1、實用標準文案§1.1 第 1 課時正弦定理 (1)教學目標（ 1）要求學生掌握正弦定理及其證明；（ 2）會初步應用正弦定理解斜三角形，培養數學應用意識；（ 3）在問題解決中 , 培養學生的自主學習和自主探索能力教學重點，難點正弦定理的推導及其證明過程教學過程一問題情境在直角三角形中，由三角形內角和定理、勾股定理、銳角三角函數，可以由已知的邊和角求出未知的邊和角那么斜三角形怎么辦？我們能不能發現在三角形中還蘊涵著其他的邊與角關系呢？探索 1我們前面學習過直角三角形中的邊角關系，在Rt ABC 中，設 C90，則sin Aasin Bbsin C 1， 即： cacbcc，ccsin A

2、sin Bsin Cabcsin Asin Bsin C探索 2對于任意三角形，這個結論還成立嗎？二學生活動學生通過畫三角形、測量邊長及角度，再進行計算，初步得出該結論對于銳角三角形和鈍角三角形成立教師再通過幾何畫板進行驗證引出課題正弦定理三建構數學探索 3這個結論對于任意三角形可以證明是成立的不妨設C 為最大角，若 C 為直角，我們已經證得結論成立，如何證明C 為銳角、鈍角時結論也成立？證法1 若 C 為銳角（圖（1），過點 A 作 ADBC 于 D ，此時有 sin BADAD， sin C，所以bcaccbc sin B b sin C ，即同理可得sin A，sin Bsin Csin

3、 C精彩文檔實用標準文案所以abcsin Asin Bsin C若 C 為鈍角（圖（2），過點 A 作 ADBC ，交BC 的延長線于 D ，此時也有 sin BAD，且ADabccsin C sin(180 C )同樣可得bsin B綜上可知，結論成立sin Asin C證法 2利用三角形的面積轉換，先作出三邊上的高AD、 BE、CF ，則 ADc sin B ， BEasin C ，CFb sin A 所 以S ABC111，每項同除以1 abc 即 得 ：ab s i CnacsBi n bcAs i n2abc222sin Asin Bsin C探索 4 充分挖掘三角形中的等量關系，

4、可以探索出不同的證明方法 我們知道向量也是解決問題的重要工具，因此能否從向量的角度來證明這個結論呢？在ABC 中，有BCBAAC設 C 為最大角，過點A作 ADBC 于 D （圖（ 3），于是BC ADBA ADACAD 設 AC 與 AD 的夾角為，則 0| BA | | AD | cos(90B)| AC | | AD | cos ，其中，當C 為銳角或直角時，90 C；當C 為鈍角時，C90 故可得 c sin Bb sinC0 ，即bcsin Csin B同理可得acsin Asin C因此abcsin A sin Bsin C精彩文檔實用標準文案四數學運用1例題：， a 10 ，求

5、b ， c 例 1在ABC 中， A30，C 105解：因為 A 30， C105，所以 B45因為abcsin Asin B，sin C所以 ba sin B10sin 4510 2 ， ca sin C10sin1055256sin Asin30sin Asin 30因此，b ， c 的長分別為 102和5 256 例 2根據下列條件解三角形：（ 1） b3, B60 ,c1；（ 2） c6, A 45 , a 2 解 （1）bcc sin B1 sin 601：， sin C3，sin Bsin Cb2b c, B60，CB ， C 為銳角， C 30 , A 90 ， ab2c22 （

6、 2）acc sin A6 sin 45360 或120 ，sin C， sin C2， Csin Aa2當 C60時，Bc sin B6 sin 751 ；75 ,b3sin Csin 60當 C120 時， Bc sin B6 sin151；15 ,b3sin Csin 60所以， b31,B75 ,C 60 或 b31,B 15 ,C 120 說明： 正弦定理 也可用于解決已知兩邊及一邊的對角，求其他邊和角的問題練習：在ABC 中， a30 ， b26 ， A30 ，求 c 和 B, C 說明： 正弦定理 可以用于解決已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問題2練習：（ 1）在ABC 中，已知

