為等差數列

5、.，n>2m，m、n.若則.若p+q=s+r, p、q、s、rN*,則.對任意c>0,c1, 若an恒大于0，則為等差數列.若、為兩等比數列，則為等比數列.若an恒大于0，則數列為等比數列.若為正項等差自然數列，則為等比數列.為等比數列.，n>2m，m、n，.若則.此外，還要了解一些等差數列與等比數列中的重要結論，這些結論之間不具有對偶關系：重要結論等 差 數 列等 比 數 列若p、q，且,則.若且,則 p、q. =.若|q|<1,則.數列雙基復習訓練（A）（滿分：100分 時間：60分種）一選擇題（共12道小題，每小題5分，共60分）1數列的一個通項公式是 （ ）A

6、B C D2已知數列滿足且，則 （ ） A B C D3等差數列的首項，如果成等比數列，那么公差d等于 （ ）A2 B-2 C2或0 D4數列的前項和，則此數列一定是 （ ）A遞增數列 B等差數列 C等比數列 D常數列5凸五邊形各內角度數成等差數列，則其中必有一個內角等于 （ ）A B C D6在和兩數之間插入個數，使它們與組成等差數列，則該數列公差為（ ）A B C D7設等比數列的前項和, 則等于 （ ）A0 B1 C2 D38一個等比數列的前項和為48，前項和為60，那么前項和為 （ ）A84 B75 C68 D639 設an是等差數列，Sn是前n項的和，且S5 < S6, S6

7、= S7 > S8，則下列結論錯誤的是（）Ad<0 Ba7=0 CS9>S5 DS6、S7均為Sn的最大值10是一個等差數列且，若，則等于 （ ）16 18 20 2211等比數列前n項和為Sn,有人算得S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后來發現有一個數算錯了，錯誤的是 （ ）    S1 S2 S3 S412若相異三數a(b-c,b(c-a,c(a-b組成以q為公比的等比數列，則q滿足的方程是 （ ）    A. q2-q+1=0 B、q4+q2-1=0     C、q2+

8、q+1=0 D、q4+q2+1=0選擇題答題卡(請將以上選擇題的答案填入下面的表格中題號123456789101112答案二填空題（共4道小題，每小題4分，共16分）13在等比數列中，則此數列前九項之積為14若，且，則15在等比數列an中，a7·a11=6,a4+a14=5,則=_.16已知等差數列an中，a1、a3、a9成等比數列，則=_.三解答題（共兩道小題，每小題12分，共24分）17已知一個等比數列的首項為1，項數是偶數，其奇數項之和為85，偶數項之和為170，試求這個數列的公比和項數18已知函數y= (nN*.(1當n=1,2,3,時，已知函數的圖象和直線y=1的交點的橫坐

9、標依次記為a1,a2,a3,.求證：a1+a2+a3+an<1.(2對每一個nN*,設An、Bn為已知函數圖象上與x軸距離為1的兩點，求證：n取任意一個正整數時，以線段AnBn為直徑的圓都與一條定直線相切，并求這條直線的方程和切點的坐標.數列雙基復習訓練（B）（滿分：100分 時間：60分種）一選擇題（共12道小題，每小題5分，共60分）1命題甲是“a,b,c成等比數列”，命題乙是“b=±”那么 （ ）A甲是乙的充分非必要條件 B甲是乙的必要非充分條件C甲是乙的充要條件 D甲不是乙的充分條件也不是必要條件 2已知等差數列an中，則的值是 （ ）A15 B30 C31 D 64等

10、比數列an中a2a1=9, a5a4=576 , 則的值等于 （ ）A46 B64 C D在ABC中，tanA是以-4為第三項，4為第七項的等差數列的公差，tanB是以為第三項，9為第六項的等比數列的公比，則這個三角形是 （ ）A.鈍角三角形 B.銳角三角形 C.等腰三角形 D.非等腰的直角三角形5已知-9，a1, a2,-1四個實數成等差數列；-9，b1, b2, b3,-1五個實數成等比數列，則b2（a2a1）等于 （ ）A-8 B8 C- D6如果數列an的前n項和Sn=an3，那么這個數列的通項公式是 （ ）Aan=2（n2+n+1） Ban=3·2n Can=3n+1 Da

