1、燕園文博初三數(shù)學(xué)內(nèi)部講義·寒假2012此講義只給沖刺名校實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生！陸老師研究生學(xué)歷，國家級示范學(xué)校教師，新西蘭“友善用腦”、德國“卡片教學(xué)法”推廣組成員；“初中數(shù)學(xué)不管三七二十一思維法”、“初中數(shù)學(xué)三十六技”創(chuàng)始人。曾參與教材編寫，在國家級期刊發(fā)表論文多篇；2011年6月，獲全國教師教學(xué)能力三等獎(jiǎng)。影響初三學(xué)生一生命運(yùn)的五句話第一句話是：優(yōu)秀是一種習(xí)慣。這句話是古希臘哲學(xué)家亞里士多德說的。如果說優(yōu)秀是一種習(xí)慣，那么懶惰也是一種習(xí)慣。人出生的時(shí)候，除了脾氣會因?yàn)樘煨远兴煌渌臇|西基本都是后天形成的，是家庭影響和教育的結(jié)果。所以，我們的一言一行都是日積月累養(yǎng)成的習(xí)慣。我們有的

2、人形成了很好的習(xí)慣，有的人形成了很壞的習(xí)慣。所以我們從現(xiàn)在起就要把優(yōu)秀變成一種習(xí)慣，使我們的優(yōu)秀行為習(xí)以為常，變成我們的第二天性。讓我們習(xí)慣性地去創(chuàng)造性思考，習(xí)慣性地去認(rèn)真做事情，習(xí)慣性地對別人友好，習(xí)慣性地欣賞大自然。注解：要會“裝”，要持續(xù)的、不間斷的“裝”，裝久了就成了真的了，就成了習(xí)慣了，比如準(zhǔn)時(shí)到會，每次都按時(shí)到會，你裝裝看，你裝30年看看，裝的時(shí)間長了就形成了習(xí)慣。第二句話是：生命是一種過程。事情的結(jié)果盡管重要，但是做事情的過程更加重要，因?yàn)榻Y(jié)果好了我們會更加快樂，但過程使我們的生命充實(shí)。人的生命最后的結(jié)果一定是死亡，我們不能因此說我們的生命沒有意義。世界上很少有永恒。體驗(yàn)也是豐富

3、你生命的一個(gè)過程。注解：生命本身其實(shí)是沒有任何意義的，只是你自己賦予你的生命一種你希望實(shí)現(xiàn)的意義，因此享受生命的過程就是一種意義所在。 第三句話是：兩點(diǎn)之間最短的距離并不一定是直線。在人與人的關(guān)系以及做事情的過程中，我們很難直截了當(dāng)就把事情做好。我們有時(shí)需要等待，有時(shí)需要合作，有時(shí)需要技巧。我們做事情會碰到很多困難和障礙，有時(shí)候我們并不一定要硬挺、硬沖，我們可以選擇有困難繞過去，有障礙繞過去，也許這樣做事情更加順利。大家想一想，我們和別人說話還得想想哪句話更好聽呢。尤其在中國這個(gè)比較復(fù)雜的社會中，大家要學(xué)會想辦法諒解別人，要讓人覺得你這個(gè)人很成熟，很不錯(cuò)，你才能把事情做成。注解：如果你在考數(shù)學(xué)

4、試題，一定要答兩點(diǎn)之間直線段最短，如果你在走路，從A到B，明明可以直接過去，但所有人都不走，你最好別走，因?yàn)橛邢葳濉Ｔ谌穗H交往上，直線性思維在很多地方要碰壁，這是中國特色的中國處事方式。第四句話是：只有知道如何停止的人才知道如何加快速度。我在滑雪的時(shí)候，最大的體會就是停不下來。我剛開始學(xué)滑雪時(shí)沒有請教練，看著別人滑雪，覺得很容易，不就是從山頂滑到山下嗎？于是我穿上滑雪板，哧溜一下就滑下去了，結(jié)果我從山頂滑到山下，實(shí)際上是滾到山下，摔了很多個(gè)跟斗。我發(fā)現(xiàn)根本就不知道怎么停止、怎么保持平衡。最后我反復(fù)練習(xí)怎么在雪地上、斜坡上停下來。練了一個(gè)星期，我終于學(xué)會了在任何坡上停止、滑行、再停止。這個(gè)時(shí)候我