7、bc 8，B30， C45 ，則 b， c（ 2）在ABC 中，如果A30，B120 ， b12 ，那么 a，ABC 的面積是（ 3）在ABC 中， bc30，S ABC153，則 A2（ 4）課本第 9 頁練習第 1題五回顧小結：1用兩種方法證明了正弦定理：（ 1）轉化為直角三角形中的邊角關系；（ 2）利用向量的數量積精彩文檔實用標準文案2初步應用正弦定理解斜三角形六課外作業：課本第 9 頁練習第 2 題；課本第 11頁習題 1.1第 1、 6 題§1.1.1 第 2 課時正弦定理 (2)教學目標（ 1）掌握正弦定理和三角形面積公式，并能運用這兩組公式求解斜三角形；（ 2）熟記正弦

8、定理abc2RR為ABC的外接圓的半徑）及其變形形式sin Asin Bsin C（教學重點，難點利用三角函數的定義和外接圓法證明正弦定理教學過程一問題情境上節課我們已經運用兩種方法證明了正弦定理，還有沒有其他方法可以證明正弦定理呢？二學生活動學生根據第 5頁的途徑（ 2），（ 3）去思考三建構數學證法 1建立如圖（ 1）所示的平面直角坐標系，則有A(c cosB, c sin B) ， C ( a,0) ，所以 ABC 的面積為SABC1 ac sin B 2同理ABC 的面積還可以表示為S ABC1absin C 及 S ABC12bc sin A ，所以21 ab sin C1 ac s

9、in B1 bc sin A 222所以abcsin Bsin Asin C證法 2如下圖，設O 是ABC 的外接圓，直徑 BD2R （ 1）如圖（ 2），當 A 為銳角時，連 CD ，則BCD 90 ，a 2Rsin D 又 D A ，所以 a 2Rsin A （ 2）如圖（ 3），當則 BCD 90 ， a 2R sin D 又 A D 180 ， 可 得 sin D sin(180A 為鈍角時， 連 CD ， A) sin A ， 所 以a 2Rsin A （ 3）當 A 為直角時， a2R ，顯然有 a 2Rsin A 所以不論A 是銳角、鈍角、直角，總有 a 2R sin A 同理可

10、證 b 2Rsin B ， c 2Rsin C 所以abc2R 由此可sin Asin Bsin C知，三角形的各邊與其所對角的正弦之比是一個定值，這個定值就是三角形外接圓的直徑由此可得到正弦定理的變形形式：（ 1） a2R sin A, b2R sin B, c2Rsin C ；精彩文檔實用標準文案（ 2） sin Aa ,sin Bb ,sin Cc ；（ 3） sin A :sin B : sinC a : b :c 2R2R2R四數學運用1例題：例 1根據下列條件，判斷ABC 有沒有解？若有解，判斷解的個數（ 1） a5 ， b4 ， A120 ，求 B；（ 2） a5 ， b4 ，

11、A90 ，求 B；（ 3） a10 6 ， b20 3，A 45，求B；（ 4） a20 2 ， b20 3，A 45，求B；（ 5） a4 ， b103，A 60 ，求B3解：（ 1） A120 ， B 只能是銳角，因此僅有一解（ 2） A90 ， B 只能是銳角，因此僅有一解（ 3）由于 A 為銳角，而 106202，即 absin A ，因此僅有一解 B 90 32（ 4）由于 A 為銳角，而 203202 20210 6 ，即 b a b sin A ，因此有兩解，易解得3B 60 或120 2（ 5）由于 A 為銳角，又 4103sin 605 ，即 absin A ， B 無解3例

12、 2在ABC 中, 已知abc, 判斷ABC 的形狀cos Acos BcosC解：令ak ，由正弦定理，得 ak sin A ， bk sin B ， ck sin C 代入已知條件，得sin Asin Asin Bsin C，即 antA antBantC 又 A ，B ，C(0, ) ，所以 AB C ，從而 ABCcos Acos BcosC為正三角形說明：（1）判斷三角形的形狀特征， 必須深入研究邊與邊的大小關系： 是否兩邊相等？是否三邊相等？還要研究角與角的大小關系：是否兩角相等？是否三角相等？有無直角？有無鈍角？（ 2）此類問題常用正弦定理（或將學習的余弦定理）進行代換、轉化、化

