1、第25卷第4期2004年12月力 學 季 刊CHINESE QUARTERLY OF MEC HANICSDec.2004復合材料層合圓柱殼的有限元分析何錄武,馮 春(華東理工大學機械工程學院,上海200237摘要:本文根據(jù)Reissner Mindlin型的全局位移場(一階和三階,應(yīng)用有限元預測 修正法,數(shù)值計算和分析了機械載荷作用下復合材料層合圓柱殼的撓度和橫向剪應(yīng)力。首先按照一般的有限元分析過程(沒有引入剪切修正系數(shù)計算出層合圓柱殼的撓度預測值;然后利用Lagrange插值構(gòu)造橫向剪應(yīng)力的一般形式,使得滿足層間連續(xù)和表面上為零的條件,通過最小二乘法擬合三維應(yīng)力平衡方程獲得橫向剪應(yīng)力;最后

2、在單元上計算和引入剪切修正系數(shù),再經(jīng)過有限元分析計算出層合圓柱殼的撓度修正值。數(shù)值計算結(jié)果與三維線彈性解的比較表明,撓度修正值和橫向剪應(yīng)力的精度是十分滿意的。關(guān)鍵詞:復合材料層合圓柱殼;有限元;預測 修正法;剪切修正系數(shù);撓度;橫向剪應(yīng)力中圖分類號:O343;TB330.1 文獻標識碼:A 文章編號:0254 0053(200404 555 9Finite element analysis for laminated composite cylindrical sh ellsHE Lu w u,FENG Chun(Mechanical E ngineering Co llege,E ast C

3、hina University o f Science and Technolo gy,Shanghai,200237,C hinaAbstract:Based on the Reissner Mindlin type global displacement field and predictor corrector method, the deflections and transverse shear stresses were investigated for laminated composite cylindrical shells under mechanical load.Fir

4、st,the deflection predictor was directly derived from general finite element analysis without using shear correction factor.Secondly,by means of3 D stress equilibrium equations and Lagrange s interpolation,the least square fit was employed to determine transverse shear stress.Finally, shear correcti

5、on factor for each element was estimated,and the deflection corrector was calculated by in corporating shear correction factor.The numerical results were compared with those of the3 D solutions of elasticity,the accuracy of the corrector deflection and the transverse shear stress are found to be sat

6、is factory.Key words:laminated composite cylindrical shells;finite element;predictor corrector method;shear cor rection factor;deflection;transverse shear stress隨著復合材料的廣泛應(yīng)用,有關(guān)復合材料層合殼結(jié)構(gòu)的分析計算日益受到重視?；贙irchhoff直法線假設(shè)而建立的經(jīng)典層合殼理論主要適用于比較薄的層合殼,對于中等厚度的層合殼,所預測的全局響應(yīng)(如撓度,頻率和屈曲載荷等和應(yīng)力其誤差是比較大的1?？紤]到復合材料的剪切變形效應(yīng)是相當明顯

7、的,目前有關(guān)層合殼的計算和分析主要采用剪切變形理論模型(全局理論模型和片段光滑理論模型28。大量的研究表明,在預測層合殼全局響應(yīng)的精度方面剪切變形理論模型相對于經(jīng)典層合殼理論有明顯的改善,特別是高階剪切變形理論模型,但中等厚度的層合殼,剪切變形理論模型所計算的結(jié)果仍有一定的誤差4。在計算橫向剪應(yīng)力方面,為了保證其在層間的連續(xù)性和表面上為零的條件以及計算精度,剪切變形理論模型一般需要輔助計算方法,通常的解決途徑是借用三維應(yīng)力平衡方程,其方法有差分法和直接積分法3,911。本文的主要工作是根據(jù)文12中所給出的有限元預測 修正法,分別采用一階和三階Reissner Mindlin 型的全局位移場模型

8、對開口層合圓柱殼在機械載荷作用下的撓度和橫向剪應(yīng)力進行計算和分析。首先按照一般的有限元分析過程(沒有引入剪切修正系數(shù)計算出層合圓柱殼的撓度預測值;然后利用Lagrange 插值構(gòu)造橫向剪應(yīng)力的一般形式,使得滿足層間連續(xù)和表面上為零的條件,通過最小二乘法擬合三維應(yīng)力平衡方程獲得橫向剪應(yīng)力;最后在單元上計算和引入剪切修正系數(shù),再經(jīng)過有限元分析計算出層合圓柱殼的撓度修正值。為了檢驗預測 修正法的有效性,大量的數(shù)值計算結(jié)果與相應(yīng)的三維線彈性解進行了詳細的比較,比較結(jié)果表明撓度修正值和橫向剪應(yīng)力的精度是令人十分滿意的。1 開口層合圓柱殼的力學模型如圖1所示,層合圓柱殼的總厚度為h ,中面半徑為R ,沿層