11、n=2·3n7若兩個等差數列anbn前n項和An和Bn滿足（n*），則的值是A B C D （ ）8已知等差數列前n項和為Sn,若S12>0，S13<0,則此數列中絕對值最小的項是 （ ）A第5項 B第6項 C第7項 D 第8項9已知an是等比數列，a1=2,q=3,又第m項至第n項和為720，則m的值為 （ ）A1 B2 C3 D410在各項均為正數的等比數列an中若a4·a7=9,則log3a1+log3a2+log3a10等于 （ ）A8 B10 C12 D 1411若關于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(ab的四個根可組成首項為的等差數列，則a

12、+b的值是 （）A. B. C. D. 12等比數列中，S10=10，S10=(1+S5,則S40等于 （ ）A150 B-200 C150或-200 D 400或-50選擇題答題卡(請將以上選擇題的答案填入下面的表格中題號123456789101112答案二填空題（共4道小題，每小題4分，共16分）13等差數列an中a3=10, a3,a7,a9成等比數列，則公差d= _14在和4之間插入10個數，使它們成等比數列，則插入10個數的積為 _15集合M=mm=7k+3, kN*, 100 的所有元素的和為 16若干個能唯一確定一個數列的量稱為該數列的“基本量”設an是公比為q的等比數列，下列a

13、n的四組量中，一定能成為該數列“基本量”的是第_組.(寫出所有符合要求的組號S1與S2; a2與S3; a1與an; q與an.這里n為大于1的整數,Sn為an的前n項和.三解答題（共兩道小題，每小題12分，共24分）17有4個數，其中第1、第3、第4個數成等差數列，第1、第2、第4個數成等比數列，若首末兩個數之和為20，中間兩個數之積為80，求這四個數18陳老師購買安居工程集資房一套72m2,單價為1000元/m2，國家一次性補貼28800元，學校補貼14400元，余款由個人負擔，房地產開發公司對教師實行分期付款，每期為一年，等額付款，簽訂購房合同后一年付款一次，再過一年又付款一次等等，共付

14、10次，10年后付清，如果按年利率7.5%（按復利計息），那么每年應付款多少元？（計算結果精確到百元，可參考數據：1.075 91.921,1.075102.065,1.075112.221 數列雙基復習訓練（A）參考答案一、選擇題題號123456789101112答案二、填空題13.29(=512 14.39815.或16.1或三、解答題17解: 設該等比數列an的公比為q, 項數為2n,則所以,q=2又 ,所以，又已知所以，,所求數列的項數為2n=818解：(1易知 an=(n, a1+a2+an=(2令y=1,求得An,Bn兩點坐標分別為(,1和(2n,1，以AnBn為直徑的圓的Cn的方

15、程為配方得 所在圓Cn與y軸相切于原點.數列雙基復習訓練（B）參考答案一、選擇題題號123456789101112答案AABBADCCCBDA二、填空題13.0或14.3215.225016.三、解答題17解: 設這四個數分別為.依題意有:求得或.18解：設每年應付款x元.陳老師個人需付款72×1000-28800-14400=28800,由分期付款的知識,可得方程:即 所以 .答: 陳老師每年應付4200元.第三部分 用“模式化”方法抓好兩個專題的復習無論是從本章的知識結構還是從高考的命題規律來看，數列問題的研究通常離不開對數列的通項公式與前n項和的研究，所以我們把數列通項公式的求

16、法與前n項和的研究列為本章的兩個熱點專題教師仍只是起導學的作用，放手讓學生自己去查閱資料，整理出求通項公式的方法與求前n項和的方法“歸納-猜想-證明”是解決這兩類問題的重要方法，除此之外，還要使學生明確針對不同的數列類型,如何選擇最快捷的方法來求這個數列的通項或前n項的和？由此要求學生對這兩類問題進行專題總結讓學生領會到“模式分析”、“層次解決”是解決數列問題的基本策略提倡學生將“模型”與“方法”對應起來，以便在高考中能快速而又準確地解決好數列問題教師篩選出學生中較好的歸納總結：求數列an通項公式的方法發 表 人：梁若瑜(liangs40111何以能統領百萬大軍而指揮若定，群眾魅力在哪？生年太

