1、單級倒立擺穩定控制直線一級倒立擺系統在忽略了空氣阻力及各種摩擦之后，可抽象成小車和勻質擺桿組成的系統，如圖1所示。桿長為 2mgu圖1 直線一級倒立擺系統圖 2 控制系統結構假設小車質量 M =0.5kg ，勻質擺桿質量 m= 0.2kg，擺桿長度 2l=0.6m，x(t)為小車的水平位移， 為擺桿的角位移， g 9.8m / s2 。控制的目標是通過外力u (t) 使得擺直立向上（即(t ) 0 ）。該系統的非線性模型為：( J ml 2 )( ml cos ) xmgl sinu，其中 J1 ml 2。(ml cos )( M m) x(ml sin ) 23解：一、非線性模型線性化及建立

2、狀態空間模型因為在工作點附近（0,0 ）對系統進行線性化，所以32sin,cos1可以做如下線性化處理：3!2!當 很小時，由 cos、sin 的冪級數展開式可知，忽略高次項后，可得 cos1， sin ，20 ；因此模型線性化后如下：（ J+ml2 ）+mlx=mgl (a)ml +(M+m) x=u(b)其中 J1ml 23取系統的狀態變量為xx x2xx,x4, 輸出y xT包括小車位移和擺桿1,3的角位移 .x1xx2x'Y=x=x1即X=x3x3x4'由線性化后運動方程組得X1 x2=x= 4(M3mgx3+4(M4u=x =x2m)3mm)3mX3 3( Mm) g

3、x3+3u=x4x4 =4(Mm)l 3ml4( Mm)l 3ml故空間狀態方程如下：01000x1'003mg0x14m)4( Mm)3mX=x2'=4( M3mx2+0010x3'0x3x4'03( Mm) g0x430m)l3ml4(Mm)l3ml4( Mux1'0100x10x2'002.672701.8182x2X= x3'=001x3+0ux4'0x40031.181804.5455x1x11000x2Y=x30010x3x4二、通過 Matlab 仿真判斷系統的可控與可觀性， 并說明其物理意義。（1）判斷可控性代碼：

4、A=0100;00-2.6270;0001;0031.18180;B=0;1.8182;0;-4.5455;P=ctrb(A,B);n=rank(P);運行了得n= 4所以 P 為滿秩，系統能控（2）判斷可觀性代碼：A=0100;00-2.6270;0001;0031.18180;B=0;1.8182;0;-4.5455;C=1000;0010;P=obsv(A,C);n=rank(P);運行了得n= 4所以 P 為滿秩，系統能觀。三、能否通過狀態反饋任意配置系統的極點？若能，通過Matlab 仿真確定反饋控制規律K（如圖2），使得閉環極點配置在11,22,3. 41j 上。并給出系統在施加一

5、個單位脈沖輸入時狀態響應曲線；答：因為系統完全能控，所以能通過狀態反饋任意配置系統的極點。要將閉環極點配置在11,22,3.41j 上，所以期望特征方程為|I(A-BK)|= （ + 1） * （ +2 ） *( （ +1） 2+1 ）=4+5 3+102+10+4Matlab 求解 K 如下：A=0100;00-2.6270;0001;0031.18180;B=0;1.8182;0;-4.5455;J=-1 -2 -1+i-1-i;K=place(A,B,J);運行得：K= -0.089378-0.22345-9.0957-1.1894;未加入極點配置。仿真圖：未進行極點配置仿真電路圖（1）

6、X 的響應圖：的響應圖：配置后：加入極點配置仿真圖（2）X 的響應圖：的響應圖：四、 用 MatLab 中的 lqr 函數，可以得到最優控制器對應的K。要求用 LQR 控制算法控制倒立擺擺動至豎直狀態，并可以控制倒立擺左移和右移；欲對系統進行最優狀態反饋設計，及小化性能指標為：J=1 XT QX+ UT RU dt20編寫 matalab 程序如下：A=01 00;0 0 -2.6270;0001;0 0 31.18180;B=0;1.8182;0;-4.5455;C=1 0 0 0;0010;D=0;0x=1;y=1;Q=x 0 0 0;0000;0 0 y 0;0000;R=1;G=lqr

7、(A,B,Q,R);A1=(A-B*G);B1=B;C1=C;D1=D;t=0:0.01:5;U=zeros(size(t);x0=0.1 0 0.1 0;Y,X=lsim(A1,B1,C1,D1,U,t,x0);plot(t,Y);legend(' 小車 ','倒立擺 ');運行可得：G=-1 -1.5495 -18.68 -3.4559由圖分析可得調節時間很長，所以增加 Q的比重，將上程序中的 x,y 改為 x=150,y=150. 運行可得：G=-12.247 -9.3413 -41.934 -7.7732比較可得，控制效果明顯改善。但反饋增益變大，意味著

8、控制作用變強，消耗能量變大。將 G放入系統中，進行 simulink 仿真可得：仿真電路圖：仿真結果：X 的響應圖：的響應圖：五、寫出本次仿真實驗的心得體會。本實驗，從數學建模到仿真系統的搭建，再到加進控制環節進行實時控制，最后得出結果的過程中， 參考了大量的資料， 通過對比整合， 設計出了適合自己的一套實驗方法： 倒立擺數學模型推導部分： 首先用線性化數學模型， 接著用動態系統空間狀態方程法導出狀態方程系數矩陣，然后用 MATLAB 對系統進行可控可觀判斷及進行幾點配置，加入配置后在 Simulink 軟件上進行系統仿真。最后通過 matlab 求解線性二次型最優控制的 G 矩陣，然后加入形同進行 Simulink 仿真。 通過本實驗，掌握了倒立擺仿真的整個過程，熟悉了 MATLAB 的仿真軟件 S