9、合殼中面的主曲率線和法線建立正交曲線坐標系( , , ,Lam 系數(shù)分別記為H 1=R +h ,H 2=1,H 3=h ,其中: = ,a =R ,-1/2 1/2。設(shè)層合圓柱的位移場模型為(M 階Reissner Mindlin 型全局位移場 :圖1 復合材料開口層合圓柱殼幾何和受力示意圖Fig.1 Geometry and load ing fo rm o f laminated composite cylindrical shellu =u ( , , u ( , , u ( , , =u 0( , +u 1( , + +u M ( , Mv 0( , +v 1( , + +v M (

10、, M w 0( , (1根據(jù)線彈性力學理論,應(yīng)變和位移的關(guān)系為:=1H 1 u+u u1H 1 u +u, =1h u +1H 1 u -u 1h u +u(2其中: = , = , = , =0層合圓柱殼四個側(cè)面上的邊界條件和上下表面上的載荷形式分別為:=0, ;0 b :u =u = =0=0,b ;0 :u =u = =0(3 =1/2;0 ;0 b: =q 0sin ( / sin ( /b, =0, =0(4=-1/2;0 ;0 b: =0, =0, =0(5假設(shè)層合圓柱殼為正交鋪設(shè),材料的主軸與坐標軸一致,單層的材料參數(shù)為4:E L =25 106p si(172.5GPa ,E

11、 T =106psi(6.9GPa ,G LT =0.5 106p si(3.45GPaG TT =0.2 106p si(1.38GPa , LT = T T =0.25(6其中 L 和 T 分別指沿著纖維的方向和垂直纖維的方向。556力 學 季 刊 第25卷表1 對稱正交鋪設(shè)復合材料層合柱殼中心撓度預測值和修正值與三維彈性解的相對誤差(b/a=1.0 Tab.1 Percentage errors of the predicto r and corrector center d eflectio ns fo r cro ss plysymmetric laminated composite

12、 cylindrical shells(b/a=1.03層5層9層預測值修正值預測值修正值預測值修正值S1=1.0S=5一階理論三階理論彈性解S=10一階理論三階理論彈性解S=20一階理論三階理論彈性解S=50一階理論三階理論彈性解-18.37% 4.35%-20.42% 1.23%-18.28%0.21%-3.54% 1.53%-10.66% 1.64%-9.67%0.96%1.619 1.467 1.366-12.13%-0.36%-10.11%-0.87%-8.57%-0.72%-3.61%-0.27%-5.49%-0.20%-4.74%-0.12%-3.43%-0.44%-2.44%-

13、0.38%-2.00%-0.29%-1.21%-0.30%-1.40%-0.21%-1.14%-0.14%-0.13%0.00%-0.27%-0.13%0.00%0.00%0.00%0.00%-0.13%-0.13%0.00%0.00%S1=0.25S=5一階理論三階理論彈性解S=10一階理論三階理論彈性解S=20一階理論三階理論彈性解S=50一階理論三階理論彈性解-21.96% 5.34%-23.32% 1.02%-20.88%-0.05%-4.61% 1.65%-12.06% 1.63%-11.51%0.87%1.555 1.419 1.327-15.88%0.19%-12.93%-0.9

14、0%-10.93%-0.82%-4.54%0.21%-7.05%0.04%-6.13%0.02%-6.29%-0.32%-4.47%-0.46%-3.63%-0.36%-1.96%-0.04%-2.48%-0.08%-2.05%-0.06%-1.00%-0.09%-0.65%-0.06%-0.53%-0.06%-0.32%-0.03%-0.36%-0.03%-0.30%-0.03%557第4期 何錄武,等:復合材料層合圓柱殼的有限元分析表2 非對稱正交鋪設(shè)復合材料層合柱殼中心撓度預測值和修正值與三維彈性解的相對誤差(b/a=1.0 Tab.2 Percentage errors of the

15、predicto r and corrector center d eflectio ns fo r cro ss plynon symmetric laminated composite cylindrical shells(b/a=1.02層4層10層預測值修正值預測值修正值預測值修正值S1=1.0S=5一階理論三階理論彈性解S=10一階理論三階理論彈性解S=20一階理論三階理論彈性解S=50一階理論三階理論彈性解-2.87% 2.15%-8.76% 3.98%-18.04%0.51%0.18% 2.38%-10.13% 3.09%-9.62% 1.31%1.633 1.459 1.326

