1、1第四章 級數 本章主要講述復數序列，常數項級數，復平面上的函數項級數，冪級數，羅朗級數。為何學習這一章？原因： （1自然規律數理方程積分方程，偏微分方程，微分積分方程。 解方程求解，往往比較復雜，如果將函數 展開為級數，如 的形式則微積分變得簡單了，而邊界條件往往限制了求和的項數，這樣可直接得到解當然也可取前幾項做為方程的近似結果這樣復雜的函數的微積分變成了簡單函數xn 的微積分了（2有些函數往往比較復雜，這有將其分解為簡單函數的級數和，便于對其性質進行直觀的研究。0nnna x24.1 4.1 收斂序列和收斂級數：收斂序列和收斂級數： 定義：復數項級數定義：復數項級數每一項每一項 wk=u

2、k+ivk wk=uk+ivk復數項級數的收斂問題復數項級數的收斂問題兩個實數項級數的收斂問題兩個實數項級數的收斂問題4.1.1 4.1.1 收斂序列收斂序列 若對任意給定的若對任意給定的00，總存在正整數，總存在正整數N N，當，當nNnN時，時， 成立成立則稱復數序列則稱復數序列 收斂于復數收斂于復數Z Z，記為，記為 也稱也稱z z為為znzn在在 時候的極限時候的極限否則稱否則稱 是發散的。是發散的。第四章 級數121kkkwwww111kkkkkkwuivnzz nz nzn nzlimnnzz3第四章 級數4.1.2 收斂級數 稱為級數和 復數項級數收斂的充要條件【一】柯西收斂判據

3、對于任一給定的小正整數0，必有N存在，使得當nN時，式中p為任意正整數則稱此級數是收斂的，即【二】絕對收斂 復數項級數各項的模組成的級數收斂 叫絕對收斂 原因： 1NNnnsw1limNpnn Nw1NNnnsw2211nnnnnwuv1212zzzz4第四章 級數【三】函數項級數【三】函數項級數 其余各項都是其余各項都是z z的函數的函數如果在某個區域如果在某個區域B B上的所有點，級數都收斂上的所有點，級數都收斂 叫在區域叫在區域B B上收斂上收斂表述：表述：如果如果N N跟跟z z無關，就把級數叫做在無關，就把級數叫做在B B上一致收斂上一致收斂如如 收斂收斂叫區域叫區域B B上絕對一致

4、收斂上絕對一致收斂 121( )( )( )( )kkkw zw zw zw z1lim( ), ( )Npnn Nw znN zzB1lim( )nnw zB54.2 4.2 冪級數：冪級數：【概念】：如果級數各項都是冪級數，即【概念】：如果級數各項都是冪級數，即這樣的級數叫做以這樣的級數叫做以z0z0為中心的冪級數為中心的冪級數【收斂問題】【收斂問題】 （1 1達朗貝爾判別法達朗貝爾判別法那么那么 收斂收斂即即1 1式絕對收斂式絕對收斂引入記號引入記號就可說就可說如如 則冪級數則冪級數1 1絕對收斂絕對收斂第四章 級數000(),(1)kkkkazzz a都是復常數0zzR11010k0l

5、imlim1kkkkkkkazzazzaazz00()kknazz1limkkkaRa6第四章 級數 (2)收斂半徑 由上式可知，以z0為圓心，R為半徑做一個圓,則冪級數在圓內部絕對收斂，圓外發散,這個圓叫做冪級數的收斂圓，R就叫收斂半徑至于收斂圓上R1各點，冪級數是否收斂，需要根據具體情況判斷。（3根式判別法 如那么1式絕對收斂此時 結論：冪級數在收斂圓內部不僅絕對而且一致收斂證明：R1是圓內任一點0lim1kkkka zz1limkkkRa11111111limlim1kkkkkkkkaRaRRa RaRRZ07第四章 級數【三】冪級數【三】冪級數“和函數的性質和函數的性質定理：冪級數定理

6、：冪級數 的的“和函數和函數f(z)f(z)在它的收斂圓內是解析在它的收斂圓內是解析的，且收斂圓內可以逐級求導，逐次積分的，且收斂圓內可以逐級求導，逐次積分證明：證明： 在收斂圓內任取一點在收斂圓內任取一點 ，取一個以，取一個以z0z0為圓心的圓，為圓心的圓，半徑為半徑為R1R1，稍小于，稍小于R R用有界函數用有界函數 遍乘上式，遍乘上式，z z為邊界上的點為邊界上的點00()nnnazz00( )()nnnf zazz112 i z201020111()()( )()22aa zzazzf zi zi zzzR1Z0 R8第四章 級數這級數仍在CR1上一致收斂，可以沿CR1 逐項積分應用柯

7、西公式得到即冪級數的和可以表示為連續函數的回路積分，按照柯西公式導數法則，必可以任意階求導。因為收斂圓的內部是單通區域，所以冪級數在收斂圓內可以逐項積分。11201020()()111( )()22RRCCaa zza zzf z dzdzdzdzizizzz12010200011( )( )212()()2()RCnnnf z dzfizaiazaziazR1Z0 R9第四章 級數 4.3 泰勒級數 任意階導數都存在的實變函數可以展開為泰勒級數，既然解析函數的任意階導數都存在，自然可以期望把解析函數展開為復變項的泰勒級數定理： 設f(z)在以z0為圓心的圓CR內解析，則對圓內任意z點，函數可