5、就發(fā)現(xiàn)自己會滑雪了，就敢從山頂高速地往山坡下沖。因?yàn)槲抑乐灰蚁胪＃晦D(zhuǎn)身就能停下來。只要你能停下來，你就不會撞上樹、撞上石頭、撞上人，你就不會被撞死。因此，只有知道如何停止的人，才知道如何高速前進(jìn)。第五句話是：放棄是一種智慧，缺陷是一種恩惠。當(dāng)你擁有六個(gè)蘋果的時(shí)候，千萬不要把它們都吃掉，因?yàn)槟惆蚜鶄€(gè)蘋果全都吃掉，你也只吃到了六個(gè)蘋果，只吃到了一種味道，那就是蘋果的味道。如果你把六個(gè)蘋果中的五個(gè)拿出來給別人吃，盡管表面上你丟了五個(gè)蘋果，但實(shí)際上你卻得到了其他五個(gè)人的友情和好感。以后你還能得到更多，當(dāng)別人有了別的水果的時(shí)候，也一定會和你分享，你會從這個(gè)人手里得到一個(gè)橘子，那個(gè)人手里得到一個(gè)梨，

6、最后你可能就得到了六種不同的水果，六種不同的味道，六種不同的顏色，六個(gè)人的友誼。人一定要學(xué)會用你擁有的東西去換取對你來說更加重要和豐富的東西。所以說，放棄是一種智慧。1學(xué)好數(shù)學(xué)，不管三七二十一先抓住定義法再說。中考數(shù)學(xué)不管三七二十一思維法2去掉絕對值符號，不管三七二十一先討論正負(fù)再說。3幾何證明有困難，不管三七二十一先證明三角形全等再說。4證明矩形、菱形，不管三七二十一先證明平行四邊形再說。80%5圖形變化問題，不管三七二十一先抓住等量關(guān)系再說。6幾何中求線段的長度，不管三七二十一先構(gòu)造直角三角形再說。80%7直角坐標(biāo)系中求線段的長度，不管三七二十一先考慮三角形相似再說。80%8動(dòng)點(diǎn)問題，不管

7、三七二十一以靜代動(dòng)列方程（目標(biāo)函數(shù)）再說。80%9方案選擇與最值問題，不管三七二十一先建立目標(biāo)函數(shù)再說。10求解方程，不管三七二十一先討論方程類型（化成一般式）再說。11一看到一元二次方程（函數(shù)），不管三七二十一先考慮再說。12一看到X1、X2，不管三七二十一先考慮根與系數(shù)的關(guān)系再說。（中考不作要求）13函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，不管三七二十一先聯(lián)立方程組求解再說。14二次函數(shù)性態(tài)問題，不管三七二十一先化成頂點(diǎn)式再說。15一看到二次三項(xiàng)式，不管三七二十一先配方（因式分解）再說。80%III1計(jì)算求值，核心降次消元2分類討論不重復(fù)，不遺漏3. 序號法找規(guī)律4求解不等式，數(shù)軸是好幫手5特別的點(diǎn)，特別的愛中

8、考數(shù)學(xué)三十六技6不增根，不漏解7. 方程是否有解，關(guān)鍵在等式成立否8少設(shè)未知數(shù)，但不可不設(shè)9抓住大條件，注意小條件10分子分離法11分式性質(zhì)，左右對稱，上下對齊12k=tan13. 一次函數(shù)，兩種求法14點(diǎn)在圖像上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程15點(diǎn)的存在性，只有兩種方法16線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系17圖形變化，對應(yīng)點(diǎn)變化18距離最短關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化19動(dòng)點(diǎn)問題，關(guān)鍵兩句話20緊緊抓住特殊的角21幾何中，兩個(gè)基本的定理22求面積，直接法或割補(bǔ)法23兩邊非夾角三角形不一定全等24等腰三角形，三線合一，知二推二25直角三角形3大定理26相似三角形，關(guān)鍵找對應(yīng)角27平行四邊形311法28. 過對稱中心的直線，一分為二2

