1、整理課件1整理課件2n以二進制為例研究接收電壓的統計特性。n假設：通信系統中的噪聲是均值為0的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為n0；并設發送的二進制碼元為“0”和“1”，其發送概率分別為P(0)和P(1)，則有P(0) + P(1) = 1n若此通信系統的基帶截止頻率小于fH，則根據低通信號抽樣定理，接收噪聲電壓可以用其抽樣值表示，抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。n設在一個碼元持續時間Ts內以2fH的速率抽樣，共得到k個抽樣值：，則有k 2fHTs。1 數字信號的統計特性整理課件3n由于每個噪聲電壓抽樣值都是正態分布的隨機變量，故其一維概率密度可以寫為式中，n 噪聲的標準偏差； n2

2、 噪聲的方差，即噪聲平均功率； i 1，2，k。n設接收噪聲電壓n(t)的k個抽樣值的k維聯合概率密度函數為 222exp21)(nininnf),(21kknnnf整理課件4n由高斯噪聲的性質可知，高斯噪聲的概率分布通過帶限線性系統后仍為高斯分布。所以，帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之間是互不相關、互相獨立的。這樣，此k 維聯合概率密度函數可以表示為n當k 很大時，在一個碼元持續時間Ts內接收的噪聲平均功率可以表示為：或者將上式左端的求和式寫成積分式，則上式變成kiinknkkknnfnfnfnnnf122212121exp21)()()(),(kiisHkiinTfnk121

3、2211kiisHTsnTfdttnTs120221)(1整理課件5n利用上式關系，并注意到 式中 n0 噪聲單邊功率譜密度則前式的聯合概率密度函數可以改寫為：式中 n = (n1, n2, , nk) k 維矢量，表示一個碼元內噪聲的k個抽樣值。n需要注意，f(n)不是時間函數，雖然式中有時間函數n(t)，但是后者在定積分內，積分后已經與時間變量t無關。n是一個k維矢量，它可以看作是k 維空間中的一個點。 Hnfn02sTkndttnnf020)(1exp21)(n)()()(),()(2121kkknfnfnfnnnffn n整理課件6n在碼元持續時間Ts、噪聲單邊功率譜密度n0和抽樣數k

4、（它和系統帶寬有關）給定后，f(n)僅決定于該碼元期間內噪聲的能量：n由于噪聲的隨機性，每個碼元持續時間內噪聲的波形和能量都是不同的，這就使被傳輸的碼元中有一些會發生錯誤，而另一些則無錯。sTdttn02)(整理課件7n設接收電壓r(t)為信號電壓s(t)和噪聲電壓n(t)之和:r(t) = s(t) + n(t)則在發送碼元確定之后，接收電壓r(t)的隨機性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為n2，但是均值變為s(t)。所以，當發送碼元“0”的信號波形為s0(t)時，接收電壓r(t)的k維聯合概率密度函數為式中 r = s + n k 維矢量，表示一個碼元內接收電壓的k個抽 樣值

5、； s k 維矢量，表示一個碼元內信號電壓的k個抽樣值。dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r r整理課件8n同理，當發送碼元“1“的信號波形為s1(t)時，接收電壓r(t)的k維聯合概率密度函數為n順便指出，若通信系統傳輸的是M 進制碼元，即可能發送s1，s2，si，sM之一，則按上述原理不難寫出當發送碼元是si時，接收電壓的k 維聯合概率密度函數為仍需記住，以上三式中的k 維聯合概率密度函數不是時間t的函數，并且是一個標量，而r 仍是k維空間中的一個點，是一個矢量。dttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r rdttstrnfsTikni200)()

