1、2011最后沖刺系列之一試試題匯編（共16套）2011年全國高中數學聯賽模擬題1一試考試時間上午8：009：20，共80分鐘，滿分120分一、填空題（共8題，每題8分，64分）1、已知函數的值域為，則 2、已知并且，則的取值范圍是 3、設在平面上，所圍成圖形的面積為，則集合的交集所表示的圖形面積為 4、的最小值為 5、已知復數，且.則 6、過橢圓C：上任一點P，作橢圓C的右準線的垂線PH（H為垂足），延長PH到點Q，使|HQ|=|PH|(1)。當點P在橢圓C上運動時，點Q的軌跡的離心率的取值范圍為 7、設表示不超過的最大整數，則 8、設p是給定的奇質數，正整數k使得也是一個正整數，則k=_二、

2、解答題（共3題，共56分）9、（本題16分） 在ABC中，A,B,C所對邊分別為，且，P為ABC的內切圓上的動點，求點P到A,B,C的距離的平方和的最大值和最小值10、（本題20分）數列中，且滿足（1）求數列的通項公式；（2）設，是否存在最大的正整數，使得對于任意的,均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。11、（本題20分）給定圓P:及拋物線S:,過圓心作直線,此直線與上述兩曲線的四個交點,自上而下順次記為,如果線段的長按此順序構成一個等差數列,求直線l的方程.2011年全國高中數學聯賽模擬題2一試考試時間上午8：009：20，共80分鐘，滿分120分一、填空題：本大題共8小題，每

3、小題8分，共64分.把答案填在橫線上.1.方程在區間上的實根個數為_.2.設數列的前項和為，則滿足不等式的最小整數是_.3.已知（，）是常數，且，是區間內任意實數，則函數的最大值等于_.4.圓周上給定10個點，每兩點連一條弦，如果沒有三條弦交于圓內一點，那么，這些弦在圓內一共有_個交點.5.一只蟲子沿三角形鐵圈爬行，在每個頂點，它都等機會地爬向另外兩個頂點之一，則它在次爬行后恰好回到起始點的概率為_.6.設是平面上一個定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，其中，則點的軌跡為_.7.對給定的整數，符號表示中使能被3整除的唯一值，那么_.8.分別以直角三角形的兩條直角邊，和斜邊為軸將直角三角形旋

4、轉一周，所得旋轉體的體積依次為，則與的大小關系是_.二、解答題：本大題共3小題，共56分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.1.（本小題滿分16分）是否存在實數，使直線和雙曲線相交于兩點、，且以為直徑的圓恰好過坐標系的原點？2.（本小題滿分20分）求證：不存在這樣的函數，滿足對任意的整數，若，則.3.（本小題滿分20分）設非負實數，滿足，求證：2011年全國高中數學聯賽模擬題3一試考試時間上午8：009：20，共80分鐘，滿分120分一、填空題（共8題，每題8分，64分）1、 若實數、滿足條件，則的取值范圍是_.2、已知為非負數，則的最小值為 3、設AB是橢圓（）的長軸，若把AB100

5、等分，過每個分點作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P1、P2、 、P99 ，F1為橢圓的左焦點，則+的值是 4、從一個有88條棱的凸多面體P，切去以其每個頂點為頂點的各一個棱錐，得到一個新的凸多面體Q，這些被切去的棱錐的底面所在的平面在P上或內部互不相交，則凸多面體Q的棱數是 。5、設函數，且滿足，則 .6、一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的體積為 7、設均為正實數，且，則的最小值為_.8、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，則|x|-|y|的最小值是_.二、解答題（共3題，共56分）9、（本題16分）設S=1，2，n，A為至少含有兩項的、公并非為正的

6、等差數列，其項部都在S中，且添加S 的其他元素等于A后均不能構成與A有相同公差的等差數列，求這種A的個數（這里只有兩項的數列也看做等差數列）. 10、（本題20分）已知為拋物線的焦點， M點的坐標為(4,0)，過點F作斜率為的直線與拋物線交于A、B兩點，延長AM、BM交拋物線于C、D兩點，設直線的斜率為（I）求的值；（II）求直線AB與直線CD夾角的取值范圍11、（本題20分）已知函數。（I）若方程在內有兩個不等的實根，求實數的取值范圍（II）如果函數的圖象與軸交于兩點，且。求證：（其中正常數、滿足）。2011年全國高中數學聯賽模擬題4一試考試時間上午8：009：20，共80分鐘，滿分120分

