1、雙縫干涉條紋間距公式的推導雙縫干涉條紋間距公式的推導>x如圖建立直角坐標系，其 x軸上橫坐標為 -的點與d的點為兩波源。 這兩個波源的振動情況完全相同，則這兩個波源發生干涉時的加強區為到兩個波源的距離差為波長2 2整數倍n （零除外）的雙曲線簇。其中d,0、-,0為所有雙曲線的公共焦點。這個雙曲線簇的方程為:2 2y l代入雙曲線簇的方程，有:2d ， x的表達式簡化為:用直線y丨去截這簇雙曲線，直線與雙曲線的交點為加強的點。將 解得:上式中，d的數量級為10 4m， 為10 7m。故d2 n2 2其中I的數量級為10om , d的數量級為10 4m。故I 22104， x的表達式簡化為

2、:d2可見，交點橫坐標成一等差數列，公差為，這說明:d(1)條紋是等間距的;(2)相鄰兩條紋的間距為至此，證明了條紋間距公式:楊氏雙縫干涉條紋間距到底是不是相等的?海軍航空工程學院 李磊梁吉峰選自物理教師2008年第11期在楊氏雙縫干涉實驗中，在現行的高中物理教科書中得岀相鄰的明紋(或者暗紋)中心間距為：x = L入/d，其中L為雙縫與屏的間距，d為雙縫間距，對單色光而言，其波長入為定值，所以我們得岀的結論是干涉圖樣為等間距的一系列明暗相同的條紋，但是在現行的高中物理教科書中所給的干涉條紋的照片卻并非如此，如圖1。我們可以看到只是在照片中央部分的干涉條件是等間距的，但是在其邊緣部分的條紋的間距

3、明顯與中央部分的條紋間距不同。問題到底岀在哪里呢？首先我們來看現行的教科書上對于楊氏雙縫干涉的解釋，如圖P平行。雙縫與屏之間的垂直距離為L,我們在屏上任取一點P1,設定點P1與雙縫S、S2的距離分別為1和2, 0為雙縫P0,設P與Po的距離為x，為了獲得明顯的干涉條紋，在通常情況下L>>d,在這種情況下由雙縫 S1、S2發岀的光到達屏設定雙縫S、S2的間距為d,雙縫所在平面與光屏 S1、S2的中點，雙縫 S、S的連線的中垂線與屏的交點為 上P點的光程差 r為S2M= r 2 r 仟 dsin 0,(1)其中0也是OP與OP所成的角。因為d<<L,0很小，所以(2)x因此

4、 r 宀 ds in 0 dxk = 0, 1,2,當 r宀d =± k入時，屏上表現為明條紋，其中x1當 r宀d =±( k + 2 )入時，屏上表現為暗條紋,其中是k=0, 1, 2,(3)我們繼續算得光屏上明條紋和暗條紋的中心位置。當x = ± kJ入時，屏上表現為明條紋，其中k = 0,(4)當x = ±( k+ 2)L入時，屏上表現為暗條紋，其中1, 2,(4)(5)我們還可以算岀相鄰明條紋(或者暗條紋)中心問的距離為L x = Xk+ 1 Xk=- 入。d至此我們得岀結論：楊氏雙縫干涉條紋是等間距的。 問題就在于以上的推導過程中，我們用過兩次

5、近似，第 因此/S2S1M如果要保證/ SP1S2很小，只要滿足第2次近似是因為 d<<L，0很小，所以sin 0 tan的時候，此式近似成立的條件是/S1P1S2很小，因此有 SML S2P1，SM! OP,0的數值。01°2°3 °4 °5 °6 °7 °sin0tan008°9°10°11°sin0tan0從表11次是在運用公式 r =21 dsin 0d<<L即可，因此 r dsin 0是滿足的。0。下面我們通過表1來比較sin 0與tan表1-%因此當

6、0> 6°時，相對誤差就超過了中我們可以看岀當0 =6°時，tan 0 0n 0淪 因此我們通常說sin 0 = tan 0成立的條件是 0< 5°，當0> 5°時,sin 0 tan是等間距的。而當x0就不再成立。而在楊氏雙縫干涉實驗中，0很小所對應的條件應該是x<<L，這應該對應于光屏上靠近R的點，在此種情況下上述的推導過程是成立的，干涉條紋較大時，也就是光屏上離Po較遠的點所對應的0角也較大，當0> 5°時，sin 0 -tan 0就不再成立，上述推導過程也就不完全成立了，（2）式就不能再用了。此時si

7、nx0= f2vL所以，r dsin 0dx=± k入，屏上表現為明條紋，其中k = 0，1，2，dx1A r - dsin 0=.= = ±( k+-)入，屏上表現為暗條紋，其中/, 2 2 2VL xk = 0，1，2，因此可以得到光屏上明紋或者暗紋的中心位置為I kX =±,一，屏上表現為明條紋，其中 k = 0，1，2,W2 k2 21L(k -)x=±2 ，屏上表現為暗條紋，其中k= 0，1，2,2 12 2d2 (k -)2 22則相鄰的明條紋中心問距為 x 明=Xk+1 明一 Xk 明=_L(k 1)Jd2(k 1)2 2LkJd2 k2 2鄰暗條紋中心間距為 X 暗X k +1 暗X k 暗1L(k 1 -)2 Jd2 (k 1 t)2 21L(k -)22 12 2 d (k -)這也正如教科書上的照片所示的條紋分布。由上式可見相鄰的明、暗條紋就不再是等間距的了，下面我們通過一個實例來定量計算等間距條紋的條數。例1 :用氦氖激光器(頻率為X1014Hz)