6、(1exp21)(r r整理課件9n“最佳”的準則：錯誤概率最小n產生錯誤的原因：暫不考慮失真的影響，主要討論在二進制數字通信系統中如何使噪聲引起的錯誤概率最小。n判決規則設在一個二進制通信系統中發送碼元“1”的概率為P(1)，發送碼元“0”的概率為P(0)，則總誤碼率Pe等于式中Pe1 = P(0/1) 發送“1”時，收到“0”的條件概率； Pe0 = P(1/0) 發送“0”時，收到“1”的條件概率；上面這兩個條件概率稱為錯誤轉移概率。01)0() 1 (eeePPPPP2 數字信號的最佳接收整理課件10按照上述分析，接收端收到的每個碼元持續時間內的電壓可以用一個k 維矢量表示。接收設備需

7、要對每個接收矢量作判決，判定它是發送碼元“0”，還是“1”。由接收矢量決定的兩個聯合概率密度函數f0(r)和f1(r)的曲線畫在下圖中（在圖中把r 當作1維矢量畫出。）：可以將此空間劃分為兩個區域A0和A1，其邊界是r0 ，并將判決規則規定為： 若接收矢量落在區域A0內，則判為發送碼元是“0”；若接收矢量落在區域A1內，則判為發送碼元是“1”。A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)整理課件11顯然，區域A0和區域A1是兩個互不相容的區域。當這兩個區域的邊界r0 確定后，錯誤概率也隨之確定了。這樣，總誤碼率可以寫為式中，P(A0/1)表示發送“1”時，矢量r落在區域A0

8、的條件概率 P(A1/0)表示發送“0”時， 矢量r落在區域A1的條件概率這兩個條件概率可以寫為：這兩個概率在圖中分別由兩塊陰影面積表示。 A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe0)() 1/(10AdfAPr rr r1)()0/(01AdfAPr rr r整理課件12將上兩式代入得到參考上圖可知，上式可以寫為上式表示Pe是r0的函數。為了求出使Pe最小的判決分界點r0，將上式對r0求導 并令導函數等于0，求出最佳分界點r0的條件：)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe10)()0()() 1 (0

9、1AAedfPdfPPr rr rr rr r00)()0()() 1 (01rredfPdfPPr rr rr rr rA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)()0()() 1 (00010r rr rr rfPfPPe0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP整理課件13即當先驗概率相等時，即P(1) = P(0)時，f0(r0) = f1(r0)，所以最佳分界點位于圖中兩條曲線交點處的r 值上。在判決邊界確定之后，按照接收矢量r 落在區域A0應判為收到的是“0”的判決準則，這時有：若 則判為“0” ；反之，若則判為“1” 。在發送“0”和發送“1”的

10、先驗概率相等時，上兩式的條件簡化為：0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP)()()0() 1 (0100r rr rffPP)()()0() 1 (10r rr rffPP)()()0() 1 (10r rr rffPPA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0) 若f0(r) f1(r)，則判為“0” 若f0(r) f1(r)，則判為“1”整理課件14這個判決準則常稱為最大似然準則。按照這個準則判決就可以得到理論上最佳的誤碼率，即達到理論上的誤碼率最小值。p以上對于二進制最佳接收準則的分析，可以推廣到多進制信號的場合。設在一個M 進制數字通信系統中，可能

11、的發送碼元是s1，s2，si，sM之一，它們的先驗概率相等，能量相等。當發送碼元是si時，接收電壓的k 維聯合概率密度函數為于是，若 則判為si(t)，其中，dttstrnfsTikni200)()(1exp21)(r r),()(r rr rjiffMjij, 2, 1整理課件15n確知信號：指其取值在任何時間都是確定的、可以預知的信號。n判決準則當發送碼元為“0”，波形為so(t)時，接收電壓的概率密度為當發送碼元為“1”，波形為s1(t)時，接收電壓的概率密度為因此，將上兩式代入判決準則式，經過簡化，得到：dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r rdttstrnfs

12、Tkn20101)()(1exp21)(r r 3 確知數字信號的最佳接收機整理課件16若則判為發送碼元是s0(t)；若 則判為發送碼元是s1(t)。 將上兩式的兩端分別取對數，得到若則判為發送碼元是s0(t)；反之則判為發送碼元是s1(t)。由于已經假設兩個碼元的能量相同，即所以上式還可以進一步簡化。 ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()()