7、一、填空題（共8題，每題8分，64分）1、 用區間表示函數的定義域為 ；2、在ABC中。若，則 ； 3、在數列中，,則使成立的最小正整數的值是 ；4、已知是R上的奇函數，對任意，均有，且時，則 ； 5、如圖，在四棱錐中，底面為正方形，為等邊三角形，為邊的中點，且平面,則二面角的余弦值為 ； 6、若正整數使得對任意一組滿足的正數都有成立，則正整數的最小值為 7、函數的最小值為 8、將方程（表示不超過的最大整數）的實數解從小到大排列成，則 二、解答題（共3題，共56分）9、（本題16分）設二次函數與軸有交點。若對一切,有，且，求的值。10、（本題20分）記集合，是中可重復選取的元素（1）若將集合中

8、所有元素按從小到大的順序排列，求第2008個數所對應的的值；（2）若將集合中所有元素按從大到小的順序排列，求第2008個數所對應的的值11、（本題20分）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線交橢圓于、兩點，過的直線交橢圓于、兩點，且，垂足為（1）設點的坐標為，求的最值；（2）求四邊形的面積的最小值2011年全國高中數學聯賽模擬題5一試考試時間上午8：009：20，共80分鐘，滿分120分一、填空題（共8題，每題8分，64分）1、整數，且，則分別為。2、.均為非負實數，則的最小值為。3、已知集合，其中，且。若正整數，且，符合條件的有 個4、記，則的最小值是 5、集合的容量是指集合中元素的和則滿

9、足條件“，且若時，必有”的所有非空集合的容量的總和是 （用具體數字作答）6、為的單調遞增數列，滿足，則。7、設為方程的根（），則。8、如圖，記從“田字型”網格（由4個邊長為1的正方形構成）的9個交點中任取3個構成三角形的面積記為（當所取3點共線時，0），則的數學期望= 二、解答題（共3題，共56分）9、（本題16分）求函數 的最大值和最小值10、（本題20分）設x，y，z為正實數，求函數 的最小值。11、（本題20分）n2(n4)個正數排成n行n列a11 a12 a13 a14 a1na21 a22 a23 a24 a2na31 a32 a33 a34 a3na41 a42 a43 a44 a

10、4n an1 an2 an3 an4 ann其中每一行的數成等差數列，每一列的數成等比數列，并且所有公比相等，已知a24=1,a42=，a43=,求a11+a22+a33+ann.（1990年全國高中數學聯賽試題）2011年全國高中數學聯賽模擬題6一試考試時間上午8：009：20，共80分鐘，滿分120分一、填空題（共8題，每題8分，64分）1、y=的最大值為，最小值為，則等于 .2、已知實數滿足，且函數，當時有最大值，最小值，則 .3、已知集合，對它的任一非空子集A，可以將A中的每一個元素k都乘以再求和(例如，A=2,3,8，則可求得和為(-1)2×2+(-1)3×3+(

11、-1)8×8=7),對的所有非空子集，這些和的總和為 .4、已知兩個集合A=，B=，若AB，則整數a 的值為 .5、函數f(x)的定義域為(0,+)，并且對任意正實數x，都有，則 .6、是正整數，且成等比數列，是一個完全平方數，則a+b+c= .7、已知的圖像與軸有兩個不同的交點且，則的值為 . 8、設n為正整數，記1×2××n為n!(例如1！=1，2！=1×2，5！=1×2×3×4×5)，若存在正整數滿足，這里，i=2，3，4，5，6，則等于 . 二、解答題（共3題，共56分）9、（本題16分）已知點的

12、序列，其中，是線段的中點，是線段的中點，是線段的中點，(1)寫出與之間的關系式；(2)設，求的通項公式。10、（本題20分）已知，函數，試求在區間上的最大值。11、（本題20分）已知雙曲線的離心率為2，過點斜率為1的直線交雙曲線于兩點，且(1)求雙曲線方程；（2）設Q為雙曲線右支上動點，為雙曲線的右焦點，在軸負半軸上是否存在定點，使得?若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由。2011年全國高中數學聯賽模擬題7一試考試時間上午8：009：20，共80分鐘，滿分120分一、填空題（共8題，每題8分，64分）1、滿足方程所有實數解為 。2、 函數的最小正周期為 3、設P是圓上一動點，A點坐標為。

