1、第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂 第6章 平面電磁波 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂6.1 無耗媒質中的平面電磁波無耗媒質中的平面電磁波 無耗媒質意味著描述媒質電磁特性的電磁參數滿足如下條件：=0, 、為實常數。無源意味著無外加場源，即=0， J=0。 6.1.1 無耗媒質中齊次波動方程的均勻平面波解無耗媒質中齊次波動方程的均勻平面波解 010122222222tutuHHEE式中 /1u一、在時域下的解第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂圖 6-1 均勻平面電磁波的傳播 均勻平面電磁波均勻平面電磁波指電磁場值僅沿傳播方向發生變化,在垂直于傳播方向的平面上其值不變。現選傳

2、播方向為軸，如圖所示均勻平面電磁波沿+z方向傳播。第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂0),(1),(22222ttzEztzExx此方程的通解為 )()(),(21tzftzftzEx(6-4)0, 0, 0, 0yHxHyExE電場強度E和磁場強度H只是直角坐標z和時間t的函數。設電場沿軸方向，于是),(tzEExxxxeeE第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂0)()(222zEkdzzEdxxjkzjkzxeEeEzE00)(二、在復數域下的解考慮無反射波情況，即令00E有：jkzxxxeEzE0)(eeE入射波反射波k其中022EEk第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂

3、將上式代入麥克斯韋方程E=-jH，得到均勻平面波的磁場強度： zEjzEzyxjjxyxzyxeeeeEH00)()(1)(00jkzyjkzyeEeEjkjeeHk式中： 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂 具有阻抗的量綱，單位為歐姆()，它的值與媒質參數有關，因此它被稱為媒質的波阻抗媒質的波阻抗(或本征阻抗)。 真空中的介電常數和磁導率為 mHmF/104,/103617090377120000有：HE第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂6.1.2 均勻平面波的傳播特性均勻平面波的傳播特性 jkzxxxeEE0eeEjkzyjkzyyyeHeEH00eeeH)cos()cos(R

4、e),()cos(Re),(00)(00)(0kztHkztEeEtzkztEeEtzyykztjyxkztjxeeeHeeE瞬時值復矢量第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂圖 7-3 理想介質中均勻平面電磁波的電場和磁場空間分布 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂正弦均勻平面電磁波的等相位面方程為 （常數）.constkzt1kp 空間相位kz變化2所經過的距離稱為波長，以表示。按此定義有k=2，所以 k22kdtdzp定義相速第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂 時間相位t變化2所經歷的時間稱為周期，以T表示。而一秒內相位變化2的次數稱為頻率，以f表示。 由T=2得 21Tf

5、fp平均坡印廷矢量為 ：2)()21Re*21Re2000EeEeEzjkzyjkzxavee(eHES第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂 平均功率密度為常數，表明通過傳播方向垂直的所有平面上，每單位面積通過的平均功率都相同，電磁波在傳播過程中沒有能沒有能量損失量損失(沿傳播方向電磁波無衰減)。因此理想媒質中的均勻平面電磁波是等振幅波。)()(cos2121)()(cos2121)(22022202twkztHHtwkztEEtweme電場能量密度和磁場能量密度的瞬時值為第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂 例例7-1 已知無界理想媒質(=90, =0，=0)中正弦均勻平面電磁波的頻

6、率f=108 Hz， 電場強度 3Ee 4e 3jkzjjkzxyee試求： (1) 均勻平面電磁波的相速度vp、波長、相移常數k和波阻抗； (2) 電場強度和磁場強度的瞬時值表達式； (3) 與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過的平均功率。 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂解解： (1) 88013 1010 (/ )91( )2 (/)112040 ( )9prrpprrcvm svmfkrad mvu 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂(2) 31HE(4e 3)ejkzjjkzyxjee32102cos3)2102cos(4Re)(88ztztetyxtjeeEEztzt

7、etyxtj2102cos101)32102cos(403Re)(88eeHH第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂（3）復坡印廷矢量：*3321131EHe 4e 3ee2240105e(/)16j kzj kzjkzjkzxyxyzeeeeW m 坡印延矢量的時間平均值：*215SRee(/)216avzEHW m與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過的平均功率：51()16avavPSW 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂6.2 導電媒質中的平面電磁波導電媒質中的平面電磁波 6.2.1 導電媒質中平面電磁波的傳播特性導電媒質中平面電磁波的傳播特性 無激勵源、無界的導電媒質中麥克斯韋