13、 1 (1lnssTTdttsdtts021020)()(整理課件17若式中則判為發送碼元是s0(t)；反之，則判為發送碼元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先驗概率決定的加權因子。n最佳接收機u按照上式畫出的最佳接收機原理方框圖如下：ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()()0(ln200PnW ) 1 (ln201PnW 整理課件18W1r(t)S1(t)S0(t)W0t = Ts比較判決積分器積分器ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()(整理課件19r(t)S0(t)S1(t)積分器積分器比較判決t = Ts若此二進制信號的先驗概率相等，

14、則上式簡化為最佳接收機的原理方框圖也可以簡化成 ssTTdttstrdttstr0001()()()(）ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()(整理課件20由上述討論不難推出M 進制通信系統的最佳接收機結構 u上面的最佳接收機的核心是由相乘和積分構成的相關運算，所以常稱這種算法為相關接收法。u由最佳接收機得到的誤碼率是理論上可能達到的最小值。 積分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比較判決積分器積分器整理課件21n總誤碼率在最佳接收機中，若則判為發送碼元是s0(t)。因此，在發送碼元為s1(t)時，若上式成立，則將發生錯誤判決。所以若將r(t) = s1(t) +

15、 n(t)代入上式，則上式成立的概率就是在發送碼元“1”的條件下收到“0”的概率，即發生錯誤的條件概率P(0 / 1)。此條件概率的計算結果如下 ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnaxdxeaPP22221)() 1/0(4 4 確知數字信號最佳接收的誤碼率確知數字信號最佳接收的誤碼率整理課件22式中同理，可以求出發送s0(t)時，判決為收到s1(t)的條件錯誤概率式中axdxeaPP22221)() 1/0(sTdttstsPPna02010)()(21) 1 ()0(ln2sTdttstsnD020102)()(2)(bxd

16、xebPP22221)()0/1 (STdttstsPPnb02100)()(21)0() 1 (ln2整理課件23因此，總誤碼率為n先驗概率對誤碼率的影響當先驗概率P(0) = 0及P(1) = 1時，a = - 及b = ，因此由上式計算出總誤碼率Pe = 0。在物理意義上，這時由于發送碼元只有一種可能性，即是確定的“1”。因此，不會發生錯誤。同理，若P(0) = 1及P(1) = 0 ，總誤碼率也為零。 21)0(21) 1 ()0/1 ()0() 1/0() 1 (222222dxePdxePPPPPPbxaxe整理課件24u當先驗概率相等時：P(0) = P(1) = 1/2，a =

17、 b。這樣，上式可以化簡為式中上式表明，當先驗概率相等時，對于給定的噪聲功率2，誤碼率僅和兩種碼元波形之差s0(t) s1(t)的能量有關，而與波形本身無關。差別越大，c 值越小，誤碼率Pe也越小。 u當先驗概率不等時：由計算表明，先驗概率不等時的誤碼率將略小于先驗概率相等時的誤碼率。就誤碼率而言，先驗概率相等是最壞的情況。dxePcxe22221sTdttstsc0210)()(21整理課件25n先驗概率相等時誤碼率的計算在噪聲強度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號碼元的區別。現在給出定量地描述碼元區別的一個參量，即碼元的相關系數 ，其定義如下：式中E0、E1為信號碼元的能量。當s0(t)

18、= s1(t)時，1，為最大值；當s0(t) = -s1(t)時，1，為最小值。所以 的取值范圍在-1 +1。 10010021020010)()()()()()(EEdttstsdttsdttsdttstsssssTTTTsTdttsE0200)(sTdttsE0211)(整理課件26當兩碼元的能量相等時，令E0 = E1 = Eb，則上式可以寫成并且將上式代入誤碼率公式，得到為了將上式變成實用的形式，作如下的代數變換：令則有bTEdttstsS010)()()1 ()()(210210bTEdttstscSdxedxePbExcxe)1 (22222221212/xz 2222/xz 2/

