1、定積分知識點總結北京航空航天大學李權州一、定積分定義與基本性質1. 定積分定義 設有一函數f(x)給定在某一區間a,b上.我們在a與b之間插入一些分 點 a x0 x1 x2 . xn b . 而 將 該 區 間 任 意 分 為 若 干 段 . 以 | | 表 示 差 數 xi xi 1 xi (i 0,1,., n 1) 中最大者 .在每個分區間 xi,xi 1 中各取一個任意的點 x i .xi i xi 1(i 0,1,.,n 1)而做成總和n1 f ( i) xii0然后建立這個總和的極限概念：lim | | 0另用 語言進行定義：0，0，在 | | 時，恒有I| 則稱該總和0時有極限

2、 I.總和0時的極限即f(x)在區間a到b上的定積分，符號表示為bI f (x)dxa2?性質設f(x)，g(x)在a,b:上可積，貝卩有下列性質(1) 積分的保序性bb如果任意 x a,b, f (x),g(x) ，貝 f (x)dx g(x)dx, 特別地，如果任意 x a,b, f(x) 0,則 f(x)dx 0(2)積分的線性性質(f (x) g(x)dx f(x)dx g(x)dxaaabb特別地，有 cf (x)dx c f (x).aa設f(x)在a,b:上可積，且連續，(1)設c為a,b:區間中的一個常數，則滿足bcbf(x)dx f(x)dx f(x)dxaac實際上，將a,

3、b,c三點互換位置，等式仍然成立(4)存在 :a,b ，使得f (x)dx (b a) f ()a二、達布定理1.達布和分別以mi和Mi表示函數f(x)在區間心人里的下確界及上確界并且做總和_nnS( , f)Mi(Xi Xi 1),S( , f)mi (Xi x 1)i 1i 1S( ,f)稱為f(x)相應于分割n的達布上和，S( ,f)稱為f(x)相應于分割n的達布下和 特別地, 當f(x)連續時，這些和就直接是相應于任意分割法的積分和的最小者和最大者，因為在這種情形下f(x)在沒一個區間上都可以達到其上下確界 回到一般情況，有上下界定義知道mi f( i) Mi將這些不等式逐項各乘以Xi

4、( Xi是正數)并依i求其總和，可以得到S( , f) S( ,f)推論1設f(x)在a,b:上有界設有兩個分割，是在的基礎上的加密分割，多加了 k 個新分店，則S(, f)S( , f)S( , f)kIIII,S(,f)S( , f)S( , f)k|,這里M m,M,m分別為f在a,b 上的上、下確界.推論2設f(x)在a,b:上有界.對于任意兩個分割，有m(b a) S( , f)S( , F) M (b a)2. 達布定理定義設f(x)在a,b:上有界，定義I inf S( , f) |為a,b 上一個分割,L supS( , f)|為a,b 上一個分割。稱I為f(x)在a,b 上的

5、上積分，I為f(x)在a,b 上的下積分.定理 對于f(x)在a,b:上的有界函數，貝卩有lim S( , f) I, lim S( , f) I.| | 0 | | 0 一3?函數可積分條件設f(x)在a,b:上有界，下列命題等價：(1) f(x) 在 a,b 可積；(2) I I;n(3) 對于a,b:上的任何一個分害v, ilimoi(xi xi i) 0 ;(4) 任給 0，存在0，對于a,b:上的任何分割，當| | ,有n i(x Xi 1)成立;(5) 任給 0，在a,b:存在一個分割，當| |時有ni(Xi Xi 1)成立這里i Mi mi為f(x)在區間xi,xii上的振幅.三

6、、微積分基本定理定理(Newto n-Leib niz公式)設f(x)在a,b 上可積，且在a,b 上有原函數F(x)，貝卩 bf (x)dx F(b) F(a)a注：1.f(x)是fx)的原函數，故當f R( :a,b)時，該公式可寫為bf(x)dx f (b) f (a)a2?上述定理并不是說可積函數一定有圓環數，而是說如果存在原函數，那么可用來計算定積分的值 .Newt on-Leib niz 公式把原先在復雜的定積分中的定義的積分值計算化為求原函數的問題，為普及微積分打開了大門 .四、定積分的計算除了利用 Newton-Leibniz 公式計算微積分外，還可以使用換元公式和分部積分計算

7、微 積分.b1定積分中變量替換公式設要計算積分f(x)dx，這里f(x)是在區間a,b:內連續的.a令x (t)，函數(t)具備下列條件：歡迎下載51) 函數(t)在某一區間,內有定義且連續，而其值當t在，:內變化時恒不越出區間a,b:的范圍；2) ( ) a, ( ) b;3) 在區間,有一連續函數(t).于是成立公式bf(X)dX f()(t)dta由于被積函數假設是連續的，不但這些定積分存在，同時其相應不定積分也存在，并且在兩情形都可以用基本公式2定積分的分部積分法在不定積分部分曾經討論過公式udv uv vdu,這里假設以x為自變量的函數u,v以及其導函數uv都是在考慮區間a,b 里連

8、續的.則我們有udva五、定積分中值定理微分中值公式F(b) F(a) F( )(b a),說明，函數值的差可以通過其導數值來表達和估算算，那么就有相應的積分的中值公式：記b uv a vdua(a,b).如果從微分運算的逆運算來認識積分運F(x)二f(x)，即把F(x)看作是可積函數f(x)的原函數，則上述公式化為f(x)dx f( )(b a),(a,b)這一類公式稱之為積分中值公式，它顯示出一個函數的定積分可以通過其自身進行表達和估算上述公式的幾何意義可以從面積的意義來考察：設f(x)是a,b 上的正值連續函數，則公式左邊的面積與右邊表達式所代表的舉矩形面積相等，上的積分平均值 :而矩形

9、的高f()正是f(x)在a,b f()八；f(x)dx1 定積分第一中值公式 x a,b, g(x) 0 或 g(x) 0).設 g R(a,b), 且函數值不變號 ( 即對一切supu (x) , minff( x)，貝y存在：m M,x a,b,a,b使得ba f(x)g(x)dxaba g(x)dx若f C( : a,b)，則存在a,b ，使得ba f (x)g(x)dxf(ab)ag(x)dxa2 定積分第二中值公式弓1理(Abel)設有兩組數aa2,k,., db, 0記 A(1)若 f R(a,b) ，且記 Ma?k 1,2 ,n)，則i 1b l) Anbn0.bn0，則有推論若

10、有 mAkM(k 1,2,.,n) ，且 0nmbiaAMbii 1定理 (Bonnet 型) 設 g R(a,b) .(1) 若f(x)是a,b:上非負遞減函數，貝y存 a,b，使得 在bf(a) g(ax)dxf (x)g(x)dx(2) 若f(x)是a,b 上非負遞增函數，貝 S :a,b，使得 存在f(x)g(x)dx f(a) g(x)dxa a3 定積分第三中值公式定理(Weierstrassz型)設f(x)在a,b 上是單調函數，g R( : a,b )，則存在a,b ，使bbf (x)g(x)dx f (a) g(x)dx f (b) g(x)dx a a六、函數可積分的勒貝格定理定義 設A是實數集合，若，對任意0，存在至多可數的系列開區間In,n N*,它是 A 的一個開覆蓋，并且|In| ，則稱 A 為零測度集或者零測集