1、定積分在幾何中的應用1.微積分基本定理微積分基本定理-牛頓萊布尼茨公式牛頓萊布尼茨公式( )( )( )|( )( )bbbaaaf x dxF x dxF xF bF a牛頓萊布尼茨公式溝通了導數與定積分之間的關系牛頓萊布尼茨公式溝通了導數與定積分之間的關系2.利用牛頓萊布尼茨公式求定積分的關鍵是利用牛頓萊布尼茨公式求定積分的關鍵是( )( )f xF x確定的原函數1( )baAf x dx 221( )( )baAfxfx dx 考慮考慮:試用定積分表示下面各平面圖形的面積值試用定積分表示下面各平面圖形的面積值:( )yf x ab圖圖1.曲邊梯形曲邊梯形xyo)(1xfy )(2xfy

2、 ab圖圖2.如圖如圖xyo圖圖4.4.如圖如圖)(1xfy )(2xfy ab0 xy圖圖3.3.如圖如圖)(xfy ab0yx3( )baAf x dx 42121( )( ) ( )( )bbbaaaAf xdxf xdxf xf x dx解解兩曲線的交點兩曲線的交點(0,0)(1,1)OB120(-)Sxxdx 10333223 xx.31 -OABDOABCSSS 梯梯曲形曲梯形11200 xdxx dx201yxxxyx 及及oxy2yx 2yx ABCD解解:兩曲線的交點兩曲線的交點(0,0), (8,4).24yxyx直線與直線與x軸交點為軸交點為(4,0)2yx 4yx880

3、42(4)xdxxdxS1S24881204422(4)SSSxdxxdxxdx488044(22)(4)xdxxdxxdx38282042 2140|(4 )|323xxx解解:兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy8281202222( 24)SSSxdxxxdx1S1S2S2yx3322822024 22 21166426|(4 )|18332333xxxx28022 2( 24)xdxxxdx24解解: 兩曲線的交點兩曲線的交點).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy32012)6(xAdxxx23320(6

4、)xAxx dx2xy xxy63 1A2A于是所求面積于是所求面積21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 說明：說明：注意各積分區間上被積函數的形式注意各積分區間上被積函數的形式例例3 求由拋物線求由拋物線y2=8x(y0)與直線與直線x+y-6=0及及y=0所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積.xyO6622602408(6)3Sxdxx dx求由曲線圍成的平面圖形面積的一般步驟求由曲線圍成的平面圖形面積的一般步驟:(1)畫草圖畫草圖;(2)求曲線的交點定出積分上、下求曲線的交點定出積分上、下線線;(3)確定被積函數確定被積函數,但要保證求出的面積但

5、要保證求出的面積是非負的是非負的;(4)寫出定積分并計算寫出定積分并計算.例例4 已知拋物線已知拋物線y=x2-2x及直線及直線x=0,x=a,y=0圍成的平面圖形的面積為圍成的平面圖形的面積為4/3,求求a的值的值.思路思路:根據根據a的取值的不同分類討論的取值的不同分類討論.當a0時, ,解得a=-1024(2 )3axx dx222024(2)(2 )3axxdxxx dx當a2時, , ,無解當0a2時, ,解得a=2204(2)3axxdx|( )|()baSf x dx ab注意注意故a=-1或a=2鞏固練習:1.由定積分的性質和幾何意義由定積分的性質和幾何意義,說明下列說明下列

6、各式的值各式的值.10222) 1(1()2() 1 (dxxxdxxaaa22a1422.一橋拱的形狀為拋物線一橋拱的形狀為拋物線,已知該拋物線已知該拋物線 拱的高為常數拱的高為常數h,寬為常數寬為常數b,求拋物線求拋物線 拱的面積拱的面積.xy023Sbh224hyxhb 4.求下列曲線所圍成的圖形的面積求下列曲線所圍成的圖形的面積:(1)y=x2,y=2x+3;(2)y=ex,y=e,x=0.32132(1)(23)3Sxx dx10(2)()1xSee dx課外練習課外練習求在直角坐標系下平面圖形的面積步驟求在直角坐標系下平面圖形的面積步驟: :1.作圖象作圖象;2.求交點的橫坐標求交點的橫坐標,定出積分上、下限定出積分上、下限;3.確定被積