19、dxdz 整理課件27于是上式變為式中 利用下式中2和n0關系代入上式，得到誤碼率最終表示式：2)1 (121221112212/ )1 (2/ )1 (2/ )1 (2/ )1 (2222bEzEzEzEzeEerfdzedzedzedzePbbbbxzdzexerf022)()1 ()()(2)(0020102bTEndttstsnDs002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbe整理課件28式中 誤差函數 補誤差函數 Eb 碼元能量； 碼元相關系數； n0 噪聲功率譜密度。上式是一個非常重要的理論公式，它給出了理論上二進制等能量數字信號誤碼率的最佳（最小可能）值。在下圖

20、中畫出了它的曲線。實際通信系統中得到的誤碼率只可能比它差，但是絕對不可能超過它。002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbexzdzexerf022)()(1)(xerfxerfc整理課件29n誤碼率曲線dB整理課件30n最佳接收性能特點u誤碼率僅和Eb / n0以及相關系數有關，與信號波形及噪聲功率無直接關系。 u碼元能量Eb與噪聲功率譜密度n0之比，實際上相當于信號噪聲功率比Ps/Pn。因為若系統帶寬B等于1/Ts，則有按照能消除碼間串擾的奈奎斯特速率傳輸基帶信號時，所需的最小帶寬為(1/2Ts) Hz。對于已調信號，若采用的是2PSK或2ASK信號，則其占用帶寬應當是

21、基帶信號帶寬的兩倍，即恰好是(1/Ts) Hz。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)當作信號噪聲功率比看待。nssssssbPPBnPTnPnTPnE0000)/1 (整理課件31u相關系數 對于誤碼率的影響很大。當兩種碼元的波形相同，相關系數最大，即 = 1時，誤碼率最大。這時的誤碼率Pe = 1/2。因為這時兩種碼元波形沒有區別，接收端是在沒有根據的亂猜。當兩種碼元的波形相反，相關系數最小，即 = -1時，誤碼率最小。這時的最小誤碼率等于 例如，2PSK信號的相關系數就等于 -1。u當兩種碼元正交，即相關系數 等于0時，誤碼率等于u例如，2FSK信號的相關系數就等于或近似等于零。00211

22、21nEerfcnEerfPbbe002212121nEerfcnEerfPbbe整理課件32u若兩種碼元中有一種的能量等于零，例如2ASK信號，則誤碼率為u比較以上3式可見，它們之間的性能差3dB，即2ASK信號的性能比2FSK信號的性能差3dB，而2FSK信號的性能又比2PSK信號的性能差3dB。sTdttsc020)(21004214121nEerfcnEerfPbbe整理課件33n多進制通信系統u若不同碼元的信號正交，且先驗概率相等，能量也相等，則其最佳誤碼率計算結果如下：式中，M 進制數； E M 進制碼元能量； n0 單邊噪聲功率譜密度。由于一個M 進制碼元中含有的比特數k 等于l

23、og2M，故每個比特的能量等于并且每比特的信噪比為下圖畫出了誤碼率Pe與Eb/n0關系曲線。 dyedxePyMnEyxe212/12220221211MEEb2log/knEMnEnEb0200log整理課件34u誤碼率曲線由此曲線看出，對于給定的誤碼率，當k增大時，需要的信噪比Eb/n0減小。當k 增大到時，誤碼率曲線變成一條垂直線；這時只要Eb/n0等于0.693(-1.6 dB)，就能得到無誤碼的傳輸。Pe0.693Eb/n0整理課件35n假設：u 2FSK信號的能量相等、先驗概率相等、互不相關；u通信系統中存在帶限白色高斯噪聲；u接收信號碼元相位的概率密度服從均勻分布。n因此，可以將