13、當P在圓上運動時，線段PA的中點M的軌跡方程為 4、設銳角三角形ABC的邊BC上有一點D，使得AD把ABC分成兩個等腰三角形，試求ABC的最小內角的取值范圍為 .5、設z是虛數，且，則z的實部取值范圍為 .6、設。如果對任何，都有，則k的最小值為 7、若不等式對-1a1恒成立，則x的取值范圍是 .8、已知數列ak的通項ak=2k，k=1，2，n，則所有的aiaj(1ijn)的和為 .二、解答題（共3題，共56分）9、（本題16分）已知橢圓，以A（0，1）為直角頂點，邊AB、BC與橢圓交于兩點B、C。若ABC面積的最大值為，求的值。10、（本題20分）已知數列an是首項為2，公比為的等比數列，且

14、前n項和為Sn（1）用Sn表示Sn+1；（2）是否存在自然數c和k，使得2成立11、（本題20分）已知定義在R+上的函數f(x)滿足（i）對于任意a、bR+，有f(ab)=f(a)+f(b)；（ii）當x1時，f(x)0；（iii）f(3)=-1現有兩個集合A、B，其中集合A=(p,q)|f(p2+1)-f(5q)-20，p、qR+，集合B=(p,q)|f()+=0，p、qR+試問是否存在p、q，使，說明理由2011年全國高中數學聯賽模擬題8一試考試時間上午8：009：20，共80分鐘，滿分120分一、填空題（共8題，每題8分，64分）1、函數的值域是_.2、設是復數，則的最小值等于_.3、把

15、能表示成兩個正整數平方差的這種正整數，從小到大排成一列：，例如：.那么 .4、在中，則的面積為 .5、圓錐曲線的離心率是 .6、若、，其中，并且，則實數對表示平面上不同點的個數為 .7、已知（），且 則a的取值范圍是 8、從正方體的八個頂點中隨機選取三點，構成直角三角形的概率是_.二、解答題（共3題，共56分）9、（本題16分）當實數為何值時，關于的方程無解、一解、兩解？10、（本題20分）已知二次函數在區間上的最小值為，最大值為3. （1）求的表達式；（2）若，其中，且.求證：.11、（本題20分）已知的三邊長度各不相等，分別是，的平分線與邊，的垂直平分線的交點.求證：的面積小于的面積.20

16、11年全國高中數學聯賽模擬題9一試考試時間上午8：009：20，共80分鐘，滿分120分一、填空題（共8題，每題8分，64分）1、是周期為5的奇函數，則 。2、設函數，若表示不大于的最大整數，則函數的值域是 。1 2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 8 12 16 20 24 20 28 36 44 48 64 80 112 144 3、, 為多項式的根，則 4、如圖是一個數表，第一行依次寫著從小到大的正整數，然后把每行的相鄰兩個數的和寫在這兩數的正中間的下方得到下一行，數表從左到右、從上到下無限。則2000在表中出現 次。 5、已知二次函數，若對于上的任意三個實數，函數值都能

17、構成一個三角形的三邊長，則滿足條件的的值可以是 。6、若 ，則 。123456787、如圖從第一格跳到第8格，規定每次只能跳一格或者2格，則不同的跳格方法總數為 。8、等比數列中，函數，則函數在處的切線方程為 。二、解答題（共3題，共56分）9、（本題16分）如圖，已知O為的外心，角A、B、C的對邊，且滿足。（1）推導出三邊之間的關系式；（2）求的值。10、（本題20分）設直線（其中，為整數）與橢圓交于不同兩點，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由11、（本題20分）已知函數，定義，偶函數的定義域為，當時，。（1）求；（2）若存在

18、實數使得該函數在上的最大值為，最小值為，求非零實數的取值范圍。2011年全國高中數學聯賽模擬題10一試考試時間上午8：009：20，共80分鐘，滿分120分一、填空題（共8題，每題8分，64分）1、使關于的不等式有解的實數k的最大值是 2、已知。若對所有，則b的取值范圍是 3、設函數，且對任意，則=_。4、若復數z1，z2滿足| z1|=2，| z2|=3，則z1·z2= 5、已知整數滿足，且，則 6、甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止設甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，則比賽停止時已