13、簡、運算，揭示出邊與邊，或角與角的關系，或求出角的大小，從而作出正確的判斷精彩文檔實用標準文案例 3某登山隊在山腳 A 處測得山頂 B 的仰角為 35 ，沿傾斜角為 20 的斜坡前進 1000米后到達 D 處，又測得山頂的仰角為 65 ，求山的高度 ( 精確到 1米 ) 分析：要求 BC ，只要求 AB ，為此考慮解 ABD 解：過點 D 作 DE / AC交 BC于 E，因為DAC 20 ，所以ADE160 ，于是ADB36016065135 又BAD352015，所以ABD30在ABD 中，由正弦定理，得ABAD sinADB1000sin1351000 2( m) sinABDsin 3

14、0在 Rt ABC 中， BCAB sin 3510002 sin 35811(m) 答：山的高度約為811m例 4如圖所示，在等邊三角形中，ABa, O 為三角形的中心，過O的直線交 AB于M ，交 AC于 N，求112 的最大值和最小值OM2ON解：由于 O 為正三角形 ABC 的中心，AO3a ，3MAONAO，設 MOA，則2，336在AOM 中，由正弦定理得：OMOA，MAOsinsin()63 a3 a OM6，在AON 中，由正弦定理得：ON6， sin(6)sin()61 21 2122 sin 2 ()sin 2 ()122(1sin 2) ，OMONa66a22，3sin1

15、，故當時121 2取得最大值182 ，3342OMONa所以，當,or 2時 sin 23，此時11取得最小值15 334OM 2ON 2a2例 5在ABC 中， AD 是BAC 的平分線，用正弦定理證明：ABBDACDC精彩文檔實用標準文案證明：設BAD，BDA，則 CAD，CDA 180在 ABD 和ACD 中分別運用正弦定理，得ABsin， ACsin(180) ，ABDsinDCsin又 sin(180)sin，所以 ABAC ，即 ABBD BDDCACDC2練習：BC（ 1）在ABC中， A: B :C4:1:1 ，則 a : b: c( D )DA 4:1:1B 2:1:1C 2

16、:1:1D3 :1:1（ 2）在ABC 中，若 sin A :sin B :sin C 4:5:6，且 ab c 15 ，則 a，b， c五回顧小結：1了解用三角函數的定義和外接圓證明正弦定理的方法；2理論上正弦定理可解決兩類問題：（ 1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；（ 2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角六課外作業：課本第 9 頁練習第 3 題；課本第 11頁習題 1.1第 2 、 8題§1.1.2第 3 課時余弦定理 (1)教學目標（ 1）掌握余弦定理及其證明；（ 2）使學生能初步運用余弦定理解斜三角形教學重點，難點（ 1）余弦定理的證明及其運用；（

17、 2）能靈活運用余弦定理解斜三角形教學過程一問題情境1情境：復習正弦定理及正弦定理能夠解決的兩類問題2問題：在上節中，我們通過等式BCBAAC 的兩邊與AD （ AD 為ABC 中 BC 邊上的高）作數量積，將向量等式轉化為數量關系，進而推出了正弦定理，還有其他途徑將向量等式BCBAAC 數量化嗎？二學生活動精彩文檔實用標準文案如圖，在ABC 中， AB 、 BC 、 CA 的長分別為 c 、 a 、 b C AC AB BC AC AC (ABBC) (AB BC )ba22AB BCBC2AB22| AB | | BC | cos(180 B)2AcBABBCc 22ac cos Ba2

18、，即 b2c 2a22ac cos B ；同理可證： a 2b 2c 22bc cos A ，c2a2b 22ab cosC 三建構數學1 余弦定理上述等式表明，三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和，減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍這樣，我們得到 余弦定理 2思考：回顧正弦定理的證明，嘗試用其他方法證明余弦定理方法 1：如圖 1建 立 直 角 坐 標 系 ， 則 A( 0 , 0B ) c,( Ac oc s A, sCi b所 以a2(c cos Ab)2( c sin A) 2c2 cos2 A c2 sin 2 A2bc cos Ab2b2c22bc cos A 同 理 可 證b