16、-0.84%0.48%-10.77%0.05%-8.33%-0.44%0.11%0.60%-5.34%0.50%-4.48%0.16%-0.13%0.05%-2.31%-0.10%-1.84%-0.18%0.05%0.11%-1.19%0.07%-1.01%-0.04%0.00%0.12%-0.13%0.00%-0.14%-0.14%0.00%0.00%0.00%0.00%-0.14%0.00%S1=0.25S=5一階理論三階理論彈性解S=10一階理論三階理論彈性解S=20一階理論三階理論彈性解S=50一階理論三階理論彈性解-3.65%0.91%-25.77% 3.87%-20.80%0.02

17、%-0.36% 1.19%-12.02% 2.70%-11.35%0.90%1.717 1.487 1.316-1.36%0.16%-14.20%-0.15%-10.76%-0.70%-0.18%0.28%-7.24%0.38%-5.87%0.08%-0.33%0.06%-4.70%-0.24%-3.84%-0.27%-0.02%0.09%-2.44%0.02%-1.90%0.00%-0.03%0.02%-0.66%-0.05%-0.50%-0.03%0.02%0.03%-0.34%0.00%-0.26%0.00%558力 學 季 刊 第25卷表3 對稱正交鋪設(shè)復合材料層合柱殼中心撓度預測值和

18、修正值與三維彈性解的相對誤差(b/a=3.0 Tab.3 Percentage errors of the predicto r and corrector center d eflectio ns fo r cro ss plysymmetric laminated composite cylindrical shells(b/a=3.03層5層9層預測值修正值預測值修正值預測值修正值S1=1.0S=5一階理論三階理論彈性解S=10一階理論三階理論彈性解S=20一階理論三階理論彈性解S=50一階理論三階理論彈性解-26.62% 5.04%-22.89%0.11%-19.95%-0.58%-7

19、.03% 1.07%-13.02% 1.03%-12.49%0.34%2.716 2.818 2.923-18.13%-0.61%-13.45%-1.37%-10.94%-1.33%-5.98%-0.43%-7.97%-0.48%-6.87%-0.52%1.153 1.242 1.353-6.88%-0.72%-4.70%-0.76%-3.63%-0.68%-2.44%0.43%-2.80%-0.38%-2.27%-0.34%-0.98%-0.25%-0.68%-0.23%-0.42%-0.21%-0.49%-0.25%-0.45%-0.23%-0.42%0.21%S1=0.25S=5一階理論

20、三階理論彈性解S=10一階理論三階理論彈性解S=20一階理論三階理論彈性解S=50一階理論三階理論彈性解-26.63% 6.82%-22.86%0.95%-19.95%-2.87%-6.52% 2.17%-12.70% 1.95%-12.20% 1.13%2.118 2.205 2.296-17.98%0.53%-13.33%-0.39%-10.89%-0.54%-5.43%0.74%-7.55%0.59%-6.61%0.36%0.940 1.020 1.120-7.12%-0.16%-4.78%-0.14%-3.69%-0.25%-2.27%0.16%-2.67%0.14%-2.21%0.1

21、2%-1.36%-0.19%-0.83%-0.17%-0.71%-0.14%-0.39%0.00%-0.50%0.00%-0.43%-0.14%559第4期 何錄武,等:復合材料層合圓柱殼的有限元分析560 力 學 季 刊 第 25 卷 表4 非對稱正交鋪設(shè)復合材料層合柱殼中心撓度預測值和修正值與三維彈性解的相對誤 差(b/ a= 3. 0 Tab. 1 Percentage errors of the predictor and corrector center deflections for cross ply non symmetric laminated composite cylin

22、drical shells(b/ a= 3. 0 2層 預測值 S= 5 一階理論 三階理論 彈性解 S = 10 一階理論 三階理論 彈性解 - 1. 51% - 0. 71% 2. 977 - 0. 44% - 0. 20% 2. 041 - 0. 14% - 0. 14% 0. 729 - 4. 19% - 0. 67% 3. 745 - 1. 47% - 0. 29% 2. 783 - 0. 44% - 0. 12% 2. 496 - 0. 09% - 0. 05% 2. 140 - 0. 05% - 0. 05% - 0. 77% - 0. 38% 1. 043 0. 00% 0.

