1、DIX 的透視投影變換所謂透視投影變換，就是view 空間到project 空間的帶透視性質(zhì)的坐標(biāo)變換步驟（這兩個(gè)空間的定義可以參考其他文檔和書(shū)籍）。我們首先來(lái)考慮它應(yīng)該具有那些變換性質(zhì)。很顯然，它至少要保證我們?cè)趘iew空間中所有處于可視范圍內(nèi)的點(diǎn)通過(guò)變換之后，統(tǒng)統(tǒng)落在project空間的可視區(qū)域內(nèi)。好極了，我們就從這里著手先來(lái)看看兩個(gè)空間的可視區(qū)域。由于是透視變換，view空間中的可見(jiàn)范圍既是常說(shuō)的視平截體（view frustum）。如圖，（圖1）它就是由前后兩個(gè)截面截成的這個(gè)棱臺(tái)。從view空間的x正半軸看過(guò)去是下圖這個(gè)樣子。（圖2）接下來(lái)是project空間的可視范圍。這個(gè)空間應(yīng)當(dāng)是

2、處于你所見(jiàn)到的屏幕上。實(shí)際上將屏幕表面視作project空間的xoy平面，再加一條垂直屏幕向里（或向外）的z軸（這取決于你的坐標(biāo)系是左手系還是右手系），這樣就構(gòu)成了我們想要的坐標(biāo)系。好了，現(xiàn)在我們可以用視口（view port）的大小來(lái)描述這個(gè)可視范圍了。比如說(shuō)全屏幕640*480的分辨率，原點(diǎn)在屏幕中心，那我們得到的可視區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)長(zhǎng)方體，它如下圖（a）所示。（圖3）但是，這樣會(huì)帶來(lái)一些設(shè)備相關(guān)性而分散我們的注意力，所以不妨先向DirectX文檔學(xué)學(xué)，將project空間的可視范圍定義為x-1,1, y-1,1, z0,1的一個(gè)立方體(上圖b)。這實(shí)際上可看作一個(gè)中間坐標(biāo)系，從這個(gè)坐標(biāo)系到上面

3、我們由視口得出的坐標(biāo)系，只需要對(duì)三個(gè)軸向做一些放縮和平移操作即可。另外，這個(gè)project坐標(biāo)系對(duì)clip操作來(lái)說(shuō)，也是比較方便的。2. 推導(dǎo)過(guò)程 先從project空間的x正半軸看看我們的變換目標(biāo)。（圖4）這個(gè)區(qū)域的上下邊界為y=±1, 而圖2中的上下邊界為y = ± z * tan(fov/2)，要實(shí)現(xiàn)圖2到圖4的變換，我們有y = y * cot(fov/2) / z。這下完了，這是一個(gè)非線性變換，怎么用矩陣計(jì)算來(lái)完成呢？還好我們有w這個(gè)分量。注意到我們?cè)谧鐾队白儞Q之前所進(jìn)行的兩次坐標(biāo)變換world變換和view變換，他們只是一系列旋轉(zhuǎn)平移和縮放變換的疊加。仔細(xì)觀察這

4、些變換矩陣，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它們其實(shí)不會(huì)影響向量的w分量。換句話說(shuō)，只要不是故意，一個(gè)w分量等于1的向量，再來(lái)到投影變換之前他的w分量仍舊等于1。好的，接下來(lái)我們讓w= w*z, 新的w就記錄下了view空間中的z值。同時(shí)在y分量上我們退而求其次，只要做到y(tǒng) = y * cot(fov/2)。那么，在做完線性變換之后，我們?cè)儆孟蛄康膟除以w，就得到了我們想要的最終的y值。x分量的變換可以如法炮制，只是fov要換一換。事實(shí)上，很多用以生成投影變換矩陣的函數(shù)都使用了aspect這個(gè)參數(shù)。這個(gè)參數(shù)給出了視平截體截面的縱橫比(這個(gè)比值應(yīng)與view port的縱橫比相等，否則變換結(jié)果會(huì)失真)。如果我們按照慣例，

