1、2019屆高三模擬考試試卷(九)數學(滿分160分，考試時間120分鐘)2019.1一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.1. 已知集合M2，1，0，N，則MN.2. 若i是虛數單位，且復數z滿足(1i)z2，則|z|.3. 底面半徑為1，母線長為3的圓錐的體積是.4. 某學校選修網球課程的學生中，高一、高二、高三年級分別有50名、40名、40名.現用分層抽樣的方法在這130名學生中抽取一個樣本，已知在高二年級學生中抽取了8名，則在高一年級學生中應抽取的人數為.5. 根據如圖所示的偽代碼，已知輸出值y為3，則輸入值x為.Read xIf x0 Thenysin xElseyx2

2、1End IfPrint y6. 甲、乙兩人各有三張卡片，甲的卡片分別標有數字1，2，3，乙的卡片分別標有數字0，1，3.兩人各自隨機抽出一張，甲抽出卡片的數字記為a，乙抽出卡片的數字記為b，則a與b的積為奇數的概率為.7. 若直線l1：x2y40與l2：mx4y30平行，則兩平行直線l1，l2間的距離為.8. 已知等比數列an的前n項和為Sn，若S37，S663，則a1.9. 已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程為x2y0，則該雙曲線的離心率為.10. 已知直線l：yx4與圓C：(x2)2(y1)21相交于P，Q兩點，則.11. 已知正實數x，y滿足x4yxy0，若xym恒成立，則實數

3、m的取值范圍是.12. 設a，b是非零實數，且滿足tan，則.13. 已知函數f(x)a3|xa|有且僅有三個零點，且這三個零點構成等差數列，則實數a的值為.14. 若存在正實數x，y，z滿足3y23z210yz，且ln xln z，則的最小值為.二、 解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15. (本小題滿分14分)已知函數f(x)cos2x2sin xcos xsin2x，xR.(1) 求函數f(x)的單調增區間；(2) 求方程f(x)0在(0，內的所有解.16.(本小題滿分14分)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形AA1B1B為矩形，

4、平面AA1B1B平面ABC，點E，F分別是側面AA1B1B，BB1C1C對角線的交點.求證：(1) EF平面ABC；(2) BB1AC.17. (本小題滿分14分)為了美化環境，某公園欲將一塊空地規劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD.其中AB3百米，AD百米，且BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形.擬修建兩條小路AC，BD(路的寬度忽略不計)，設BAD，(，).(1) 當cos 時，求小路AC的長度；(2) 當草坪ABCD的面積最大時，求此時小路BD的長度.18.(本小題滿分16分)在平面直角坐標系中，橢圓M：1(ab0)的離心率為，左、右頂點分別為A，B，線段AB的長

5、為4.點P在橢圓M上且位于第一象限，過點A，B分別作l1PA，l2PB，直線l1，l2交于點C.(1) 若點C的橫坐標為1，求點P的坐標；(2) 設直線l1與橢圓M的另一交點為Q，且，求的取值范圍.19. (本小題滿分16分)已知函數f(x)(3x)ex，g(x)xa(aR).(e是自然對數的底數，e2.718)(1) 求函數f(x)的極值；(2) 若函數yf(x)g(x)在區間1，2上單調遞增，求a的取值范圍；(3) 若函數h(x)在區間(0，)上既存在極大值又存在極小值，并且h(x)的極大值小于整數b，求b的最小值.20. (本小題滿分16分)記無窮數列an的前n項中最大值為Mn，最小值為

6、mn，令bn，數列an的前n項和為An，數列bn的前n項和為Bn.(1) 若數列an是首項為2，公比為2的等比數列，求Bn；(2) 若數列bn是等差數列，試問數列an是否也一定是等差數列？若是，請證明；若不是，請舉例說明； (3) 若bn2n100n，求An.2019屆高三模擬考試試卷(九)數學附加題(滿分40分，考試時間30分鐘)21. (本小題滿分10分)已知矩陣A，滿足A，求矩陣A的特征值.22.(本小題滿分10分)在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數).在極坐標系中(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，極軸與x軸的非負半軸重合)，圓C的方程為4cos()

7、，求直線l被圓C截得的弦長.23. (本小題滿分10分)如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD平面CBD，已知AE平面ABD.(1) 若AE，求直線DE與直線BC所成角；(2) 若二面角ABED的大小為，求AE的長度.24.(本小題滿分10分)已知直線x2上有一動點Q，過點Q作直線l1垂直于y軸，動點P在l1上，且滿足0(O為坐標原點)，記點P的軌跡為C.(1) 求曲線C的方程；(2) 已知定點M(，0)，N(，0)，點A為曲線C上一點，直線AM交曲線C于另一點B，且點A在線段MB上，直線AN交曲線C于另一點D，求MBD的內切圓半徑r的取值范圍.2019屆高三模擬考試