9、9割補(bǔ)法作輔助線30角平分線法作輔助線31三角形全等法作輔助線32平行線（中位線）法作輔助線33切點(diǎn)與圓心連線要領(lǐng)先34垂徑定理，知二推二（先引垂線）35圓的元素，知一推五36. 反例排除法 燕園文博 初三數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班內(nèi)部講義·寒假 陸老師編第一講：三角形與輔助線構(gòu)造方法【知識點(diǎn)擊】1 幾何兩個(gè)重要定理2三角形的邊角關(guān)系：角與角：內(nèi)角和及推論;外角和;n邊形內(nèi)角和;n邊形外角和。邊與邊：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。角與邊：在同一三角形中3全等三角形1 一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）特殊三角形全等的判定：4三角形的主要線段 高線 中線 角平分線

10、中垂線 中位線5直角三角形等腰三角形等邊三角形6三角形的面積7輔助線的幾種作法例1如圖，已知：BAD=CAD，ADBD，M為BC之中點(diǎn)，求證：DM=（AB-AC）ACDMB陸老師點(diǎn)睛：（36技）等腰三角形，三線合一，知二推二例2.已知：BD、CE分別為ABC中ABC、ACB的外角平分線，ADBD，AECE，ADBCE求證：（1）DEBC，（2）若ABC的周長為18cm，求DE的長。例3已知：在RtABC中，AB=AC，A=900，點(diǎn)D為BC上任一點(diǎn)，DFAB于F，DEAC于E，M為BC的中點(diǎn)，試判斷MEF是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論。AFBDMCE例4.已知，如圖正方形ABCD中，（1）

11、若EPF=45°，則EF=BF+DE；ABFCED（2）若正方形的邊長為1，CEF的周長為2，求EAF。陸老師點(diǎn)睛：三角形全等法作輔助線引例1（不講）已知：如圖6，直尺的寬度為2， A、B兩點(diǎn)在直尺的一條邊上，AB=6， C、D兩點(diǎn)在直尺的另一條邊上.若ACB=ADB=90°，則C、D兩點(diǎn)之間的距離為 . 例5如圖，P是正三角形 ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，且PA6，PB8，PC10若將PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到P'AB ，則點(diǎn)P與點(diǎn)P' 之間的距離為_，APB_°例6如圖，在一個(gè)房間內(nèi)，有一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為a米，此時(shí)梯子

12、的傾斜角為75°如果梯子底端不動(dòng)，頂端靠在對面墻上，此時(shí)梯子頂端距地面的垂直距離NB為6米，梯子的傾斜角為45°則這間房子的寬AB是 米例7直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD2，BC3，將腰CD以D為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連AE、CE，則ADE的面積是 （ ） A1 B2 C3 D不能確定例8. 我們給出如下定義：如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2 倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”. 在ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c.對于任意的倍角三角形ABC（如圖），其中A2B，有關(guān)系式（1）試求出一個(gè)倍角三角形的三條邊的長，使這三條

13、邊長恰為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù). 引例1（不講）如圖，ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：引例2（不講）如圖，ABC中，AD平分BAC,AB=AC+DC.求證：C=2B. 第二講：相似三角形解題技巧【知識點(diǎn)擊】一、比例的性質(zhì)：1、2、等比性質(zhì)：如果，那么注意：(1)此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法” ，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算，變形中一種常用方法(2)應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零(3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立如：；其中二、比例線段的有關(guān)定理：平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例推論：(1)平行于三角形一邊的直線截其

14、它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例(2)平行于三角形一邊并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形第三邊三、 相似的判定四、 相似的性質(zhì)五、相似多邊形：【例題品味】例1某老師上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考題： 如圖所示，梯形ABCD中，ADBC，對角線AC、BD相交于O，試問：AOB和DOC是否相似？ 某學(xué)生對上題作如下解答：答：AOBDOC理由如下：在AOB和DOC中，ADBC，AOB=DOC，AOBDOC 請你回答，該學(xué)生的解答是否正確？如果正