23、04% - 4. 86% - 2. 55% 1. 215 0. 00% 0. 00% - 0. 55% - 0. 33% 0. 911 0. 22% 0. 29% - 14. 23% - 7. 27% 1. 609 - 0. 16% 0. 08% - 3. 43% - 1. 90% 0. 050 0. 00% 0. 00% 0. 99% 1. 01% - 26. 40% - 12. 43% 3. 042 0. 12% 0. 56% - 10. 35% - 5. 65% 1. 381 - 0. 19% 0. 00% - 0. 14% - 0. 14% - 0. 35% - 0. 18% 0. 5

24、67 3. 78% 2. 63% - 20. 58% - 11. 33% 2. 648 - 0. 43% 0. 29% - 0. 15% - 0. 10% - 4. 22% - 2. 32% 1. 209 0. 00% 0. 00% - 0. 37% - 0. 37% 0. 536 0. 04% 0. 94% - 4. 87% - 1. 43% 4. 392 - 0. 24% - 0. 17% - 13. 83% - 7. 35% 1. 851 - 0. 41% - 0. 25% - 3. 14% - 1. 85% 1. 082 - 0. 19% - 0. 19% 修正值 0. 43% 0.

25、39% 預測值 - 26. 00% - 12. 76% 3. 707 - 0. 49% - 0. 11% - 10. 26% - 5. 90% 1. 627 - 0. 55% - 0. 28% 4層 修正值 3. 13% 2. 02% 預測值 - 20. 30% - 11. 52% 3. 300 - 1. 11% - 0. 43% 10 層 修正值 - 0. 55% 0. 30% S 1 = 1. 0 S = 20 一階理論 三階理論 彈性解 S = 50 一階理論 三階理論 彈性解 S= 5 一階理論 三階理論 彈性解 S = 10 一階理論 三階理論 彈性解 S 1 = 0. 25 S =

26、 20 一階理論 三階理論 彈性解 S = 50 一階理論 三階理論 彈性解 第4期 何錄武, 等: 復合材料層合圓柱殼的有限元分析 561 2 有限元計算結(jié)果和分析 正交鋪設(shè)層合圓柱殼的有限元計算實例分別取如下情況: 1 b/ a = 1. 0, 3. 0; 22 層( 0 / 90 , 3 層( 0 / 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 90 / 0 , 4 層(0 / 90 / 0 / 90 , 5 層( 0 / 90 / 0 / 90 / 0 , 9 層(0 / 90 / 0 / 90 / 0 / 90 / 0 / 90 / 0 , 10

27、層( 0 / 0 0 0 0 0 0 0 0 0 90 / 0 / 90 / 0 / 90 / 0 / 90 / 0 / 90 , 每層的厚度均相等; 3a / R = 1. 0, 0. 25; 4a / h = 5, 10, 20, 50。 對于所有實例, 本文根據(jù)預測 修正法的計算步驟, 分別對一階(M = 1 和三階( M = 3兩種位移模 型進行了有限元編程和數(shù)值計算。由于問題的對稱性, 在有限元分析中僅考慮四分之一部分( 如圖 1 所 示 , 采用四邊形 9 節(jié)點 L agrange 等參元, 節(jié)點變量為 q ( M = u 0 , v 0 , u 1 , v 1 , , u M ,

28、 v M , w 0 T , 網(wǎng)格劃分 為 8 8(通過與 4 4 網(wǎng)格劃分計算結(jié)果比較, 8 8 網(wǎng)格劃分的計算結(jié)果是收斂的 , 第一層上的橫向剪應(yīng) 力均采用 3 次 Lagrange 插值(3 等分 4 個節(jié)點, 由最小二乘法擬合三維應(yīng)力平衡方程計算出的橫向剪應(yīng) 力本文分別記為 和 , 有關(guān)數(shù)值計算結(jié)果列在表 1 4 和圖 2 7 中。在表 1 4 和圖 2 7 中有關(guān)量 均為無量綱量: 0 0 0 0 圖2 無量綱橫向剪應(yīng)力 和 ( 2 層, a / R = 1. 0, a / h = 10, b / a = 1. 0 and (2 ply, a/ R = 1. 0, a/ h = 10

29、, b/ a= 1. 0 Fig. 2 Normalized transverse shear stresses 圖3 無量綱橫向剪應(yīng)力 和 ( 3 層, a / R = 1. 0, a / h = 10, b / a = 1. 0 and Fig. 3 Normalized transverse shear stresses (3 ply, a/ R = 1. 0, a/ h = 10, b/ a= 1. 0 w = 100 h E T w 0 / ( q0 a , ( 3 4 , = ( , h/ ( q0a , S = a/ h, S 1 = a/ R 表 1 4 中的撓度 w 為層合圓