17、陽忌坐交友得命祿，言其於人情義並濟，轉乙太陰忌入子女得疾厄丁太陰祿來會，是親和愛人好相處之象。再從交友宮出發，乙天機祿化入疾厄，言其平易而得人近；遷移以丙天機權化入疾厄會交友祿，是親和得眾擁與敬重，轉疾厄丁巨門忌入兄弟近身朋友得父母形色宮辛巨門祿會，相談歡象。看來韓信可能經常走近部屬，和悅親切、娓娓相敘，愛兵如子、毫無架式。-個小題發 表 1、若一數列的前四項依次是2，0一般堪輿師，多以出生年配東、西四宅命卦，決定方位吉兇。然而，同一年之間出生的人有多少？難道同一年出生的人磁場都相同的某向吉而某向兇？如果以人各有命而各有不同吉兇方位的想法，是否比較契合實際？僅供參考如果易以斗數命盤的較精密顯示

18、吉兇十二方位，來決定陽宅的納氣與立向，乃至於決定大門、客廳、走道、臥房等的位置，則方與向皆能周全兼顧，豈非善哉？A、= 1(an=1(1n1 C、 D、an=(1cosn(n1(n22、等差數列an中，d為公差，前n項 和為sn=-n2則 （ ）A、an=2n-1 d=-2 B、 an=2n-1 d=2 C、 an= -2n+1 d=-2 D、 an= -2n+1 d=2 3、若數列的前n項和為，那么這個數列的前3項為（ ）A、-1，1，3 B、2，1，0 C、2、1、3 D、2、1、64、數列中，則當時，（ ）A、 B、 C、 D、5、數列-1，7，-13，19，的通項公式（ ）A、2n-1

19、 B、-6n+5 C、(-1n×6n-5 D、(-1n(6n-56、數列滿足=1, =，且 (n2，則等于（ ）A、 B、(n-1 C、(n D、7、在等比數列an中前n項的和為sn，且sn=2n-1則a12+a22+···+an2等于 ( A、 (2n-12 B、(2n-12 C、 4n-1 D、(4n-18、已知數列中，則的值是（ ）A、9900 B、9902 C、9904 D、11000 9、已知數列an中，則這個數列的第n項為（ ）A、2n-1 B、2n+1 C、 D、10、已知數列an中，對任意的滿足,且，則的值是（ ）A、8 B、12 C、1

20、6 D、3211、設函數f定義如下，數列xn滿足x0=5,且對任意自然數均有xn+1=f(xn,則x2005的值為（ ）2005/10/19 21:40:06（滿分：100分 韓信甲戌年十一月五日午時建生。命坐庚午得廉貞生年祿，遷移丙子得破軍生年權。事業以甲戌再飛廉貞祿入命與破軍權入遷移，宜其機遇好廉貞雙祿入命與權可傾國破軍雙權入遷移。命宮既得廉貞雙祿以庚天同忌入收藏宮田宅，而遷移坐丙飛天同祿來會，成三祿匯田宅。可見其際遇勢如破竹且遇難呈祥。命格若此，成為一代名將乃當然耳。標題：簡述斗數陽宅及對現行陽宅堪輿的看法僅供參考兩儀生四象，四象即少陽、老陽、少陰、老陰。斗數的四化的緣起即為四象，祿為少

21、陽春、權為老陽夏、科為少陰秋、忌為老陰冬。p 1=+型累加法：=（）+（）+（）+=+例1.已知數列滿足=1，=+（nN+），求.解 =+=+1=1=1 （nN+）3=p+q 型（p、q為常數）方法：（1）+=， 再根據等比數列的相關知識求.（2）=再用累加法求.（3）=+，先用累加法求再求.例3.已知的首項=a（a為常數），=2+1（nN+，n2），求.解 設=2（），則=1+1=2（+1）為公比為2的等比數列.+1=（a+1）·=（a+1）·1p 2型累乘法：=··例2.已知數列滿足（nN+），=1，求.解 =··=（n1）

22、83;（n2）1·1=（n1）！=（n1）！ （nN+）4=p+型（p為常數）方法：變形得=+，則可用累加法求出，由此求.例4.已知滿足=2，=2+.求.解 =+1為等差數列.=n·p 5= pq 型（p、q為常數）特征根法：（1）時，=·+·（2）時，=（+·n）·例5.數列中，=2，=3，且2=+（nN+，n2），求.解 =2 =（+·n）·=+·n 7“已知，求”型方法：=（注意是否符合）例6.設為的前n項和，=（1），求（nN+）解 =（1） （nN+）當n=1時，=（1）=3當n2時，=（1）（