8、試卷(九)(揚州)數學參考答案及評分標準1. 22. 3. 4. 105. 26. 7. 8. 19. 10. 011. m912. 13. 或114. e215. 解：f(x)cos2x2sin xcos xsin2 xsin 2xcos 2x2sin(2x).(4分)(1) 由2k22k，kZ，解得kxk，kZ， 函數f(x)的單調增區間為k，k，kZ.(8分)(2) 由f(x)0得2sin(2x)0，解得2xk，即x，kZ. x(0， x或x.(14分)16. 證明：(1) 三棱柱ABCA1B1C1， 四邊形AA1B1B，四邊形BB1C1C均為平行四邊形. E，F分別是側面AA1B1B，

9、BB1C1C對角線的交點， E，F分別是AB1，CB1的中點， EFAC.(4分) EF平面ABC，AC平面ABC， EF平面ABC.(8分)(2) 四邊形AA1B1B為矩形， BB1AB. 平面AA1B1B平面ABC，BB1平面ABB1A1，平面ABB1A1平面ABCAB， BB1平面ABC.(12分) AC平面ABC， BB1AC.(14分)17. 解：(1) 在ABD中，由BD2AB2AD22ABADcos ，得BD2146cos .又cos ， BD2.(2分) (，)， sin .由，得，解得sinADB. BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形， CDB且CDBD2， cosADC

10、cos(ADB)sinADB.(5分)在ACD中，AC2AD2DC22ADDCcosADC()2(2)222()37，解得AC.(7分)(2) 由(1)得BD2146cos ，S四邊形ABCDSABDSBCD3sin BD27sin 3cos 7(sin 2cos )7sin()，此時sin ，cos ，且(0，).(10分)當時，四邊形ABCD的面積最大，即，此時sin ，cos ， BD2146cos 146()26， 即BD.(13分)答：當cos 時，小路AC的長度為百米；草坪ABCD的面積最大時，小路BD的長度為 百米.(14分)18. 解：由題意得解得 b2a2c23， 橢圓M的方

11、程是1且A(2，0)，B(2，0).(3分)(解法1)(1) 設P(x0，y0)，kPA， l1PA， 直線AC的方程為y(x2)，同理，直線BC的方程為y(x2).聯立方程解得 y0， 點C的坐標為(x0，y0).(6分) 點C的橫坐標為1， x01. P為橢圓M上第一象限內一點， y0. 點P的坐標為(1，).(8分)(2) 設Q(xQ，yQ)， ， 解得 點Q在橢圓M上， (2)2(y0)21.又y3(1)，整理得7x36(1)x0721000，解得x02或x0.(14分) P為橢圓M上第一象限內一點， 02，解得.(16分)(解法2)(1) 設直線AP的斜率為k，P(x0，y0)， P

12、為橢圓M上第一象限內一點， 0k. kAPkBP， 直線BP的斜率為.聯立方程解得即P(，). l1PA， kAC，則直線AC的方程為y(x2). l2PB， kBCk，則直線BC的方程為yk(x2).由得即C(，).(6分) 點C的橫坐標為1， 1，解得k. 0k， k， 點P的坐標為(1，).(8分)(2) 設Q(xQ，yQ)，C(xC，yC)，又直線AC的方程為y(x2).聯立方程得(3k24)x216x1612k20， 2xQ，解得xQ. ， 1.(14分) 0k， (，).(16分)19. 解：(1) f(x)(3x)ex，f(x)(2x)ex，令f(x)0，解得x2，列表：x(，2

13、)2(2，)f(x)0f(x)極大值 當x2時，函數f(x)取得極大值f(2)e2，無極小值.(3分)(2) 由yf(x)g(x)(3x)(xa)ex，得yexx2(3a)x3a2x(3a)exx2(1a)x2a3. ex0，令m(x)x2(1a)x2a3， 函數yf(x)g(x)在區間1，2上單調遞增等價于對任意的x1，2，函數m(x)0恒成立， 解得a3.(8分)(3) h(x)，h(x).令r(x)ex(x23x3)a， h(x)在(0，)上既存在極大值又存在極小值， h(x)0在(0，)上有兩個不等實根，即r(x)ex(x23x3)a0在(0，)上有兩個不等實根x1，x2(x1x2).