5、定義aspect = size of X / size of Y。那么我們就可以繼續(xù)使用同一個(gè)fov而給出x分量的變換規(guī)則：x = x * cot(fov/2) / aspect。現(xiàn)在只剩下z分量了。我們所渴望的變換應(yīng)將z = Znear 變換到z = 0，將z = Zfar變換到z = 1。這個(gè)很簡(jiǎn)單，但是等等，x, y最后還要除以w，你z怎能例外。既然也要除，那么z = Zfar 就不能映射到z = 1了。唔，先映射到z = Zfar試試。于是，有z = Zfar*(z-Znear)/(Zfar Znear)。接下來(lái)，看看z/z的性質(zhì)。令f(z) = z/z = Zfar*(z-Znear

6、)/（z*(Zfar Znear)）。則f(z) = Zfar * Znear / ( z2 * (Zfar Znear ), 顯而易見(jiàn)f(z) > 0。所以除了z = 0是一個(gè)奇點(diǎn)，函數(shù)f(z)是一個(gè)單調(diào)增的函數(shù)。因此，當(dāng)ZnearzZfar時(shí)，f(Znear)f(z)f(Zfar),即0f(z)1。至此，我們可以給出投影變換的表達(dá)式了。x = x*cot(fov/2)/aspecty = y*cot(fov/2)z = z*Zfar / ( Zfar Znear ) Zfar*Znear / ( Zfar Znear )w = z以矩陣表示，則得到變換矩陣如下，cot(fov/2)/

7、aspect 0 0 0 0 cot(fov/2) 0 0 0 0 Zfar/(Zfar-Znear) 1 -(zf+zn)/(zf-zn) ,-10 0 -Zfar*Znear/(Zfar-Znear) 0。 -2 * (Zfar*Znear/(Zfar-Znear)做完線性變換之后，再進(jìn)行所謂的“歸一化”，即用w分量去除結(jié)果向量。x = x*cot(fov/2)/aspecty = y*cot(fov/2)z = z*Zfar / ( Zfar Znear ) Zfar*Znear / ( Zfar Znear )w = z對(duì)于求取出來(lái)的x,y,z,wglProject(object_xy

8、z,modematrix,promatrix,vp,win_xyz)可以用函數(shù)求出w，也可以依據(jù)z, Zfar , Znear來(lái)反響求取z，也就是w,“歸一化”：Xo=x/X;Yo=y/Y;Zo=z/w;現(xiàn)在我們考慮一下這個(gè)變換對(duì)全view空間的點(diǎn)的作用。首先是x和y分量，明了地，當(dāng)z>0時(shí)，一切都如我們所愿；當(dāng)z<0時(shí)，x和y的符號(hào)在變換前后發(fā)生了變化，從圖象上來(lái)說(shuō)，view空間中處于camera后面的圖形經(jīng)過(guò)變換之后上下顛倒，左右交換；當(dāng)z= 0 時(shí)，我們得到的結(jié)果是無(wú)窮大。這個(gè)結(jié)果在實(shí)際中是沒(méi)有意義的，以后我們得想辦法弄掉它。再來(lái)看z,仍舊拿我們上面定義的f(z)函數(shù)來(lái)看，我們已經(jīng)知道當(dāng)zZfar時(shí)，f(z)1;同時(shí)當(dāng)z+，f(z)Zfar/(Zfar-Znear);當(dāng)z+0時(shí)，f(z)-; z-0時(shí)，f(z)+; z時(shí)，f(z)Zfar/(Zfar-Znear).由此我們畫(huà)出f(z)的圖像。（圖5）由此圖可以看出當(dāng)z0時(shí)，如果我們?nèi)耘f使用f(z)進(jìn)行繪制會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。所以我們會(huì)想需要clip操作只要這個(gè)三角形有任意一個(gè)頂點(diǎn)經(jīng)過(guò)變換后z值落在Zfar/(Zfar-