23、1）=3 =（nN+）6= 型（A、B、C、D為常數）特征根法：=（1）時，=C·（2）時， =例6. 已知=1，=（nN+），求.解 = =+C =1，=>>老師您在綫上？很喜歡這些故事，尤其周前輩的故事，很佩服周前輩的斗數功力和面對死亡的釋然態度.希望老師多說幾個，謝謝，好興奮祝您快樂學生 拜上（學生只好用文字拜您啦） -標題：= 表 人：梁若瑜(liangs40111發表時間：2005/10/18 23:51:48nN+>> 引述<8“已知，之銘言：>>>>>>問題如下：>>>1、前貼似乎是命三

24、方和田三方為我，其餘位他宮，對嗎？>>吉兇是結果論，當然看忌。那麼，你好好想想，忌應落何宮較吉？>這個問題學生思考過，但學生認 懧涮飳m為收藏最好，命、財、官宮落入可能要分化忌起飛宮為我宮時，落入吉，化忌起飛宮為他宮時，落入不吉。但不知道對否？>>>>2、我宮他宮什麼時候要看？本命還是大限還是流年？，且>明白了。>>>>3、同一宮位干化祿、化忌分別入不同宮位，如何分析？>>只要熟悉宮位活盤象義清楚，腦袋明白化象則瞭然於胸。不要拿公式套住自己的思維。你不嫌王大娘的纏腳布是臭的嗎？>學生受三合影響，一直搞不懂

25、化忌什麼情況下為吉，如第一問題。>老師貼出的宮位活盤象義，搞不清楚，希望繼續得到指點，理順飛星法則。（n2），=，求>>>學生 解>>>>>>>>綜合你所問問題的方向，我覺得你還是不要心急，應回到化出與化入的兩宮基本活盤象義著手，並確實體會兩宮間其所化象義為何？需廣泛的作可能發生多少 顩r之假設而思考。譬如：設一例命坐辰宮干甲，化廉貞祿入夫妻宮。如單向思考，至少可解釋成兩種 顩r：一、我對老婆好，諸事順她。二、我對異性多情，我用情不專。上述兩種 顩r之假設何者為對？找看有沒有其他感情的相關宮位飛化觸動此夫妻宮的廉貞命祿？有

26、！交友以己武曲化祿入福德意指人際間必有使我愉快的緣，轉福德丙廉貞忌入夫妻宮逢命祿，祿忌成雙為重必見婚外情。舉此例，但盼你多作類此思考，並細嚼過往所舉命例的宮位與化象解釋。梁若瑜前輩之斗數資料_10檢舉網誌分類：斗數資料，標題：生年四化與命宮四化其力等同的 坷M一生。多忌反不忌之論繆矣發 表 人：梁若瑜(liangs40111發表時間：2005/10/19 11:54:56=2××坷M=例一：命宮忌入交友，轉而忌入田宅。例二：生年忌入交友，轉而忌入田宅。此二例象義極類似，但應驗時間有別。二例象義皆為重義惜情，因而多耗生平資源。假設大限順行：例一大限踏命忌交友之轉忌田宅宮，行田

27、宅大限始徹底明白義於交友之大害。流年轉入交友宮得命忌，該年會鼻青臉腫。例二則限入福德，交友所坐的生年忌疊成大限田宅，相應於本命田宅，交友其害於斯生焉。流年轉入田宅宮得交友挾生年忌轉入流命，該年也會鼻青臉腫。常見多忌反不忌之論調於坊間書籍，大錯之繆論。化忌結集之多寡攸關事態的輕重性，不可不細論。大凡一忌為做人應有的勤勞、義務、責任、擔當，不屬兇論。二忌已病，須對癥下藥。三忌有如病急需掛急診，四忌之害則似躺在加護病房，生死一線隔。-X12345f(x41352A、1 B、2 C、4 D、512、把正整數按下圖所示的規律排序: 12 56 910 3 4 78 11則從2004到2006的箭頭方向依