15、確，請?jiān)诿恳徊胶竺鎸懗龈鶕?jù)；如果不正確，請簡要說明理由陸老師點(diǎn)睛：相等的角所對的邊是對應(yīng)邊，成比例的邊所對的角是對應(yīng)角。例2已知兩個(gè)不相似的直角三角形ABC和ABC中，C=C=90°，能否將這兩個(gè)三角形各分割成兩個(gè)小三角形，使它們分別相似？你能想出幾種分割方法？能否將這個(gè)問題推廣到有一個(gè)角相等的兩個(gè)任意三角形？陸老師點(diǎn)睛：相似三角形關(guān)鍵找對應(yīng)角例3已知：ABC中，AB10；如圖，若點(diǎn)D、E分別是AC、BC邊的中點(diǎn)，求DE的長；如圖，若點(diǎn)A1、A2把AC邊三等分，過A1、A2作AB邊的平行線，分別交BC邊于點(diǎn)B1、B2，求A1B1A2B2的值；如圖，若點(diǎn)A1、A2、A10把AC邊十一等

16、分，過各點(diǎn)作AB邊的平行線，分別交BC邊于點(diǎn)B1、B2、B10。根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，直接寫出A1B1A2B2A10B10的結(jié)果。陸老師點(diǎn)睛：梯形中位線有兩種情況例4將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G(如圖).(1)如果M為CD邊的中點(diǎn)，求證：DEDMEM345；(2)如果M為CD邊上的任意一點(diǎn)，設(shè)AB2a，問CMG的周長是否與點(diǎn)M的位置關(guān)系？若有關(guān)，請把CMG的周長用含DM的長x的代數(shù)式表示；若無關(guān)，請說明理由.陸老師點(diǎn)睛：以退為進(jìn) “通過周長比等于相似比求周長” 例5.如圖，ABC面積為1，第一次操作：分別延長AB，B

17、C，CA至點(diǎn)A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C= BC，C1A=CA，順次連結(jié)A1，B1，C1，得到A1B1C1. 第二次操作：分別延長A1B1，B1C1，C1A1至點(diǎn)A2，B2，C2，使A2B1= A1B1，B2C1= B1C1，C2A1= C1A1，順次連結(jié)A2，B2，C2，得到A2B2C2，按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2006，最少經(jīng)過 次操作.引例：探索，在如圖121至圖123中，ABC的面積為a (1)如圖121, 延長ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連結(jié)DA若ACD的面積為S1，則S1=_（用含a的代數(shù)式表示）；DEABCF圖12233(2)如圖122，延長ABC

18、的邊BC到點(diǎn)D，延長邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連結(jié)DE若DEC的面積為S2，則S2=_（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由；ABCDE圖12222222圖121ABCD   (3)在圖122的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連結(jié)FD，F(xiàn)E，得到DEF（如圖123）若陰影部分的面積為S3，則S3=_（用含a的代數(shù)式表示）發(fā)現(xiàn)像上面那樣，將ABC各邊均順次延長一倍，連結(jié)所得端點(diǎn)，得到DEF（如圖123），此時(shí)，我們稱ABC向外擴(kuò)展了一次可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的DEF的面積是原來ABC面積的_倍應(yīng)用圖124DEABCFHMG去年在面積為10m2的ABC

19、空地上栽種了某種花卉今年準(zhǔn)備擴(kuò)大種植規(guī)模，把ABC向外進(jìn)行兩次擴(kuò)展，第一次由ABC擴(kuò)展成DEF，第二次由DEF擴(kuò)展成MGH（如圖124）求這兩次擴(kuò)展的區(qū)域（即陰影部分）面積共為多少m2？例6如圖，已知的面積在圖（1）中，若，則；在圖（2）中，若，則；在圖（3）中，若，則；按此規(guī)律，若，則（1）（2）（3）例7如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)為，B（5,0），M為等腰梯形OBCD底邊OB上一點(diǎn)，ODBC2，DMCDOB60°(1)求直線CB的解析式；(2)求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)DMC繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(30°60°)后，得到D1MC1（點(diǎn)D1，C1依次與點(diǎn)D，C對

20、應(yīng)），射線MD1交直線DC于點(diǎn)E，射線MC1交直線CB于點(diǎn)F，設(shè)DEm，BFn .求m與n的函數(shù)關(guān)系式陸老師點(diǎn)睛：注意小條件，射線、直線的區(qū)別。例8.如圖11，在同一平面內(nèi),將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，BAC=AGF=90°，它們的斜邊長為2，若ABC固定不動(dòng)，AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合),設(shè)BE=m，CD=n.(1)請?jiān)趫D中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進(jìn)行證明.(2)求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍.(3)以ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上