24、此信號表示為：及將此信號隨機相位的概率密度表示為：)cos(),()cos(),(11110000tAtstAts其他處, 020,2/1)(00f其他處, 020,2/1)(11f5 隨相數字信號的最佳接收整理課件36n判決條件：由于已假設碼元能量相等，故有在討論確知信號的最佳接收時，對于先驗概率相等的信號，按照下式條件作判決：若接收矢量r使f1(r) f0(r)，則判發送碼元是“0”，若接收矢量r使f0(r) f1(r)，則判發送碼元是“1”。現在，由于接收矢量具有隨機相位，故上式中的f0(r)和f1(r)分別可以表示為：上兩式經過復雜的計算后，代入判決條件，就可以得出最終的判決條件：ss

25、TTbEdttsdtts00121020),(),(2000000)/()()(dfffr rr r2011111)/()()(dfffr rr r整理課件37 若接收矢量r 使M12 M02，則判為發送碼元是“0”， 若接收矢量r 使M02 M12，則判為發送碼元是“1”。上面就是最終判決條件，其中：按照上面判決準則構成的隨相信號最佳接收機的結構示于下圖中。 ,20200YXM,21211YXMSTtdttrX000cos)(STtdttrY000sin)(STtdttrX011cos)(STtdttrY011sin)(整理課件38n最佳接收機的結構相關器平 方cos0t相 加相關器平 方s

26、in0t相關器平 方cos1t相 加相關器平 方sin1t比 較r(t)Y0X1Y1X0整理課件39n誤碼率：隨相信號最佳接收機的誤碼率，用類似10.4節的分析方法，可以計算出來，結果如下：n最后指出，上述最佳接收機及其誤碼率也就是2FSK確知信號的非相干接收機和誤碼率。因為隨相信號的相位帶有由信道引入的隨機變化，所以在接收端不可能采用相干接收方法。換句話說，相干接收只適用于相位確知的信號。對于隨相信號而言，非相干接收已經是最佳的接收方法了。)2/exp(210nEPbe整理課件40n仍以2FSK信號為例簡要地討論其最佳接收問題。n假設：u通信系統中的噪聲是帶限白色高斯噪聲；u信號是互不相關的

27、等能量、等先驗概率的2FSK信號。u2FSK信號的表示式式中，A0和A1是由于多徑效應引起的隨機起伏振幅，它們服從同一瑞利分布： )cos(),()cos(),(111111000000tAAtstAAts2 , 1, 0,2exp)(222iAAAVfisisii6 起伏數字信號的最佳接收整理課件41式中，s2為信號的功率；而且0和1的概率密度服從均勻分布：此外，由于Ai是余弦波的振幅，所以信號si(t, i, Ai)的功率s2和其振幅Ai的均方值之間的關系為2 , 1, 0,2exp)(222iAAAVfisisii2 , 1,20,2/1)(ifii222siAE整理課件42n接收矢量的

28、概率密度:u由于接收矢量不但具有隨機相位，還具有隨機起伏的振幅，故此概率密度f0(r)和f1(r)分別可以表示為： 20000000000),/()()()(ddAAffAffrr r 20111111011),/()()()(ddAAffAffrr r整理課件43經過繁復的計算，上兩式的計算結果如下：式中n0 噪聲功率譜密度； n2 噪聲功率。knTsdttrnK2)(1exp020)(2exp)(2002022000sssssTnnMTnnKfr r)(2exp)(2002122001sssssTnnMTnnKfr r整理課件44n誤碼率：實質上，和隨相信號最佳接收時一樣，比較f0(r)和