19、2c2a 22ac cosB ， c 2a 2b22ab cosC注：此法的優點在于不必對A 是銳角、直角、鈍角進行分類討論方法 2：若A是銳角，如圖 2，由B作BD AC，垂足為D， 則， 所 以A D c o s AaDC22( ACAD)2BD2AC22BDBDAD2AC AD2( AD222AC ADb2c22bc cosAACBD )即 a 2b2c 22bc cos A ，類似地，可以證明當A 是鈍角時，結論也成立，而當A 是直角時，結論顯然成立同理可證 b2c 2a22ac cosB ， c2a 2b22ab cosC 圖1圖23余弦定理也可以寫成如下形式：b2c2a 2a2c

20、2b2a2b2c2cos A2bc， cos B2ac， cosC2ac4余弦定理的應用范圍：利用余弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：（ 1）已知三邊，求三個角；（ 2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角精彩文檔實用標準文案四數學運用1例題：例 1在 ABC 中，600 ，求 a ；（ 1） 已知 b3 ， c1 ， A（ 2）已知 a4 ， b5 ， c6 ，求 A （精確到 0.10 ）解：（ 1）由余弦定理，得a2b2c22bc cos A3212231 cos6007 ，所以a7 （ 2）由余弦定理，得cos Ab2c2a2526242，2bc2560.75所以， A

21、41.40 例 2A, B 兩地之間隔著一個水塘，現選擇另一點C ，測得 CA182m, CB126m,ACB630 ，求 A, B 兩地之間的距離（精確到1m ）解：由余弦定理，得AB 2CA 2CB22CA CB cosC182212622182126cos63 028178.18所以， AB 168( m)答： A, B 兩地之間的距離約為168m例 3用余弦定理證明：在ABC 中，當 C 為銳角時， a2b2c2 ；當 C 為鈍角時， a2b2c2 證：當 C 為銳角時， cosC0 ，由余弦定理，得 c2a2b22ab cosC a2b2 ，即 a2b2c2 同理可證，當C 為鈍角時

22、， a2b2c2 2練習：書第 15 頁練習，五回顧小結：1余弦定理及其應用2正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個有力工具，要區別兩個定理的不同作用，在解題時正確選用；六課外作業：書第 16 頁， 2，3， 4， 6， 7 題精彩文檔實用標準文案§1.1.2第 4 課時余弦定理 (2)教學目標（ 1）能熟練應用正弦定理、余弦定理及相關公式解決三角形的有關問題；（ 2）能把一些簡單的實際問題轉化為數學問題，并能應用正弦定理、余弦定理及相關的三角公式解決這些問題教學重點，難點能熟練應用正弦定理、余弦定理及相關公式解決三角形的有關問題，牢固掌握兩個定理，應用自如教學過程一問題情境1正弦定理及

23、其解決的三角形問題（ 1）已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角；（ 2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，從而進一步其它的邊和角2余弦定理及其解決的三角形問題（ 1）已知三邊，求三個角；（ 2）已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩個角四數學運用1例題：例 1在長江某渡口處，江水以5km/ h 的速度向東流，一渡船在江南岸的A 碼頭出發，預定要在0.1h 后到達江北岸B 碼頭，設 AN 為正北方向，已知B 碼頭在 A 碼頭的北偏東 150 ，并與 A 碼頭相距 1.2km 該渡船應按什么方向航行？速度是多少（角度精確到0.10 ，速度精確到0.1km / h ）？解：如圖，船按 AD 方

24、向開出， AC 方向為水流方向， 以 AC 為一邊、 AB 為對角線作平行四邊形ABCD ，其中 AB1.2(km), AC5 0.10.5(km) 在ABC 中，由余弦定理，得BC 21.220.5221.2 0.5cos(90 0 150 ) 1.38 ，所以AD BC1.17( km) 因此，船的航行速度為1.170.1 11.7(km / h) 在ABC 中，由正弦定理，得sinABCAC sinBAC0.5sin 750BC0.4128 ，24.401.17所以ABC所以DANDABNABABC1509.40 答：渡船應按北偏西 9.40的方向，并以 11.7km/ h的速度航行精彩