28、次為( 2005 2005A、2005 B、 2005 C、 D、 一、選擇題答題卡（請將選擇題的答案直接填入下面的表格中）題號123456789101112答案二、填空題(每小題4分,共4個小題,共16分13、，則_.14、設數列是首項為1的正數數列，且，則它的通項公式是_.15、設數列滿足，則數列的通項公式為_.16、，則_.三、解答題(共24分17、(12分寫出下列數列的一個通項公式（1）， （2）（3）7，77，777，7777， （4），,18、(12分已知數列中，前項和與的關系是 ，試求通項公式.數列的通項公式的求法訓練題參考答案一、選擇題題號123456789101112答案DC

29、CADADBCCBC二、填空題13、 14、 15、 16、三、解答題17、（1） （2）（3） （4）18、解：首先由易求遞推公式：將上面n1個等式相乘得：求數列an的前n項和的方法（1）倒序相加法（2）公式法此種方法主要針對類似等差數列中,具有這樣特點的數列此種方法是針對于有公式可套的數列，如等差、等比數列，關鍵是觀察數列的特點，找出對應的公式例：等差數列求和 把項的次序反過來，則：+得：公式： 等差數列：等比數列： ；1+2+3+n = ； （3）錯位相減法（4）分組化歸法此種方法主要用于數列的求和，其中為等差數列，是公比為q的等比數列，只需用便可轉化為等比數列的求和，但要注意討論q=1

30、和q1兩種情況此方法主要用于無法整體求和的數列，可將其通項寫成等比、等差等我們熟悉的數列分別進行求和，再綜合求出所有項的和例：試化簡下列和式： 解：若x=1，則Sn=1+2+3+n = 若x1,則兩式相減得：+ 例：求數列1，+的和.解： （5）奇偶求和法（6）裂項相消法此種方法是針對于奇、偶數項，要考慮符號的數列，要求Sn，就必須分奇偶來討論，最后進行綜合此方法主要針對這樣的求和，其中an是等差數列例：求和解：當n = 2k (kN+時, 當，綜合得：例：an為首項為a1,公差為d的等差數列，求解：(7分類討論（8）歸納猜想證明此方法是針對數列的其中幾項符號與另外的項不同，而求各項絕對值的和

31、的問題，主要是要分段求.此種方法是針對無法求出通項或無法根據通項求出各項之和的數列，先用不完全歸納法猜出的表達式，然后用數學歸納法證明之.例：已知等比數列中，=64，q=，設=log2，求數列|的前n項和.解：= log2=（1）當7時，0此時，=+（2）當7時，<0此時，=+42（8）+（7）= +42（8）例：求和=+解：，觀察得：=（待定系數法）證明：（1）當=1時，=1=1時成立.（2）假設當=k時，=則=k+1時，=+=+=k+1時，成立.由（1）、（2）知，對一切nN*，=.數列的求和訓練題（滿分：100分 時間：90分鐘）一、選擇題(每小題5分,共12個小題,共60分1、數

32、列a n的通項公式是a n = (nN*,若前n項的和為10,則項數為 （ ）A11 B99 C120 D121 2、數列an中,a1= 60,且a n+1 =an + 3,則這個數列的前30項的絕對值之和為 （ ）A495 B765 C3105 D120 3、化簡S n = n+(n1×2+(n2×2 2+2×2 n2+2 n1的結果是 （ ）A2 n+1+2n2 B2 n+1n+2 C2 nn2 D2 n+1n2 4、若數列an是公差為的等差數列,它的前100項和為145, 則a1 +a3+a5+ +a 99 的值是 （ ）A60 B72.5 C85 D120

33、 5、數列1,(1+2,(1+2+22,(1+2+2 2+2 n1,前n項的和是 （ ）A2 n B2 n2 C2 n+1n2 Dn2n6、設數列x n滿足logax n+1 =1+ log a x n ,且x 1+x 2 + +x 100 =100,則x 101+x 102 +x 200的值為 （ ）A100a B101a 2 C101a 100 D100a 100 7、已知數列a n的前n項的和S n = n 24n+1,則|a 1|+|a 2|+|a 10|的值是 （ ）A56 B61 C65 D678、已知f(x+y=f(x+f(y且f(1 =2,則f(1+f(2+f(n不能是 （ ）