29、f1(r)仍然是比較M02和M12的大小。所以，不難推論，起伏信號最佳接收機的結構和隨相信號最佳接收機的一樣。但是，這時的最佳誤碼率則不同于隨相信號的誤碼率。這時的誤碼率等于 式中， 接收碼元的統計平均能量。)/(210nEPeE整理課件45n誤碼率曲線由此圖看出，在有衰落時，性能隨誤碼率下降而迅速變壞。當誤碼率等于10-2時，衰落使性能下降約10 dB；當誤碼率等于10-3時，下降約20 dB。整理課件46相干2ASK信號非相干2ASK信號相干2FSK信號非相干2FSK信號相干2PSK信號差分相干2DPSK信號同步檢測2DPSK信號4/21rerfc04/21nEerfcb4/exp21r0

30、4/exp21nEb2/21rerfc02/21nEerfcb2/exp21r02/exp21nEbrerfc210/21nEerfcbrexp210/exp21nEbrerfcrerfc21100211nEerfcnEerfcbb實際接收機的Pe最佳接收機的Pe7 實際接收機和最佳接收機的性能比較整理課件47n什么是匹配濾波器？ 用線性濾波器對接收信號濾波時，使抽樣時刻上輸出信號噪聲比最大的線性濾波器稱為匹配濾波器。n假設條件：u接收濾波器的傳輸函數為H(f)，沖激響應為h(t)，濾波器輸入碼元s(t)的持續時間為Ts，信號和噪聲之和r(t)為式中，s(t) 信號碼元， n(t) 高斯白噪聲

31、；sTttntstr0),()()(8 數字信號的匹配濾波接收法整理課件48u并設信號碼元s(t)的頻譜密度函數為S(f)，噪聲n(t)的雙邊功率譜密度為Pn(f) = n0/2，n0為噪聲單邊功率譜密度。 n輸出電壓u假定濾波器是線性的，根據線性電路疊加定理，當濾波器輸入電壓r(t)中包括信號和噪聲兩部分時，濾波器的輸出電壓y(t)中也包含相應的輸出信號so(t)和輸出噪聲no(t)兩部分，即式中)()()(tntstyoodfefSfHtsftjo2)()()(整理課件49n輸出噪聲功率由這時的輸出噪聲功率No等于n輸出信噪比在抽樣時刻t0上，輸出信號瞬時功率與噪聲平均功率之比為)()()

32、()()(*)(2fPfHfPfHfHfPRRYdffHndfnfHNo2002)(22)(dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()(0整理課件50n匹配濾波器的傳輸特性：利用施瓦茲不等式求 r0的最大值若其中k為任意常數，則上式的等號成立。將上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令則有式中 dxxfdxxfdxxfxf2221221)()()()()()(*21xkfxf0221)()(),()(ftjefSxffHxf0022022022)()(2)()(nEndffSdffHndffSdffHrdffSE2)(整理課件51而且當時，上式的等號成立，即得到

33、最大輸出信噪比2E/n0。上式表明，H(f)就是我們要找的最佳接收濾波器傳輸特性。它等于信號碼元頻譜的復共軛（除了常數因子外）。故稱此濾波器為匹配濾波器。 02)(*)(ftjefkSfH整理課件52n匹配濾波器的沖激響應函數：由上式可見，匹配濾波器的沖激響應h(t)就是信號s(t)的鏡像s(-t)，但在時間軸上（向右）平移了t0。 )()()()()()(*)()(00)(2)(2*2222000ttksdttskdsdfekdfedeskdfeefkSdfefHthttfjttfjfjftjftjftj整理課件53000tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a

34、)(b)(c)n圖解 整理課件54n實際的匹配濾波器一個實際的匹配濾波器應該是物理可實現的，其沖激響應必須符合因果關系，在輸入沖激脈沖加入前不應該有沖激響應出現，即必須有：即要求滿足條件或滿足條件上式的條件說明，接收濾波器輸入端的信號碼元s(t)在抽樣時刻t0之后必須為零。一般不希望在碼元結束之后很久才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選t0 = Ts。故匹配濾波器的沖激響應可以寫為0, 0)(tth當0, 0)(0ttts當0, 0)(ttts當)()(tTksths整理課件55這時，若匹配濾波器的輸入電壓為s(t)，則輸出信號碼元的波形為：上式表明，匹配濾波器輸出信號碼元波形是輸入信號碼元

