1、天津科技大學2014-2015線性代數期末考試考點及習題天津科技大學2014-2015線性代數期末考試考點及習題一、填空題（共15分，每小題3分）1.余子式和代數余子式；2.行列式計算；3.求矩陣的秩；4.線性相關與線性無關，求參數；5.向量正交，求參數。二、選擇題（共15分，每小題3分）1.矩陣與行列式的性質；2. 線性相關與線性無關）；3.方程組的有解充分必要條件；4.特征值的性質；5.相似矩陣性質。三、（10分）矩陣乘法，轉置，行列式計算。四、（10分）求解矩陣方程。五、（10分）求解非齊次方程組（用對應的齊次線性方程組的基礎解系表示通解）。六、（10分）極大無關組。七、（10分）用施密

2、特正交化方法把向量組正交化(不需要單位化).八（12分）求矩陣的特征值與特征向量，并把矩陣對角化（二階方陣）。九、（8分）解的結構。一、 填空題（共15分，每空3分）1 行列式的余子式和代數余子式；例1、行列式中元素6的余子式的值為_-12_；代數余子式的值為_12_. 例2、 設三階行列式，則元素2的代數余子式的值為_-20_.2. 行列式計算；(一個具體的行列式，不超過四階，不含字母)例1 行列式的值為_12_ 例2 _120_.例3_2_.3.求矩陣的秩；（一個具體的矩陣）要點：矩陣的秩等于行階梯形矩陣中非零行的行數。例1. 設矩陣，則的秩為( 1 ).例2. 設矩陣，則的秩為( 2 )

3、.4.線性相關與線性無關，求參數；要點：1）三個三維向量線性相關當且僅當它們構成的矩陣的行列式等于0. 2）兩個向量線性相關當且僅當它們的分量對應成比例例1. 若向量組線性相關，則_-4_.例2. 若向量組線性無關，則_-4_.例3若向量組與線性相關，則_12_.5.向量正交，求參數。（兩個或者三個向量正交）要點：向量正交當且僅當例1 設向量與向量正交，則_3_.例2 設三個向量 ，兩兩正交，則_0_.二、選擇題（共15分，每小題3分）1.矩陣與行列式的性質；（比如各種運算律）例1. 設、為兩個階方陣，則（ B ）.(A) ；(B) ； (C) ； (D) .例2. 設為二階方陣，且，則（ A

4、 ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .例3.設、為兩個階方陣，則（ B ）.(A) ；(B)； (C)； (D). 2. 線性相關與線性無關；例1. 關于向量組的線性相關性，下列說法正確的是（ B ）.(A) 如果線性相關，則向量組中每一個向量都可以用其余個向量線性表示； (B) 如果個維向量線性相關，那么它們所構成的方陣行列式等于零； (C) 如果線性相關，則存在一組全不為零的數，使得； (D) 如果維向量線性無關，則必存在維向量，使得線性無關.例2. 下列向量組中，線性無關的是（ C ）.(A) ； (B) ； (C) ；(D) .3.方程組有解的充分必要條件；例1 元線性方

5、程組有解的充分必要條件是.例2 元線性方程組有唯一解的充分必要條件是例3 元線性方程組有無窮多組解的充分必要條件是.例4 元齊次線性方程組僅有零解的充分必要條件是.例5 元齊次線性方程組有無窮多解的充分必要條件是.4.特征值的性質；要點：1. 上（下）三角矩陣，對角矩陣的特征值是主對角線上的元素 2. 3. 4.若A的特征值是，則的特征值是。例1 . 設3是方陣的特征值，則矩陣具有特征值為（ D ）.(A)10； (B)3； (C)5； (D)6.例2. 設3是方陣的特征值，則矩陣具有特征值為（ D ）.(A)10； (B)3； (C)5； (D)6.例3矩陣的特征值為_1, 2, 3_.例3

6、.設為階方陣，則 ( C ).(A) 的全部特征向量構成向量空間； (B) 有個線性無關的特征向量；(C) 的全部特征值的和為；(D) 的全部特征值的積為.例4矩陣的特征值可能是（ A ）.(A) 1，4，0； (B) 1，3，0； (C) 2，4，0； (D) 2，4，.5.相似矩陣性質要點：1. 如果,則2.如果,則，A和B可逆性相同 3. 如果,則A和B具有相同的特征多項式和特征值，具有相同的跡 4. 如果,則，5.例1設、為階方陣，則、的關系不正確的是( D ).(A) ； (B) ； (C) ； (D) .例2. 與矩陣不相似的矩陣是（ C ）.(A) ； (B) ； (C) ； (

7、D) .三、（10分）矩陣乘法，轉置，行列式計算。例1.已知，求：(1) ；(2) .解：(1) ； (2) 四、（10分）求解矩陣方程。例 1.解矩陣方程，其中，.解：，故可逆，且.五、（10分）求非齊次線性方程組的通解（要求用對應的齊次線性方程組的基礎解系表示通解）。例1.求非齊次線性方程組的通解（用對應的齊次線性方程組的基礎解系表示通解）.解：對增廣矩陣施行初等行變換：（3分）（5分）對應齊次線性方程組的一個基礎解系為（7分），所求方程組的一個特解為（9分），于是所求方程組的通解為，.（10分）例2.求線性方程組的通解. （用對應的齊次線性方程組的基礎解系表示通解）.解：對方程組的增廣矩

8、陣進行初等行變換，得對應齊次線性方程組的一個基礎解系為，所求方程組的一個特解為，于是所求所求方程組的通解為，.六、（10分）求向量組的秩，極大無關組，并把不屬于這個向量組的其余向量用極大無關組線性表示。要點：1.所給的向量是列向量，直接使用初等行變換 2.所給的向量是行向量，需要先轉置，再進行初等行變換例1. 求向量組 ，的秩和一個極大無關組，并把其余向量用該極大無關組線性表示. 解：對進行初等行變換，得（5分）于是向量組的秩為2，（6分）它的一個極大無關組為，（8分）且有， (10分)例2.求向量組 ，的秩和一個極大無關組，并把其余向量用該極大無關組線性表示. 解：對進行初等行變換，得（5分

9、）于是向量組的秩為，（6分）它的一個極大無關組為，（8分）且有 ，(10分).七、（10分）用施密特正交化方法把向量組正交化.（不需要單位化，只包含兩個或者三個向量）例1 用施密特正交化方法把線性無關的向量組 ，正交化. 解：取（2分） （6分）（10分）例2用施密特正交化方法把線性無關的向量組，正交化.解：令（2分）（6分）（10分）八（12分）已知一個二階實對稱矩陣A，求矩陣A的特征值與特征向量，并求一個正交矩陣P，把矩陣A對角化。例1. 設矩陣(1)求矩陣的特征值與特征向量(6分)；(2)求可逆矩陣，使得為對角矩陣(6分).解：，特征值為.對于，解方程組，即，得特征向量， 對于，解方程組，即，得特征向量，令，則為正交矩陣，且.例2.（共12分）設矩陣，(1)求矩陣的特征值與特征向量(6分)；(2)求正交矩陣，使得為對角矩陣(6分).解：(1)，特征值，（2分）對