34、Af(1+2f(1+nf(1 BfCn(n+1 Dn(n+1×f(1 9、將一條寬為的長紙條繞在一個直徑為的厚紙筒上,共繞了圈,成為一個直徑為的圓筒,這條紙條的長度是 （ ）A. B. C. D. 10、一小球從的高處自由落下,每一次著地后又彈回原來高度的一半,當它第次落地時,小球共經過的路程是 （ ）A. B. C. D. 11、若等差數列中,則 （ ）A.4 B.4 C.2 D.212、已知數列的前項和=，那么的值是 （ ）（A）3 （B）1 （C）3 （D）1一、選擇題答題卡（請將選擇題的答案直接填入下面的表格中）題號123456789101112答案二、填空題(每小題4分,共

35、4個小題,共16分13、a n是等差數列，且a n 0,則+ + = _.14、數列an的通項公式為an = 則數列的前2m項的和S2m = _. 15、求和：=_.16、設數列是公差為，且首項為的等差數列，求和：=_.三、解答題(共24分17、（12分）已知等比數列前項的和為2,其后2n項的和為12,求再后面3n項的和.18、（12分）正數排成n行n列其中每一行的數成等差數列，每一列的數成等比數列，并且所有的公比相等，已知,求的值數列的求和訓練題參考答案一、選擇題題號123456789101112答案CBDACDDDACBD二、填空題13、 14、 15、 16、 三、解答題17、解： 數列

36、an為等比數列，Sn，S2nSn,S3nS2n，也成等比數列，公比為qn，于是，問題轉化為已知A1=2, A1qn+A1q2n=12, 要求A1q3n+A1q4n+A1q5n的值由前面兩式相加，解得：q2n+qn+1=7 qn=2或qn=-3 A1q3n+A1q4n+A1q5n=A1q3n(1+ qn+ q2n=2 q3n(1+7=14（qn）3=18、略解：依題意，每一列的數成等比數列，并且所有的公比相等，設這個公比為，又設第一行組成的等差數列的公差為，可得方程組：兩式相減得：第四部分 深化數列中的數學思想方法一直以來，數列總是高考考查的必考與重點考查的內容之一.那么高考在這一部分有沒有一定

37、的命題規律呢?有!這體現在高考對數列的考查體現了以下的五個亮點,這五個亮點體現了對課本中的數列部分所滲透的數學思想與方法的考查:一、聯想與類比數列部分的基礎知識是等差數列與等比數列這兩種特殊的數列將等差數列的定義與等比數列的定義進行類比分析，可得出其中的對偶關系：“相加”對“相乘”、“相減”對“相除”、“和”對“積”、“差”對“商”利用這些對偶關系，我們就像寫對聯一樣，可以由等差數列中的有關結論輕松地得出等比數列中的相關結論例如:在等差數列中,距首末兩端等距離的兩項的和相等.對偶地有:在等比數列中,距首末兩端等距離的兩項的積相等.【例】（2000年上海高考題）在等差數列an中，若a10=0,則

38、有等式a1+a2+a3+an= a1+a2+a3+a19-n(n<19,nN*成立.類比以上性質，相應地：在等比數列中，若b9=1,則有等式_成立.【解析】我們從更一般的角度來分析等差數列an.由題設,如果ak=0,那么有a1+a2+a3+an= a1+a2+a3+a2k-1-n(n<2k-1,nN*成立.又如果k+n=p+q,其中k,n,p,q是自然數.對于等差數列an有ak+an=ap+aq;對于等比數列bn有bkbn=bpbq.這樣我們可以得出結論:如果bk=1,則有等式b1b2b3bn= b1b2b3b2k-1-n(n<2k-1,nN*成立.結合本題k=9.2k-1-

39、n=2×9-1-n=17-n.于是應填：b1b2b3bn= b1b2b3b17-n(n<17,nN*.【點評】本題是一道小巧而富于思考的妙題.主要考查觀察分析能力,抽象概括能力,考查運用聯想與類比的思想方法由等差數列an而得到等比數列bn的新的一般性結論.有關這方面的詳細總結請詳見前面的等差數列與等比數列的有關知識比較一覽表二、遞歸與遞推如果知道數列的前一項或前幾項,并且知道遞推公式,就可以遞推地把所有項都找出來,這就是遞推法.因為后面的項總是歸結(返回到用前面的項表示,所以也叫遞歸法.【例2】已知S0=10+20+30+n0=n(n的一次式S1=1+2+3+n=(n的二次式求