21、的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖12).在邊BC上找一點(diǎn)D，使BD=CE，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過計(jì)算驗(yàn)證BDCE=DE.Gyx圖12OFEDCBA(4)在旋轉(zhuǎn)過程中,(3)中的等量關(guān)系BDCE=DE是否始終成立,若成立,請證明,若不成立,請說明理由.G圖11FEDCBA 例9善于學(xué)習(xí)的小敏查資料知道：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)梯形，叫做相似梯形.他想到“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”，提出如下兩個(gè)問題，你能幫助解決嗎？問題一 平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的小梯形和原梯形是否相似？(1) 從特殊情形入手探究.假設(shè)梯形ABCD中， ADBC

22、，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位線（如圖）.根據(jù)相似梯形的定義，請你說明梯形AMND與梯形ABCD是否相似?(2) 一般結(jié)論：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的梯形與原梯形_(填“相似”或“不相似”或“相似性無法確定”.不要求證明) .問題二 平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的兩個(gè)小梯形是否相似?(1) 從特殊平行線入手探究.梯形的中位線截兩腰所得的兩個(gè)小梯形_(填“相似”或“不相似”或“相似性無法確定”.不要求證明).(2) 從特殊梯形入手探究.同上假設(shè)，梯形ABCD中，ADBC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到與梯形底邊平行的直線PQ（點(diǎn)P,Q在梯形的兩腰上

23、，如圖）, 使得梯形APQD與梯形PBCQ相似嗎? 請根據(jù)相似梯形的定義說明理由.第25題圖28ADCB46PQACBDMN第25題圖(3) 一般結(jié)論：對于任意梯形（如圖），一定 (填“存在”或“不存在”)第25題圖abADCBdcPQ平行于梯形底邊的直線PQ，使截得的兩個(gè)小梯形相似. 若存在，則確定這條平行線位置的條件是= (不妨設(shè)AD= a，BC= b，AB=c，CD= d.不要求證明 ) .陸老師點(diǎn)睛：緊緊抓住相似多邊形的定義；“閱讀理解題關(guān)鍵是抓住定義，以瓢畫葫蘆”第三講：四邊形證明思路培養(yǎng)與綜合題中動(dòng)點(diǎn)問題和存在性的解題技巧多邊形內(nèi)角和：多邊形外角和：多邊形對角線條數(shù)為：條 （序號法

24、找規(guī)律）學(xué)好數(shù)學(xué)不管三七二十一，先抓住定義法再說。 定義的功能： 定義： 定義： 定義： 定義： 311法 311法 對角線 311法 對角線 1定義法2 + 3 + 1定義法2 + 3 + + 等腰梯形 (1)兩腰相等、兩底平行(2)等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等(3)等腰梯形的對角線相等轉(zhuǎn)化分割、拼接解決梯形問題的基本思路：梯形問題 三角形或平行四邊形問題（作輔助線）幾個(gè)有用的小結(jié)論： 過對稱中心的直線把 一分為二. 四個(gè)小，面積相等. 梯形兩個(gè)腰腰上的小，面積相等.幾個(gè)特殊的圖形：60的菱形黃金梯形輔助線方法： 【經(jīng)典例題】例題1、將一張平行四邊形的紙張折一次，便得折痕平分這個(gè)平行四邊形

25、的面積，則這樣的折紙方法有（ ）A、1種 B、2種 C、3種 D、無數(shù)種陸老師點(diǎn)睛：此題的證明過程很重要，考試重點(diǎn)（三角形全等）例題2已知菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上一點(diǎn)，D=EAF=600，BAE=200，求CEF的度數(shù)。陸老師點(diǎn)睛：60°菱形要記住，有兩個(gè)等邊三角形例題3、我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形的兩條對角線相等，則稱這個(gè)四邊形為等對角線四邊形。請解答下列問題：（1）寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱；（2）探究：當(dāng)?shù)葘蔷€四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時(shí)，這對60°角所對的兩邊之和與其中一條對角線的大小關(guān)系，并證