35、波形的自相關函數的k倍。k是一個任意常數，它與r0的最大值無關；通常取k 1。)()()()()()()()(sssoTtkRdTtsskdTstskdhtsts整理課件56n【例10.1】設接收信號碼元s(t)的表示式為試求其匹配濾波器的特性和輸出信號碼元的波形。【解】上式所示的信號波形是一個矩形脈沖，如下圖所示。其頻譜為由令k = 1，可得其匹配濾波器的傳輸函數為由令k = 1，還可以得到此匹配濾波器的沖激響應為tTttss其他, 00, 1)(sfTjftjefjdtetsfS22121)()(tTss(t)102)(*)(ftjefkSfHssfTjfTjeefjfH22121)()(

36、)(0ttksthssTttTsth0),()(整理課件57此沖激響應示于下圖。表面上看來，h(t)的形狀和信號s(t)的形狀一樣。實際上，h(t)的形狀是s(t)的波形以t = Ts / 2為軸線反轉而來。由于s(t)的波形對稱于t = Ts / 2，所以反轉后，波形不變。由式可以求出此匹配濾波器的輸出信號波形如下： tTsh(t)1ssTttTsth0),()()()(soTtkRtstTsso(t)整理課件58由其傳輸函數可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下：因為上式中的(1/j2f)是理想積分器的傳輸函數，而exp(-j2fTs)是延遲時間為Ts的延遲電路的傳輸函數。 ssfTjfTjee

37、fjfH22121)(延遲Ts理想積分器整理課件59n【例10.2】 設信號的表示式為試求其匹配濾波器的特性和匹配濾波器輸出的波形。【解】上式給出的信號波形是一段余弦振蕩，如右圖所示：其頻譜為tTttftss其他, 00,2cos)(0)(41)(412cos)()(0)(20)(2020200ffjeffjedttefdtetsfSssTffjTffjTftjftjTs整理課件60因此，其匹配濾波器的傳輸函數為上式中已令t0 = Ts。此匹配濾波器的沖激響應為：為了便于畫出波形簡圖，令式中，n = 正整數。這樣，上式可以化簡為h(t)的曲線示于下圖： )(41)(41)(*)(*)(02)(

38、202)(222000ffjeeffjeeefSefSfHsssssfTjTffjfTjTffjfTjftjsssTttTftTsth0),(2cos)()(00/ fnTssTttfth0,2cos)(0整理課件61這時的匹配濾波器輸出波形可以由卷積公式求出：由于現在s(t)和h(t)在區間(0, Ts)外都等于零，故上式中的積分可以分為如下幾段進行計算：顯然，當t 2Ts時，式中的s()和h(t-)不相交，故s0(t)等于零。 (b) 沖激響應Tsdthstso)()()(ssssTtTtTTtt2,2,0, 0整理課件62當0 t d)是噪聲抽樣值大于d 的概率。現在來計算上式中的P(|

39、 |d) 。設接收濾波器輸入端高斯白噪聲的單邊功率譜密度為n0，接收濾波器輸出的帶限高斯噪聲的功率為2，則有dPMPe11dffHndffGnR22/10202)(2)(2整理課件79上式中的積分值是一個實常數，我們假設其等于1，即假設故有這樣假設并不影響對誤碼率性能的分析。由于接收濾波器是一個線性濾波器，故其輸出噪聲的統計特性仍服從高斯分布。因此輸出噪聲的一維概率密度函數等于對上式積分，就可以得到抽樣噪聲值超過d 的概率：dffHndffGnR22/10202)(2)(21)(22/1dffH202n222exp21)(f整理課件80上式中已作了如下變量代換：將上式代入誤碼率公式，得到 2exp22exp2122/222derfc