8、以展開為冪級數其中 CR1為圓CR內包含z且與CR同心的圓目的是為了避開級數在CR上邊界發散的問題）00( )()nnnf zazz1( )0101( )()2!RnnnCffzadinzz0z10第四章 級數證明：證明： 根據柯西公式，對圓內任一點根據柯西公式，對圓內任一點z z，有，有 對上式利用導數形式的柯西公式，得到對上式利用導數形式的柯西公式，得到 11( )( )2CRff zdiz00100000000001111()()()()()()()(1)()nnnnnzzzzzzzzzzzzzzz101001( )( )()2RnnCnff zzzdiz( )( )00010()!(

9、)(),2()!nnnnLfznffzdazzRiznz0z11第四章 級數定理：若定理：若f(z)f(z)在在 |z-z0|R |z-z0|R內解析，那么它在該圓內的泰勒級數展開內解析，那么它在該圓內的泰勒級數展開對以對以z0z0為中心是唯一的。為中心是唯一的。應用：在同一點展開的兩個泰勒級數相等，則可以逐項比較系數應用：在同一點展開的兩個泰勒級數相等，則可以逐項比較系數由此可見，泰勒級數跟解析函數有著不可分的聯系由此可見，泰勒級數跟解析函數有著不可分的聯系證明：假定有別的的展開方式證明：假定有別的的展開方式 00( )()nnnf zczz20102000( )10( )0( )0( )(

10、)()()( )!(1)2()()!(1,2,)()!nnnnnnnf zcczzczzf zcfzn cn nczzfzn cnfzcn是唯一的z0z12第四章 級數例子： 求函數 以z00為中心的展開式可直接利用公式由于 可以直接得到結果注意：一個解析函數展開為級數形式，一定要注明成立的條件，即解析函數只有在此收斂圓內才與展開級數等價例子： 記住幾個常見的泰勒級數展開式，便于計算 246211(1)1zzzzz 0021200101,1!1sin( 1),cos( 1),(21)!(2 )!ln(1)( 1),1kzkkkkkkkkkkkkzezzzkzzzzzzzkkzzzk ( )zf

11、 ze000()( )()!nnnfzf zzzn0( )0()1znfze13第四章 級數 可以利用常見的公式進行級數展開 例子： 取z1冪展開，即展開中心為1利用公式( )2zf zz0022( )11223(1)212111( 1)133313211()1,1333nnnnnnzf zzzzzzzz 01,11kkzzz14第四章 級數 4.4 羅朗級數 當所研究的區域上存在函數的奇點時，就不再能夠將函數展開為泰勒級數這就需要考慮在除去奇點的環域上展開即本節所要討論的洛朗級數【1】概念：什么是洛朗級數先考慮正冪項部分，它必有收斂半徑R1，即|z-z0|R1再看負冪項部分引入一個新的變量則

12、負冪項部分變為上式收斂也必須有個收斂圓 假如 R2R1則在 R2|z-z0|R1內絕對且一致收斂。 0( )()nnnf zczz01zz23123aaa01,22zzRR15第四章 級數其和為一解析函數此時R2|z-z0|R1則，級數處處發散，下面討論環域上的級數展開【2】解析函數的羅朗展開 定理：設f(z)在環域的內部單值解析，則對環域上任意一點z其中積分路徑L為位于環域內按逆時針繞內圓一周的任一閉合曲線。 0( )()nnnf zczz101( )2()nnLfcdizz0CLR1R216第四章 級數證明：證明： 應用復通區域上的柯西公式，有應用復通區域上的柯西公式，有 對對CR1CR1

13、的積分可以直接利用以前的結果的積分可以直接利用以前的結果對于對于CR2CR2上的積分上的積分 211( )1( )( )22CRCRfff zddiziz1100011( )(),121( )2RRnnCnnnCfdazzzzRizfadiz220010002200001( )1( )2()2()()1( )()1()( )()2()2CRCRnnnCRCRnnffddizizzzfzdzzfzdizzzzi z0zz0R1R217第四章 級數令k=-n-1，那么把兩部分合并起來C為環域內沿逆時針方向內圓周的任一閉合曲線，這個結果稱函數在環域內的洛朗展開(1)00221001(1)021( )1()( )()2()2(),21( )()2kkCRCRkkkkkkCRfdzzfzdiziazzzzRafzdi 00( )(),21nnnf zczzRzzR101( )2()nnLfcdizz0zz0R1R218第四章 級數 幾點說明：幾點說明：（1 1盡管級數中含有盡管級數中含有z-z0z-z0的負冪項，而這些項在的負冪項，而這些項在z=z0z=z0時候都是奇異的時候都是奇異的 但是但是z0z0點可能也可能不是函數的奇點點可能也可能不是函數的奇點（2 2盡管