40、：S2=12+22+32+n2=?【解析】為了遞歸用S0，S1表示S2，須找到一個遞推公式.猜想S2是n的三次式，于是想到簡單的恒等式（n+1）3=n3+3n2+3n+1移項得 （n+1）3-n3=3n2+3n+1 （遞推公式）于是有 n3-（n-1）3=3（n-1）2+3（n-1）+133-23=3·22+3·2+123-13=3·12+3·1+1疊加，消去相同項，得（n+1）3-1=3S2+3S1+S0（遞推公式） S2=（n+1）3-1-3S1-S0=（n+1）3-1-3·-n=(2n3+3n2+n=n(n+1(2n+1. (n的二次三項

41、式【點評】由此可見，遞推法不僅能用于證明遞歸數列命題的結論，而且能用于尋求結論.【例3】（2005年，北京模擬）猴子第一天摘下若干個桃子，當即吃了一半，還不過癮，又多吃了一個第二天早上又將剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一個以后第天早上都吃前一天剩下的一半后還要吃一個到第十天早上想吃時，見只剩下一個桃子了求第一天共摘了多少個桃子？【解析】設從第一天開始順次每天還沒有吃時的桃子數組成的數列為an，由題意可得設，由前面介紹的求通項的方法可以求得解得即第一天猴子共摘了1534個摘子【點評】由上面的遞推關系可得，已知可求，已知可求，由此可求出，這就是遞歸法研究數列的通項的思想其實就是遞歸的思想三、猜想與論

42、證如果一個命題的特殊情況甚多，不便于用窮舉歸納法，這時往往先研究少數（或個別）情況以求得結論，這就是不完全歸納法.這種方法雖然結論不一定正確,但對發現規律,得到正確結論有重要幫助作用.對猜想的結論只要加以嚴密的論證,就保證了猜想結論的正確性.【例4】已知各項都是正數的無窮數列an滿足以下條件:a1=1,an+1>an(nN*;an+12+an2-2an+1an-2an+1-2an+1=0(nN*求數列an的通項公式【分析】在遞推公式中,依次令n=1,2,3,同時注意到題設告訴我們該數列是遞增的正項數列,可以求得a2=4,a3=9,a4=16,由此可以猜想:an=n2;如果猜想正確,那么=

43、n,為公差為1,首項也為1的等差數列,于是只須證明-=1.【解】對題設條件變形得:(an+1-an-12=4an 所以 an+1=an+1+2(為什么即(2=(+12-=1,而a1=1,an+1>an(nN*數列為公差為1,首項也為1的等差數列=1+(n-1·1=n, an=n2(nN*.【點評】本題如果不事先進行歸納猜想,就很難找到以上的簡單解法.正如一位偉人所說:沒有大膽的猜想,便沒有偉大的發現.四、順思與逆思數列部分中的許多重要結論,把它們作為一個個的命題,那么在這些真命題中,有的逆命題是成立的,但有的逆命題是不成立的.平常,我們要自覺地多加以思考.我們知道,如果一個數列

44、是等差數列,那么它的前n項和公式為:Sn=n(a1+an;反過來,如果一個數列的前n項和公式為:Sn=n(a1+an,那么這個數列是不是等差數列呢？這就是1995年的一道文科高考壓軸題,回答是肯定的.再如,我們知道,兩個等差數列的對應項的和組成的新數列仍為等差數列,那么兩個等比數列的對應項的和組成的新數列是不是等比數列呢?這便是2000年的一道高考探索題,需要我們進行分類與討論后才能做出正確的回答.高考對我們的要求是,要求我們能夠進行主動性的學習,所以平常我們要養成自覺地提出問題,分析問題與解答問題的好習慣.【例5】(2004年高考題·湖北卷已知數列an的前n項和Sn=a2-(n-1