8、方程組為 00EHHEEEHjj(7-22a)EJ第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂式(7-22a)可以寫為 EEHcjjj其中： jjc1經推導可得如下波動方程： 002222HHEE其中2=2c 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂 直角坐標系中，對于沿+z方向傳播的均勻平面電磁波，如果假定電場強度只有x分量Ex，那么上方程的一個解為 ：zjxxeEE0eeE令=-j，則E=exE0e-j (-j)z=exE0e-ze-jz。顯然電場強度的復振幅以因子e-z隨z的增大而減小，表明是說明每單位距離衰減程度的常數，稱為電磁波的衰減常數衰減常數。表示每單位距離落后的相位，稱為相位相位常

9、數常數。=-j稱為傳播常數傳播常數。因此電場強度的瞬時值可以表示為 )cos(),(0zteEtzazxeE第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂因為 c22所以 jja22)(故有 jaja2222從而有 2222第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂由以上兩方程解得 1)(121)(1222zjazcyyeeEEj0eeEHc第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂其中： jccejj211稱為導電媒質的波阻抗導電媒質的波阻抗， 它是一個復數。 式(6-31)中， (6-31)40arctan211412ccHE第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂 導電媒質的本征阻抗是一個復數，其

10、模小于理想介質的本征阻抗，幅角在0/4之間變化，具有感性相角。這意味著電場強度和磁場強度在空間上雖然仍互相垂直，但在時間上有相位差相位差，二者不再同相，電場強度相位超前磁場強度相位。這樣磁場強度可以重寫為 jzjazcyzjazcyeeeEeeE00eeH其瞬時值為 )cos(),(0zteEtzazcyeH第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂圖 7-5 導電媒質中平面電磁波的電磁場 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂導電媒質中均勻平面電磁波的相速為 11121212dtdzvp而波長 fp2第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂6.2.2 趨膚深度和表面電阻趨膚深度和表面電阻 通

11、常，按/的比值(導電媒質中傳導電流密度振幅與位移電流密度振幅之比|E|/|jE|)把媒質分為三類媒質分為三類： 1:; 1:; 1:良導體不良導體電介質 (1)電介質(低損耗媒質)。例如聚四氟乙烯、聚苯乙烯和石英等材料，在高頻和超高頻范圍內均有 , 因此，電介質中均勻平面電磁波的相關參數可以近似為 210,2第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂（2）良導體中。有關表達式可以用泰勒級數簡化并近似表達為 4)1 (222,2,2jcpej 高頻率電磁波傳入良導體后，由于良導體的電導率一般在107S/m量級，所以電磁波在良導體中衰減極快。 電磁波往往在微米量級的距離內就衰減得近于零了。因此高頻電

12、磁場只能存在于良導體表面的一個薄層內， 這種現象稱為集膚效應集膚效應(Skin Effect)。電磁波場強振幅衰減到表面處的電磁波場強振幅衰減到表面處的1/e的深度，稱為的深度，稱為趨膚深度趨膚深度(穿透穿透深度深度)， 以表示。 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂因為 eEeE100所以 f121)(m 可見導電性能越好(電導率越大)，工作頻率越高，則趨膚深度越小。例如銀的電導率=6.15 107 S/m，磁導率0=410-7 H/m ff0642. 015. 6422)(m（例：當f=3Ghz時，趨膚深度為1.17微米）第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂圖 7-6 平面導體 表

13、面電阻表面電阻1SR=1=1第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂從電路的觀點看，此電流通過表面電阻所損耗的功率為 SScRJP221 設想面電流JS均勻地集中在導體表面厚度內，此時導體的直流電阻所吸收的功率就等于電磁波垂直傳入導體所耗散的熱損耗功率。 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂6.3 電磁波的極化電磁波的極化6.3.1 極化的概念極化的概念 電場強度矢量的兩個分量的瞬時值為 )cos()cos(yymyxxmxkztEEkztEE(6-41)極化：考察電場強度矢量極化：考察電場強度矢量E的矢端軌跡的矢端軌跡第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂6.3.2 平面電磁波的極化形

14、式平面電磁波的極化形式 1. 線極化線極化 設Ex和Ey同相，即x=y=0。為了討論方便，在空間任取一固定點z=0，則式(6-41)變為 )cos()cos(00tEEtEEymyxmx合成電磁波的電場強度矢量的模為 )cos(02222tEEEEEymxmyx第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂合成電磁波的電場強度矢量與x軸正向夾角的正切為 常數xmymxyEEEEatan 這時合成平面電磁波的電場強度矢量電場強度矢量E的矢端軌跡的矢端軌跡是位于二、 四象限的一條直線，故也稱為線極化，如圖6-7(b)所示。 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂圖 7-7 線極化波 第6章 平面電磁波

