1、【教育類精品資料】第2.2節 定積分的換元法 和分部積分法 第六章第六章 二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 不定積分不定積分一、定積分的換元法一、定積分的換元法 換元積分法換元積分法分部積分法分部積分法定積分定積分換元積分法換元積分法分部積分法分部積分法一、定積分的換元法 定理定理1 設函數設函數, ,)(baCxf單值函數)(tx滿足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t證明證明: 所證等式兩邊被積函數都連續所證等式兩邊被積函數都連續,因此積分都存在 ,且它們的原函數也存在 .,)()(的一個原函數是設xfxF是的原函數

2、 , 因此有那么baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t那么1) 當 , 即區間換為，時,定理 1 仍成立 .2) 必需注意換元必換限 , 原函數中的變量不必代回 .3) 換元公式也可反過來使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不換限配元不換限tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t說明:).0(d022axxaa解解: 令令sin ,0,2xat t那么,dcosdttax ;0,0tx時當.,2tax時 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20

3、ttdcos222xayxoyaS且例1 計算.d12240 xxx解解: 令令, 12 xt那么,dd,212ttxtx,0時當 x,4時x.3t故原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t且 例2 計算例例3 計算計算350sinsin.xxdx解解:35( )sinsinf xxx32scosinxx350sinsinxxdx320ossincxxdx2320ssincoxdxx322sin( cos )xxxd3202sinsinxxd322sinsinxxd20522sin5x2522sin5x.54 , ,)(aaCxf設證明證明:

4、(1) 假設, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(則xxfaad)(2) 假設, )()(xfxf0d)(aaxxf則xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa時)()(xfxf時)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令例4二、定積分的分部積分法 定理定理2 , ,)(, )(1baCxvxu設那么)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(證明證明:)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上積分兩端在,ba答案為答案為:2答案為答案為:42133244ee答案為答案為:1ln242答案為答案為:2答案為答案為