30、柱殼的無量綱中心撓度, 位置在( , , = ( a/ 2, b/ 2, 0 , 圖 2 7 均為 a/ h = 10 時( 中等厚度層合殼 無量綱橫向剪應(yīng)力 和 沿厚度方向的分布( 有限元解和彈性解 , 其中: 的位置在( , , = ( 31a/ 32, 15b/ 32, , 的位置在( , , = ( 17a/ 32, b/ 32, , 即分別在兩個單元的 中心, 非常接近于層合圓柱殼兩個邊的中點。 關(guān)于彈性解, 部分結(jié)果可參見文 4 , 詳細結(jié)果可采用級數(shù)展 開法并借助符號軟件 Map le 給出。 另外限于篇幅本文只給出 b/ a = 1. 0 及 a/ R = 1. 0 時橫向剪應(yīng)

31、力的計算 結(jié)果。 通過與三維彈性解的詳細比較得到以下結(jié)論: 562 力 學 季 刊 第 25 卷 圖4 無量綱橫向剪應(yīng)力 和 ( 4 層, a / R = 1. 0, a / h = 10, b / a = 1. 0 and (4 ply, a/ R = 1. 0, a/ h = 10, b/ a= 1. 0 Fig. 4 Normalized transverse shear stresses 圖5 無量綱橫向剪應(yīng)力 和 ( 5 層, a / R = 1. 0, a / h = 10, b / a = 1. 0 and (5 ply, a/ R = 1. 0, a/ h = 10, b/ a

32、= 1. 0 Fig. 5 Normalized transverse shear stresses 圖6 無量綱橫向剪應(yīng)力 和 ( 9 層, a / R = 1. 0, a / h = 10, b / a = 1. 0 and (9 ply, a/ R = 1. 0, a/ h = 10, b/ a= 1. 0 Fig. 6 Normalized transverse shear stresses 1 對于層合圓柱殼的中心撓度預測值(表 1 4 , 三階(M = 3 理論模型相對于階(M = 1理論模型 有明顯的改善, 但仍存在一定的誤差。 2 對于層合圓柱殼的中心撓度修正值(表 1 4,

33、一階和三階理論模型均有顯著的改善(基本上是量 級上的改善, 特別是一階理論模型。這表明文 12 所給出的預測 修正法在改善撓度的精度上是十分有 效的, 避免了剪切修正系數(shù)選擇上的盲目性, 有助于繼續(xù)挖掘一階理論模型的潛力。為了進一步說明這一 第4期 何錄武, 等: 復合材料層合圓柱殼的有限元分析 563 圖7 Fig. 7 無量綱橫向剪應(yīng)力 和 ( 10 層, a / R = 1. 0, a / h = 10, b/ a = 1. 0 and (10 ply, a/ R = 1. 0, a / h = 10, b/ a= 1. 0 Normalized transverse shear str

34、esses 點, 本文基于一階理論模型對剪切修正系數(shù)整體取 k = 5/ 6 的情況也進行了有限元計算(b / a = 1. 0, 3. 0; a / R = 1. 0, 0. 25; a / h = 10, 中心撓度值的相對誤差分別為 8. 3% 13. 3% ( 3 層, 7. 8% 10. 8% ( 4 層, 6. 6% 8. 5% (5 層, 5. 1% 6. 4% (9 層, 4. 85% 6. 4% ( 10 層。文 4, 6, 11 均是在整個研究問 題中引入一個統(tǒng)一的剪切修正系數(shù)值。 3 對于橫向剪應(yīng)力(圖 2 7, a / R = 1. 0, a / h = 10, b/ a

35、 = 1. 0, 由一階和三階理論模型所獲得的結(jié) 果均是相當滿意的, 三階理論模型的結(jié)果比一階理論模型的結(jié)果更精確。這表明文 12 中關(guān)于橫向剪應(yīng) 力的計算方法是準確和可行的。 3 結(jié)論 其于 Reissner Mindlin 型的全局位移場模型(一階和三階以及有限元預測 修正法, 對開口層合圓 柱殼在機械載荷作用下的撓度和橫向剪應(yīng)力進行了數(shù)值計算和分析。數(shù)值計算結(jié)果與三維線彈性解的比 較表明撓度修正值和橫向剪應(yīng)力的精度是十分滿意的, 驗證了預測 修正法在改善撓度的精度方面是十 分有效的, 橫向剪應(yīng)力計算方法是準確和可行的。 參考文獻: 1 2 3 4 5 6 7 R eddy J N. Me

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