25、文檔實用標準文案例2 在ABC 中，已知 sin A2sin B cosC ，試判斷該三角形的形狀解：由正弦定理及余弦定理，得sin Aa ,cos Ca2b2c2，2 a2b2c2sin Bb2ab所以a，整理得b2c2b2ab因為 b0, c 0 ，所以 bc 因此，ABC 為等腰三角形例 3如圖， AM 是 ABC 中 BC 邊上的中線，求證： AM12(AB2AC 2) BC2 2證：設 AMB，則AMC1800在 ABM 中，由余弦定理，得AB 2AM 2BM 22AMBM cos在 ACM中，由余弦定理，得AC 2AM 2MC 22 AMMC cos(1800) 因為cos(180

26、0)cos, BMMC1BC，2所以 AB2AC 22 AM21 BC 2 ，因此， AM12(AB2AC2) BC2 22例 4在 ABC 中， BCa ， AC b ， a, b 是方程 x22 3x 20的兩個根，且 2cos(AB) 1，求：角 C 的度數； AB 的長度；SABC1解： cosCcos( AB)cos( AB) C120 ；2由題設：ab23 ，ab2 AB2AC 2BC22 AC BC cosCa 2b 22ab cos120a 2b2ab(a b) 2ab (2 3) 22 10，即 AB10 ；SABC11133ab sin Cab sin120222222DC

27、2練習：（ 1）書第 16 頁 練習，（ 2）如圖，在四邊形 ABCD 中，已知 AD CD ,AD 10，AB 14BDA60,BCD135，,求 BC 的長AB（ 3）在ABC 中，已知 (bc) : (c a) : (ab)4:5:6，求ABC 的最大內角；（ 4）已知ABC 的兩邊 b, c是方程 x2kx400 的兩個根，的面積是10 3 cm2 ，周長是 20cm ，試精彩文檔實用標準文案求 A 及 k 的值；五回顧小結：1正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要區別兩個定理的不同作用，在解題時正確選用；2應用正弦、余弦定理可以實現將“邊、角相混合”的等式轉化為“邊和角的單一”形式；

28、3應用余弦定理不僅可以進行三角形中邊、角間的計算，還可以判斷三角形的形狀六課外作業：書第 17 頁 5， 8， 9， 10， 11 題§ 1.3 正弦定理、余弦定理的應用(1)教學目標（ 1）綜合運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決與測量學、航海問題等有關的實際問題；（ 2）體會數學建摸的基本思想，掌握求解實際問題的一般步驟；（ 3）能夠從閱讀理解、信息遷移、數學化方法、創造性思維等方面，多角度培養學生分析問題和解決問題的能力教學重點，難點（ 1）綜合運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些實際問題；（ 2）掌握求解實際問題的一般步驟教學過程一問題情境1復習引入復習：正弦定理、余

29、弦定理及其變形形式，（ 1）正弦定理、三角形面積公式：abc2R ；sin Asin Bsin CS ABC1 bc sin A1 absin C22（ 2）正弦定理的變形： a 2R sin A,b2R sin B, c sin Aa, sin Bb , sin C2R2R1 ac sin B 22R sin C ；c；2R sin A : sin B : sin Ca : b : c （ 3）余弦定理： a2b2c22bc cos A,cos Ab2c2a22bc二學生活動引導學生復習回顧上兩節所學內容，然后思考生活中有那些問題會用到這兩個定理，舉例說明.三建構數學正弦定理、余弦定理體現了

30、三角形中邊角之間的相互關系，在測量學、運動學、力學、電學等許多領域有著廣泛的應用 .1下面給出測量問題中的一些術語的解釋：（1）朝上看時，視線與水平面夾角為仰角；朝下看時，視線與水平面夾角為俯角.（ 2）從某點的指北方向線起 , 依順時針方向到目標方向線之間的水平夾角 , 叫方位角 .（ 3）坡度是指路線縱斷面上同一坡段兩點間的高度差與其水平距離的比值的百分率 . 道路坡度 100%所表示的可以這樣理解：坡面與水平面的夾角為 45 度.45 度幾乎跟墻壁一樣的感覺了 .精彩文檔實用標準文案（4）科學家為了精確地表明各地在地球上的位置，給地球表面假設了一個坐標系，這就是經緯度線.2應用解三角形知

