1、第卷第期年月應(yīng)用力學(xué)學(xué)報斟文章編號：一（）一一兩自由度機械臂久下的分岔與混沌研究鄭小武（西南交通大學(xué)成都）摘要：研究了一類周期系數(shù)力學(xué)系統(tǒng)因周期運動失穩(wěn)而產(chǎn)生分岔及混沌問題。首先根據(jù)拉格朗日方程給出了該力學(xué)系統(tǒng)的運動微分方程，并確定其周期運動的具有周期系數(shù)的擾動運動微分方程，再根據(jù)理論建立了其給定周期運動的珀映射，根據(jù)該系統(tǒng)的特征矩陣有一對復(fù)共軛特征值從一處穿越單位圓情況，分析該矩映射不動點失穩(wěn)后將發(fā)生次諧分岔、分岔、倍周期分岔，而多次倍周期分岔將導(dǎo)致混沌。并用數(shù)值計算加以驗證。結(jié)果表明，隨著分岔參數(shù)的變化，系統(tǒng)的周期運動可通過次諧分岔形成周期運動，進而發(fā)生分岔形成擬周期運動，并再次經(jīng)次諧分岔

2、、倍周期分岔形成混沌運動。關(guān)鍵詞：周期系數(shù)；力學(xué)系統(tǒng)；周期運動；映射；分岔；混沌中圖分類號：文獻標(biāo)識碼：引言非線性動力系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)行為如倍周期分岔、分岔、次諧分岔以及混沌等問題一直是研究的熱點。文獻對某碰撞振動系統(tǒng)建立了其周期運動的托映射，利用中心流形一范式方法理論分析和數(shù)值驗證了其在適當(dāng)參數(shù)條件下存在分岔。文獻研究了一類三自由度碰撞振動系統(tǒng)有兩對復(fù)共軛特征值同時穿越單位圓時的余維二分岔，證明在一定參數(shù)下系統(tǒng)存在穩(wěn)定圈和環(huán)面。文獻詳細介紹了平面映射的分岔、次諧分岔問題。文獻研究了一類兩自由度振動系統(tǒng)在一種強共振條件下的分岔和次諧分岔以及混沌問題。文獻研究了高維映射的分岔問題。本文研究的圖所

3、示機械系統(tǒng)模型常用于汽車制造工業(yè)噴漆，機械系統(tǒng)運轉(zhuǎn)過程當(dāng)中，機械臂端點（安裝一個噴漆裝置）做給定運動時，汽車以勻速經(jīng)過端點。文獻研究了當(dāng)參數(shù)變化時（比如改變裝配線的速度或改變噴槍的質(zhì)量等）穩(wěn)定性問題。本文修正了文獻中該模型的運動微分方程，確定了該系統(tǒng)周期運動失穩(wěn)后的具有周期系數(shù)的擾動運動微分方程，再根據(jù)周期系數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論建立了其周期運動的托映射，并根據(jù)該映射的特征矩陣有一復(fù)共軛特征值從一處穿越單位圓情況分析其映射不動點發(fā)生次諧分岔、分岔、倍周期分岔的可能性，最后用數(shù)值方法加以驗證。力學(xué)模型及運動微分方程的建立圖是兩自由度力學(xué)模型，在作用于兩臂上的主動控制力矩艦、睨作用下，其端點作預(yù)定勻速

4、圓周運動，兩手臂長均為，質(zhì)量分別為艦、艦，其它結(jié)構(gòu)尺寸如圖所示。仍、佇作為系統(tǒng)的兩個廣義坐標(biāo)，基金項目：國家自然科學(xué)基金（）；西南交通大學(xué)青年教師科研起步項目（）西南交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)研究基金（）來稿日期：修回日期：一第一作者簡介：鄭小武，男，年生，西南交通大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系，副教授；研究方向非線性動力學(xué)。：吼明第期鄭小武：兩自由度機械臂下的分岔與混沌研究：一圖力學(xué)模型是鉸鏈處的粘性摩擦系數(shù)。當(dāng)要求端點作預(yù)定圓周運動時（伽（）給定），可以求出所需主動力矩積）的大小。當(dāng)系統(tǒng)運動狀態(tài)出現(xiàn)擾動產(chǎn)生運動偏差驢妒一即時需通過圖所示的控制回路施加一個適當(dāng)?shù)牧啬_使角度偏差得以修正。圖補償運動偏差妒的控制回

5、路示意圖模型的運動微分方程對圖所示力學(xué)模型根據(jù)拉格朗日方程可以建立其運動微分方程（丟，）。仇專。（弘一仍）一號。（弘一卵）葛（艦）（）令：；足（），（，）；（耽一艦）（）；耽（仇產(chǎn)）；忌（叫），；撕；參一出螄；多一磊，將方程作無量綱化處理，為方便起見仍用章、予表示新坐標(biāo)下的角速度、角加速度，即弓；多，得詈詈。弘一（丟嘞）一（吉專。弘）三（號）。弘丟。（佇一妒）厶一丟。（紕一，）確定擾動運動微分方程（耋）（害；（耋）令：，仍；：章。；。紕；，鋤。方程（）的狀態(tài)方程為一（丟。，）鼉丟勃（勃一西）嘞弘弘一乙伽佇丟嵇嘞一忌忌弘一丟。（弘一）刪一警（）掣。（一）豳（）（）上式簡化成以下形式：（）歹日（）