15、 周曉為于2015修訂2. 圓極化圓極化 設 , 0,2,zEEEyxmymxm那么式(6-41)變為 )sin()2cos()cos(xmxmyxmxtEtEEtEE消去t得 122mymxEEEE)()cos()sin(arctan,22xxxmyxtttEEEE第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂圖 7-8 圓極化波 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂 3. 橢圓極化橢圓極化 更一般的情況是Ex和Ey及x和y之間為任意關系。在z=0處，消去式(6 - 41)中的t，得 222sincos2ymyymyxmxxmxEEEEEEEE為橢圓方程第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂

16、圖 7-9 橢圓極化 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂6.3.3 電磁波極化特性的工程應用電磁波極化特性的工程應用 線極化與圓極化的應用舉例: # 電視接收天線 #調頻電臺天線 #導彈的遙控第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂6.4 電磁波的色散和群速電磁波的色散和群速 6.4.1 色散現象與群速色散現象與群速 相速為 p0000,和和 假定色散媒質中同時存在著兩個電場強度方向相同、 振幅相同、頻率不同，向z方向傳播的正弦線極化電磁波， 它們的角頻率和相位常數分別為 色散現象第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂且有 00,電場強度表達式為 )()cos()()cos(00020

17、001ztEEztEE合成電磁波的場強表達式為 )cos()cos(2)()cos()()cos()(000000000ztztEztEztEtE第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂圖 7-10 相速與群速 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂 群速群速(Group Velocity)vg的定義是包絡波上某一恒定相位點推進的速度，它表示了電磁波能量的傳播速度。令調制波的相位為常數： .constztdtdzg當0時，上式可寫為 ddg第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂*6.4.2 群速與相速的關系群速與相速的關系 gppppppgvddvvvddvvdvddd)(ddvvvvpp

18、pg1(1) ，則vgvp，這類色散稱為非正常色散。 0ddvp0ddvp第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂*6.5 均勻平面電磁波向平面分界面的垂直入射均勻平面電磁波向平面分界面的垂直入射 6.5.1 平面電磁波向理想導體的垂直入射平面電磁波向理想導體的垂直入射 圖 7-11 垂直入射到理想導體上的平面電磁波 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂設入射電磁波的電場和磁場分別依次為 zjkiyizjkixieEeE110101eHeE式中Ei0為z=0處入射波(Incident Wave)的振幅，k1和1為媒質1的相位常數和波阻抗，且有 111111k第6章 平面電磁波 周曉為于20

19、15修訂 為使分界面上的切向邊界條件在分界面上任意點、任何時刻均可能滿足， 設反射與入射波有相同的頻率和極化，且沿-ez方向傳播。于是反射波(Reflected Wave)的電場和磁場可分別寫為 zjkryrzjkrxreEeE110101eHeE媒質1中總的合成電磁場為 )(1)(111100100zjkrzjkizjkrzjkieEeEeEeEyri1xri1eHHHeEEE設電場方向不變，則磁場方向變向！第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂 分界面z=0兩側，電場強度E的切向分量連續，所以 0)()0(001riEExeEzkEeeEzkjEeeEizjkzjkiixzjkzjkix

20、1100111001cos2)(1sin2)(1111yyeeHeeE區的合成電場和磁場： 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂它們相應的瞬時值為 tzkEetztzkEetziytjitjcoscos2Re),(sinsin2Re),(110111011eHHeEEx 由于區中無電磁場，在理想導體表面兩側的磁場切向分量不連續，所以分界面上存在面電流。根據磁場切向分量的邊界條件nH1=JS，得面電流密度為 1001102cos2iziSEzkExyzeeeJ第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂.)2 , 1 , 0(4) 12(2) 12(),(0),(.)2 , 1 , 0(2),(

21、0),(111111nnznzktzEtzHnnznzktzHtzE或發生在的最大值的值等于或發生在的最大值的值等于 任意時刻t, 區的合成電場E1和磁場H1都在距理想導體表面的某些固定位置處存在零值和最大值： 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂圖 7-12 不同瞬間的駐波電場 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂駐波駐波不傳輸能量，其坡印廷矢量的時間平均值為零！ 0cossin4Re21Re11120zkzkEjiz*11av1eHES 可見沒有單向流動的實功率。由式(5-54)可得駐波的坡印廷矢量的瞬時值（不為零！）：tzkEtztztzi2sin2sin),(),(),(1120zeHES瞬時值不為零！第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂*6.5.2 平面電磁波向理想介質的垂直入射平面電磁波向理想介質的垂直入射 圖 6-13 垂直入射到理想介質上的平面電磁波 第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂區域中只有透射波，其電場和磁場分別為 zjktytzjktxteEeHeEeE220201式中Et0為z=0處透射波的振幅，k2和2為媒質2的相位常數和波阻抗，且有 222222,k第6章 平面電磁波 周曉為于2015修訂 考慮到z=0處分界面