19、打局數的期望為 7、記集合T=0，1，2，3，4，5，6，M=，將M中的元素按從大到小的順序排列，則第2005個數是 8、將邊長為2的正沿高折成直二面角, 則三棱錐的外接球的表面積是 二、解答題（共3題，共56分）9、（本題16分）已知函數（1）求函數f(x)在區間1，e上的最大、最小值；（2）求證：在區間（1，）上，函數f(x)的圖象在函數圖象的下方；（3）設g(x)=f / (x)，求證：。xyOPACBD10、（本題20分）如圖，拋物線及點，過點的不重合的直線、與此拋物線分別交于點，證明：，四點共圓的充要條件是直線與的傾斜角互補11、（本題20分）數列滿足：證明：（1）對任意為正整數；（

20、2）對任意為完全平方數.2011年全國高中數學聯賽模擬題11一試考試時間上午8：009：20，共80分鐘，滿分120分一、填空題（共8題，每題8分，64分）1方程的實數解為 2函數R的單調減區間是 .3函數在區間上的最大值是 ，最小值是 4在直角坐標系中，已知圓心在原點、半徑為的圓與的邊有公共點，其中、，則的取值范圍為 5設函數的定義域為R，若與都是關于的奇函數，則函數在區間上至少有 個零點. 6圓環形手鐲上等距地鑲嵌著顆小珍珠，每顆珍珠鍍金、銀兩色中的一種其中鍍金銀的概率是 7在三棱錐中，已知， ，且已知棱的長為，則此棱錐的體積為 8設復數列滿足，且若對任意N* 都有，則的值是 二、解答題（

21、共3題，共56分）9、（本題16分）直角坐標系中，設、是橢圓上的三點若，證明：線段的中點在橢圓上10、（本題20分）已知整數列滿足，前項依次成等差數列，從第項起依次成等比數列 (1) 求數列的通項公式； (2) 求出所有的正整數，使得11、（本題20分）求所有正整數，使得與都是完全平方數 2011年全國高中數學聯賽12一試考試時間上午8：009：20，共80分鐘，滿分120分一、填空題（本題滿分64分，每小題8分）1. 設，則的最小值是 。2. 已知，且，則將表示成的函數，其解析式是 。3. 已知函數，若，且，則的取值范圍是 。4. 滿足方程的所有實數對 。5. 若 表示不超過實數 的最大整數

22、，則方程 的解是 。6. 不等式的解集是 。7. 設是由不超過的所有正整數構成的集合，即，集合，且中任意兩個不同元素之差都不等于，則集合元素個數的最大可能值是 。8. 給出一個凸邊形及其所有對角線，在以該凸邊形的頂點及所有對角線的交點為頂點的三角形中，至少有兩個頂點是該凸邊形頂點的三角形有 個。二、解答題9.（本題滿分16分）設函數定義于區間，滿足，且對任意，都有，其中常數滿足，求的值。10. （本題滿分20分）如圖，是雙曲線的右頂點，過點的兩條互相垂直的直線分別與雙曲線的右支交于點，問直線是否一定過軸上一定點？如果不存在這樣的定點，請說明理由；如果存在這樣的定點試求出這個定點的坐標。11.

23、（本題滿分20分）設正整數構成的數列使得對一切恒成立。記該數列若干連續項的和為，其中，且。求證：所有構成的集合等于。2011年全國高中數學聯賽13一 試一、填空題（本題滿分64分，每小題8分）1在數列中，且，則 2設a，b，c是正整數，且成等比數列，是一個完全平方數，則 3一列數滿足對于任意正整數n，都有，則 4設，變量滿足，且的最小值為，則_5正整數，具有如下性質：從集合中任取一個元素m，則m整除n的概率是，則n的最大值是 .6集合1,2,2011的元素和為奇數的非空子集的個數為 .7一個直徑的半圓，過作這個圓所在平面的垂線，在垂線上取一點，使，為半圓上一個動點，分別為在上的射影當三棱錐的體