6、，設(shè)系統(tǒng)的運動可表示為），如，其中（，。，）眺眺爭。磚一姐“弘拯叫虬壤一執(zhí)乜一應(yīng)用力學(xué)學(xué)報第卷為周期運動的擾動，螄（），（），（），。（），為系統(tǒng)的周期運動，其中。令主動控制力矩（）塒，參照文獻取反饋控制規(guī)律為：刖（，）如，其中反饋控制參數(shù)（）為常數(shù)。由式（）可得（螄工）文日（如）一（工），現(xiàn)，（，工）（）由周期解的條件（）孰（螄），設(shè)（）（）（，工）（，）（，），以及，（，工）廠（，）（，）（，）。卜（，廣）和（，一）（其中，）分別為（螄工）和，（，工）中關(guān)于的一、二、三次等。這些項的系數(shù)均為的周期函數(shù)，將式（）寫成，（，），（，妒）（，礦）一（，）主一（，）主一（）根據(jù)丘與等的研究，系統(tǒng)式

7、（）平衡點的分岔的類型一般是由其前三階項確定的，式（）的階近似系統(tǒng)為主（，工）（，）（，）（）其中（，）工（），（，）了（）了（，），（，）了，（）妒一（，妒）一（，）由此可以得到系統(tǒng)周期解擾動的一次近似微分方程立（，）（）（）這里（），缸（）是周期矩陣。限于篇幅這里（）、及廠（，）、（，一）的具體表達式略。系統(tǒng)周期運動的分岔與混沌周期系數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及嫩映射的建立分析式（）的平衡點的穩(wěn)定性和分岔行為可以如下研究：將式（）經(jīng)過時間積分確定若干狀態(tài)點，其在砥截面（伽，西，卿，伽，）尉×）形成啦映射，該映射的不動點的穩(wěn)定性和分岔行為與原系統(tǒng)給定周期運動相同。系統(tǒng)周期解的分岔與混沌行為選定

8、系統(tǒng)的某個參數(shù)作為分岔參數(shù)，則當(dāng)參數(shù)變化時，若式（）的特征矩陣的全部特征值都位于單位圓內(nèi)時，式（）的平衡點（原系統(tǒng)的給定周期運動）是穩(wěn)定的。在臨界值。的某個鄰域內(nèi)，工總是式（）的平衡點，若在。處特征矩陣（）滿足以下假設(shè)：有一對復(fù)共軛特征值位于單位圓上（，（），而其他特征值都位于單位圓內(nèi)；塒（。）（咒，）。滿足假設(shè)、時，由文獻相關(guān)研究可知不動點失穩(wěn)將產(chǎn)生非共振條件下的分岔，形成穩(wěn)定的圈。若滿足硝（）一（，），根據(jù)文獻不動點失穩(wěn)將將產(chǎn)生竹階強共振條件下的分岔，不動點失穩(wěn)后可能經(jīng)次諧分岔而形成周期行點，也可能沿條軌道收斂于穩(wěn)定圈。另外若有一實特征值，其余特征值位于單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)將發(fā)生倍周期分岔，多

9、次倍周期后可能導(dǎo)致混沌。因此若有一對復(fù)共軛特征值從一處穿越單位圓，根據(jù)其穿越后的特征值變化情況系統(tǒng)將發(fā)生強共振條件下的分岔，還將伴隨倍周期分岔導(dǎo)致混沌的特點。數(shù)值計算取參數(shù)：叫；一；一。當(dāng)時，式（）的特征值變化過程如圖（）。當(dāng)時，有一對復(fù)共軛特征值一一±，（滿足，冠），其余兩個負(fù)實特征值位于單位圓內(nèi)。該系統(tǒng)當(dāng)參數(shù)加時，將發(fā)生二階強共振下的分岔，另外從特征值穿越單位圓之后的分布情況來看還應(yīng)發(fā)生倍周期分岔。圖（）圖（）為數(shù)值模擬結(jié)果，當(dāng)時，托截面上的不動點受到某種因素的干擾后仍將沿兩條軌道收斂于不動點（原系統(tǒng)的給定周期運動穩(wěn)定，見圖（）；當(dāng)，時，不動點受干擾后發(fā)生次諧分岔鎖相于周期焦點（

10、周期運動受干擾后形成周期運動，見圖（）；當(dāng)：，時，不動點受干擾后沿兩條軌道收斂于穩(wěn)定的圈（周期運動受干擾后形成擬周期運動，見圖（）；當(dāng)，時，不動點受干擾后再次發(fā)生次諧分岔鎖相于周期結(jié)點（周期運動受干擾后形成周期運動，見圖（）；。不動點失穩(wěn)逐漸形成穩(wěn)定的周期、點直至混沌（圖（）（），其隨參數(shù)變化的局部動力學(xué)行為如圖（）。第期鄭小武：兩自由度機械臂艫下的分岔與混沌研究（）穩(wěn)定刷期結(jié)點工（）多次倍周期導(dǎo)致混沌掣一一：圖埔截面上的投影結(jié)語對于所研究的具有周期系數(shù)擾動微分方程的力學(xué)模型，在一定參數(shù)下系統(tǒng)的周期運動將發(fā)生二階強共振條件下的分岔，隨著參數(shù)變化首先發(fā)生次諧分岔鎖相于周期焦點，參數(shù)進一步變化，不動點失穩(wěn)后形成穩(wěn)定圈，進而再次發(fā)生次諧分岔鎖相于周期結(jié)點，周期結(jié)點還將發(fā)生倍周期分岔，并經(jīng)多次倍周期導(dǎo)致混沌。參考文獻