45、-b2-(n+1( n-1(n=1,2,3，其中a、b是非零常數.則存在數列xn、yn使得（A） an=xn+yn,其中xn是等差數列，yn是等比數列（B） an=xn+yn,其中xn和yn都是等差數列（C） an=xnyn,其中xn是等差數列，yn是等比數列（D） an=xnyn,其中xn和yn都是等比數列【解析】等差數列的前n項和的一般形式為Sn=An2+Bn；等比數列在公比不等于1(公比等于1時可把它當成等差數列對待的時候，其前n項和的一般形式為Sn=C-C·qn(C0.因為兩個等差數列的對應項的和組成的新數列仍為等差數列，故應排斥（B）；又因為兩個等比數列的對應項的積組成的新

46、數列仍為等比數列，故應排斥（D）;假設選(A,則Sn= An2+Bn+ C-C·qn(C0,對比條件分析知必有A=0且B=0,于是a2-(n-1-b2-(n+1( n-1= C-C·qn(C0,此不可能,排斥(A;所以選(C.【說明】順思與逆思也就是要求我們注意運用邏輯分析的方法去分析問題與解決問題,要注意命題的等價形式,如一個命題的原命題與它的逆否命題是等價的,而當一個命題為真命題時,它的逆命題卻不一定為真;要注意正難則反的思維策略,，如此等等. 五、求和與放縮由于高等數學學習對數列知識的要求，加之數列知識是一塊只有調整未作刪減的內容，高考命題組的高校教師熱衷于不等式與遞

47、歸數列的綜合應是十分正常的，這類命題能較好體現課本知識內容與能力要求的關系，復習中應該是一個重點，同學們必須明確對這類問題的三種處理方法（一是利用轉化，化歸為等差或等比數列問題解決；二是可能借助數學歸納法解決；三是可望求出通項公式后一般性解決）數列與不等式的綜合通常涉及數列求和問題,有的題中的和式不能事先求和,但放縮以后的式子可能可以求和,求和方法通常有兩種,一是直接利用等差或等比數列等求和公式,二是裂項求和、分組求和、錯位相減求和等.有關數列的求和方法請詳見前面的求數列an的前n項和的方法這里特別要提到的是,高考中數列的求和問題常與不等式相結合,一類是可求和型的,例如數列雙基復習訓練（A）中

48、的第18題的第（1）題，這類問題比較簡單，能夠求和的就直接求和后再去證明所要證明的不等式。另一類是不可求和的數列求和的不等式的證明問題，解決這類問題要通過放縮以后才能夠證明，目的是將不可求和的數列問題通過放縮轉化成可以求和的數列問題【例】在平面上有一系列點對每個自然數,點位于函數的圖象上以點為圓心的與軸都相切，且與又彼此外切若,且 （1）求證：數列是等差數列；（2）設的面積為，, 求證：y PnxPn+1【解】（1）依題意，的半徑，與彼此外切， 兩邊平方，化簡得 ,即 , ， ， 數列是等差數列 (2 由題設， ， 【點評】本題綜合性極強，是考知識、考能力的好題，要求同學們多多回味，理科學生要

49、加強這方面的訓練.【例】(2005年高考,湖北卷 已知不等式，其中n為大于2的整數，log2n表示不超過log2n的最大整數設數列an的各項為正，且滿足（I）證明:（II）猜想數列an是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；（III）試確定一個正整數N，使得n>N時，對任意b>0,都有.【解析】本小題主要考查數列、極限及不等式的綜合應用以及歸納遞推的思想第（I）問實質是要求考生找第n項與第1項的不等關系，所以要通過研究相鄰兩項的不等關系入手，將已知條件進行合適的變形，構造新數列后用累加法即可得到所要證的不等式；第（II）問可直接利用第（I）問的結論，由于當n趨向于無窮大時，log2n也趨向于無窮大，所以式子右邊的極限趨向于0，而數列an的各項為正，所以數列an的極限為0；第（III）問的意思的要求考生找出某一項，使得對于這一項以后的各項都有，這里所找的一個條件沒有要求是充要條件，所以只給出一個充分條件即可，N的值應該是不唯一的，體現了命題者對考生的人文關懷我們可以來看一下下面的一種解法，在邏輯上也是很合理的，因而也是正確的欲使，即要求由于時，則時，有即只需對一切都有（*）而使（*）式恒成立的一個充分條件可以是成立由于， 將以上各不等式兩端相加可知，可取N=210-1=1023【點評】N除了可取1023外,還可取比1023更大的值.這道題目中給出的