31、識解決實際問題的解題步驟：根據題意作出示意圖；確定所涉及的三角形，搞清已知和未知；選用合適的定理進行求解；給出答案 .四數學運用1例題：例 1如圖1-3-1 ，為了測量河對岸兩點A, B 之間的距離，在河岸這邊取點C, D ，測得ADC85 ，BDC60 ，ACD47 ，BCD72 ， CD100m . 設 A, B,C , D 在同一平面內，試求A, B 之間的距離（精確到1m ） .解：在ADC 中， ADC 85， ACD47 ，則 DAC48 .又 DC100 ，由正弦定理，得ACDC sinADC100sin 85sinDACsin 48134.05 m .在 BDC 中，BDC60

32、 ，BCD 72，則 DBC 48 . 又 DC 100，由正弦定理，得DC sinBDC100sin 60BCDBC116.54 m .sinsin 48在 ABC 中，由余弦定理，得AB 2AC 2BC 22ACBC cos ACB圖 1-3-1222 134.05116.54cos 72 47134.05116.543233.95 ，所以AB 57 m答 A, B 兩點之間的距離約為57m .本例中 AB 看成ABC 或 ABD 的一邊， 為此需求出 AC ， BC 或 AD ， BD ，所以可考察ADC 和BDC ，根據已知條件和正弦定理來求AC ， BC ，再由余弦定理求AB .引申

33、：如果 A ， B 兩點在河的兩岸（不可到達） ，試設計一種測量A ， B 兩點間距離的方法 .可見習題1.3 探究 拓展 第 8題.例 2如圖1-3-2 ，某漁輪在航行中不幸遇險，發出呼救信號，我海軍艦艇在A 處獲悉后，測出該漁輪在方位角為 45 ，距離為 10n mile 的 C 處，并測得漁輪正沿方位角為 105 的方向，以 9n mile / h 的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以 21n mile / h 的速度前去營救 . 求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間（角度精確到 0.1 ，時間精確到1min ） .解：設艦艇收到信號后x h 在 B 處靠攏漁輪，則AB 21x，BC 9 x

34、，又AC10 ，精彩文檔實用標準文案ACB 45180105120 .由余弦定理，得AB 2AC 2BC 22 ACBC cos ACB ，即21x22109x cos 120.1029x2化簡，得36x29x100 ，圖 1-3-22解得 xh40min（負值舍去） .3由正弦定理，得sinBACBC sinACB9x sin1203 3AB21x，14所以BAC21.8 ，方位角為 4521.866.8 .答 艦艇應沿著方向角66.8 的方向航行，經過 40min 就可靠近漁輪 .本例是正弦定理、余弦定理在航海問題中的綜合應用. 因為艦艇從A到 B與漁輪從 C到 B 的時間相同，所以根據余

35、弦定理可求出該時間，從而求出AB 和 BC ；再根據正弦定理求出BAC .例 3如圖， 某海島上一觀察哨A 在上午 11時測得一輪船在海島北偏東的 C 處，12 時 20 分測得輪3船在海島北偏西的 B 處， 12時 40 分輪船到達海島正西方5km 的 E 港口 . 如果輪船始終勻速前進，求船3速 .解：設 ABE，船的速度為km / h ，則 BC41， BE.133515在ABE 中，3， sin.sinsin3042AC在ABC 中，3，sin 180sin1204sin41520AC33233.3（例 3）2222在ACE 中，525202 520cos150 ，33325225400100775，293 ，933船的速度93km / h .2練習：書上 P20 練習 1，3， 4 題 .五回顧小結：精彩文檔實用標準文案1測量的主要內容是求角和距離，教學中要注意讓學生分清仰角、俯角、張角、視角和方位角及坡度、經緯度等概念，將實際問題轉化為解三角形問題.2解決有關測量、航海等問題時，首先要搞清題中有關術語的準確含義，再用數學語言（符號語言、圖形語言）表示已知條