26、明你的結(jié)論。陸老師語：此題對考生能力要求比較大，閱讀理解題關(guān)鍵“定義法”，“幾何證明有困難不管三七二十一先證明三角形全等再說。”例題4、我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊（1）寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱 ， ；（2）如圖，將繞頂點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)，求證：，即四邊形是勾股四邊形圖16（2）例題5、我們把能平分四邊形面積的直線稱為“好線”。利用下面的作圖，可以得到四邊形的“好線”：在四邊形ABCD中，取對角線BD的中點(diǎn)O，連結(jié)OA、OC。顯然，折線AOC能

27、平分四邊形ABCD的面積，再過點(diǎn)O作OEAC交CD于E，則直線AE即為一條“好線”。（1）試說明直線AE是“好線”的理由；ABCEDFABCDOE（2）如下圖，AE為一條“好線”，F(xiàn)為AD邊上的一點(diǎn)，請作出經(jīng)過F點(diǎn)的“好線”，并對畫圖作適當(dāng)說明(不需要說明理由)。陸老師點(diǎn)睛：梯形兩個(gè)腰腰上三角形面積相等。注意輔助線技巧例題6、如圖，菱形、矩形與正方形的形狀有差異，我們將菱形、矩形與正方形的接近程度稱為“接近度”在研究“接近度”時(shí)，應(yīng)保證相似圖形的“接近度”相等（1）設(shè)菱形相鄰兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為和，將菱形的“接近度”定義為，于是，越小，菱形越接近于正方形若菱形的一個(gè)內(nèi)角為，則該菱形的“接近度”

28、等于 ；當(dāng)菱形的“接近度”等于 時(shí)，菱形是正方形（2）設(shè)矩形相鄰兩條邊長分別是和（），將矩形的“接近度”定義為，于是越小，矩形越接近于正方形你認(rèn)為這種說法是否合理？若不合理，給出矩形的“接近度”一個(gè)合理定義陸老師點(diǎn)睛：四邊形問題關(guān)鍵要掌握定義、判定方法。例題7、在中，是中線，為的中點(diǎn)，直線a過點(diǎn)，過、三點(diǎn)分別作直線a的垂線，垂足分別為、，當(dāng)直線a繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與垂直時(shí)（如圖），易證：.當(dāng)直線a繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不垂直時(shí)，在圖、圖兩種情況下，線段、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對圖的猜想給予證明.陸老師點(diǎn)睛：梯形中位線的推廣也是解題的技巧之一，這個(gè)結(jié)論應(yīng)該記住。例題8、在等腰梯形ABCD中，AB=

29、DC=5，AD=4，BC=10. 點(diǎn)E在下底邊BC上，點(diǎn)F在腰AB上. （1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設(shè)BE長為x，試用含x的代數(shù)式表示BEF的面積；（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)BE的長；若不存在，請說明理由；（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時(shí)分成12的兩部分？若存在，求出此時(shí)BE的長；若不存在，請說明理由.陸老師點(diǎn)睛：動(dòng)點(diǎn)問題關(guān)鍵記住兩句話 例題9、如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是，（1） 求拋物線關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線的解析式；（2） 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與軸分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），頂點(diǎn)為，四邊形

30、的面積為若點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度沿水平方向分別向右、向左運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)以每秒2個(gè)單位的速度沿堅(jiān)直方向分別向下、向上運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)與點(diǎn)重合為止求出四邊形的面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3） 當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積有最大值，并求出此最大值；（4） 在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形能否形成矩形？若能，求出此時(shí)的值；若不能，請說明理由陸老師點(diǎn)睛：此題綜合度很高，關(guān)鍵注意矩形的判定方法（幾何證明應(yīng)做到“有型”）、拋物線圖形變化答題技巧、注意答題應(yīng)具有函數(shù)思維。例題9、如圖，已知拋物線l1：y=x2-4的圖象與x軸相交于A、C兩點(diǎn)，B是拋物線l1上的動(dòng)點(diǎn)(B不與A、C重合)，拋物線l2與l1關(guān)于x軸對稱，以AC為對角線的平行四邊形ABCD的第四個(gè)頂點(diǎn)為D.(1) 求l2的解析式；(2) 求證：點(diǎn)D一定在l2上； (3) ABCD能否為矩形？如果能為矩形，求這些矩形公共部分的