14、(10分) r(x)ex(x23x32x3)ex(x2x)x(1x)ex. 當x(0，1)時，r(x)0，r(x)單調遞增，當x(1，)時，r(x)0，r(x)單調遞減，則0x11， 解得3ae， r()eae30. r(x)在(0，)上連續且r(0)r(1)0，r(1)r()0， r(x)0在(0，1)和(1，)上各有一個實根， 函數h(x)在(0，)上既存在極大值又存在極小值時，有3ae，并且在區間(0，1)上存在極小值f(x1)，在區間(1，)上存在極大值f(x2). h(x2)，且h(x2)0，aex2(x3x23)，h(x2)ex2(2x2)1.(13分)令H(x)ex(2x)，H(

15、x)ex(1x)，當x(1，)時，H(x)0，H(x)單調遞減. x2(1，)， h(x2)h(1)e14. h(x)的極大值小于整數b， 滿足題意的整數b的最小值為4.(16分)20. 解：(1) 數列an是首項為2，公比為2的等比數列， an2n， mn2，Mnan2n，則bn12n1， Bnn12n1n.(4分)(2) (解法1)若數列bn是等差數列，設其公差為d， bnbn1d，根據Mn，mn的定義，有以下結論：MnMn1，mnmn1，且兩個不等式中至少有一個取等號.(6分) 若d0，則必有MnMn1， anMnMn1an1，即對n2，nN*，都有anan1， Mnan，mna1，bn

16、bn1d， anan12d，即an為等差數列； 當d0時，則必有mnmn1，所以anmnmn1an1，即對n2，nN*，都有anan1， Mna1，mnan，bnbn1d， anan12d，即an為等差數列； 當d0時，bnbn10. MnMn1，mnmn1中必有一個為0， 根據上式，一個為0，則另一個亦為0，即MnMn1，mnmn1， an為常數數列， an為等差數列.綜上，數列an也一定是等差數列.(10分)(解法2)若數列bn是等差數列，設通項公式為bnpnq(p，qR)，則bn1bnp.對于數列an：a1，a2，an，增加an1時，有下列情況： 若an1Mn，則Mn1an1，mn1mn

17、，此時an1Mn1Mnan， an1an對nN*恒成立，則Mnan，mn1mna1， bn1bnp，即an1an2p為常數，則數列an是等差數列.(7分) 若mnan1Mn，則Mn1Mn，mn1mn， bn1bn. 數列bn是等差數列且bnpnq， p0，bnq， Mn1MnMn1M1a1q，mn1mnmn1m1a1q， qan1q，即anq，即an為常數數列， 數列an是公差為0的等差數列. 若an1mn，則Mn1Mn，mn1an1，此時an1mn1mnan， an1an對nN*恒成立，則Mn1Mna1，mnan， bn1bnp，即an1an2p為常數，則數列an是等差數列.(10分)(3)

18、 bn1bn2n1100(n1)(2n100n)2n100， 當n7時，bn1bn0，即b1b2b6b7，當n7時，bn1bn0，即b7b8b9以下證明：a1a2a6a7，a7a8a9當n7時，若mnan1Mn，則Mn1Mn，mn1mn， bn1bn，不合題意；若an1Mn，則Mn1an1，mn1mn，則，得bnbn1，與bnbn1矛盾，不合題意； an1mnan，即a1a2a6a7；同理可證：a7a8a9，即當n7，nN*時，anan1. 當n7時，Mna1，mnan， bn， an2bna1，a1b198. bn2n100n， an2n1200n98， An20098n2n2100n22n

19、4.(13分) 當n7時，a1a2a6a7，且a7a8a9 mna7282007981 046，則Mn為a1或an.若Mn為a1，則bn為常數，與題意不符， Mnan， bn， an2bna72n1200n1 046， AnA7a8a9an294 9001442001 046(n7)2n2100n2946n6 640， AnnN*.(16分)2019屆高三模擬考試試卷(九)(揚州)數學附加題參考答案及評分標準21. 解： A， (5分)矩陣A的特征多項式為f()(3)(2)22540，令f()0，解得矩陣A的特征值為1或4.(10分)22. 解：將直線l的參數方程(t為參數)化為方程得x2y4

20、0.(2分)圓C的方程為4cos()化為直角坐標系方程，得24(cos sin )，即x2y24x4y0，(x2)2(y2)28，其圓心(2，2)，半徑為2.(5分) 圓心C到直線l的距離為d， 直線l被圓C截得的弦長為2.(10分)23. 解： 正方形ABCD邊長為2， ABAD，CBCD，ABADCDBC2.又AE平面ABD， 以點A為原點，AB，AD，AE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系.作CFBD，垂足為F， 平面ABD平面CBD，CF平面CBD，平面ABD平面CBDBD， CF平面ABD. CBCD2， 點F為BD的中點，CF.(2分)(1) AE， E(0，0，)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，F(1，1，0)，C(1，1，)， (0，2，)，(1，1，)， 0， ， 直線DE與直線BC所成角為.(5分)(2) 設AE的