24、積最大時，_8直線交拋物線于兩點，若中點的橫坐標為，則 .二、解答題（第9題16分，第10、11題各20分，共56分）9.（本小題滿分16分）設，證明不等式10.（本小題滿分20分）已知雙曲線：（，）的離心率為2，過點（）斜率為1的直線交雙曲線于、兩點，且，（1）求雙曲線方程；（2）設為雙曲線右支上動點，為雙曲線的右焦點，在軸負半軸上是否存在定點使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由 11.（本小題滿分20分） 設是不同的正實數.證明：是一個等比數列的充分必要條件是：對所有整數，都有.加 試1. （本題滿分40分）實數a使得對于任意實數，不等式都成立，求a的最大值2. （本題滿分40

25、分）在直角三角形ABC中，它的內切圓分別與邊BC，CA，AB相切與點D，E，F，連接AD，與內切圓相交于另一點P，連接PC，PE，PF已知，求證：3（本題滿分50分）對正整數n，記為數的十進制表示的數碼和(1) 求的最小值； (2) 是否存在一個正整數n，使得=100？ 4（本題滿分50分）求滿足如下條件的最小正整數n，在圓O的圓周上任取n個點，則在個角中，至少有2011個不超過2011年全國高中數學聯賽14一 試一、填空題（本題滿分64分，每小題8分）1. 已知，且，若，則a的取值范圍是 。2. 在中，若，為的內心，且，則 .3. 已知函數若關于x的方程有且只有兩個不相等的實數根，則實數a的

26、取值范圍是 。4. 計算器上有一個特殊的按鍵，在計算器上顯示正整數n時按下這個按鍵，會等可能的將其替換為0n-1中的任意一個數。如果初始時顯示2011，反復按這個按鍵使得最終顯示0，那么這個過程中，9、99、999都出現的概率是 。5. 已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，過橢圓的右焦點作一條直線l交橢圓于點P、Q，則F1PQ內切圓面積的最大值是 6. 設為一個整數數列，并且滿足：，若，則滿足且的最小正整數n是 7. 如圖，有一個半徑為20的實心球，以某條直徑為中心軸挖去一個半徑為12的圓形的洞，再將余下部分融鑄成一個新的實心球，那么新球的半徑是 。8. 在平面直角坐標系內，將適合且使關于t

27、的方程沒有實數根的點所成的集合記為N，則由點集N所成區域的面積為 。二、解答題（本題滿分56分）9. （本小題滿分16分）對正整數，記，求數列中的最大值10.（本小題滿分20分）已知橢圓 過定點A（1，0），且焦點在x軸上，橢圓與曲線的交點為B、C?，F有以A為焦點，過B，C且開口向左的拋物線，其頂點坐標為M（m，0），當橢圓的離心率滿足 時，求實數m的取值范圍。11.（本小題滿分20分）映射f的定義域是的全體真子集，值域包含于，滿足條件：對任意，都有，求這種映射的個數加 試一、（本題滿分40分）設為直線上順次排列的五點，在直線外的一點，連結并延長至點，恰使，同時成立.求證：。二、（本題滿分40

28、分）已知：，求證：。三、（本題滿分50分）設正整數n大于1，它的全部正因數為d1，d2，dk，滿足1=d1<d2<<dk = n。再設D = d1d2d2d3dk1dk。(i) 證明：D<n2；(ii) 確定所有的n，使得D整除n2。四、（本題滿分50分）設圓周上有一些紅點和藍點，可以進行如下操作：加上一個紅點，并改變其相鄰兩點的顏色；或去掉一個紅點，并改變原先與之相鄰的兩點顏色已知開始時只有兩個點，均為紅點，那么是否有可能經過若干次操作，使得圓周上只有兩個點，且均為藍點2011年全國高中數學聯賽15一、填空題（本題滿分64分，每小題8分。直接將答案寫在橫線上。） 1數列滿足：，且記前項的和為，則 2在中，已知的平分線交AC于K若BC=2，CK=1，則的面積為 3設，則使得的展開式中有連續三項的系數成等差數列的最大整數為 4在小于20的正整數中，每次不重復地取出3個數，使它們的和能被3整除，不同的取法種數為 5若均為正實數，且，則的最小值為 6設橢圓的左、右焦點分別為，為橢圓上異于長軸端點的一點，的內心為I，則 7對于一切，不等式恒成立，則實數的取值范圍為