1、精選優質文檔-傾情為你奉上探索研究 在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖11-2，在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c, 根據銳角三角函數中正弦函數的定義，有，又, 則 b c從而在直角三角形ABC中， C a B(圖11-2)思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？（由學生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖11-3，當ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據任意角三角函數的定義，有CD=,則， C同理可得， b a從而 A c B (圖11-3)正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦

2、的比相等，即理解定理（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數k使，；（2）等價于，從而知正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。例題分析例1在中，已知，cm，解三角形。解：根據三角形內角和定理，；根據正弦定理，；根據正弦定理，評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。例2在中，已知cm，cm，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。解：根據正弦定理，因為，所以，或 當時， ， 當時， ，補

3、充練習已知ABC中，求（答案：1：2：3）（2）正弦定理的應用范圍：已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。聯系已經學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發現因A、B均未知，所以較難求邊c。由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。 A如圖11-5，設，那么，則 C B 從而 (圖11-5)同理可證 于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即 思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？（由學生推出）從余弦

4、定理，又可得到以下推論：理解定理從而知余弦定理及其推論的基本作用為：已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？（由學生總結）若ABC中，C=，則，這時由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。例題分析例1在ABC中，已知，求b及A解：=cos=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos例2在ABC中，已知，解三角形解：由余弦定理的推論得：cos；cos；補充練習在ABC中，若，求角A（答案：A=

5、120）.課時小結（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的應用范圍：已知三邊求三角；已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。隨堂練習1（1）在ABC中，已知，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若，則符合題意的b的值有_個。（3）在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。（答案：（1）有兩解；（2）0；（3）2在ABC中，已知，判斷ABC的類型。分析：由余弦定理可知（注意：）解：，即，。隨堂練習2（1）在ABC中，已知，判斷ABC的類型。 （2）已知ABC滿足條件，判斷ABC的類型。 （答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角

6、三角形）2.在ABC中，面積為，求的值分析：可利用三角形面積定理以及正弦定理解：由得，則=3，即，從而.課堂練習（1）在ABC中，若，且此三角形的面積，求角C（2）在ABC中，其三邊分別為a、b、c，且三角形的面積，求角C（答案：（1）或；（2）.課時小結（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；（2）三角形各種類型的判定方法；（3）三角形面積定理的應用。.課后作業（1）在ABC中，已知，試判斷此三角形的解的情況。（2）設x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長，求實數x的取值范圍。（3）在ABC中，判斷ABC的形狀。（4）三角形的兩邊分別為3cm，5cm,它

7、們所夾的角的余弦為方程的根，求這個三角形的面積。例1、如圖，一艘海輪從A出發，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達海島B,然后從B出發,沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達到海島C.如果下次航行直接從A出發到達C,此船應該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile)解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根據余弦定理，AC= = 113.15根據正弦定理, = sinCAB = = 0.3255,所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0答:此船應該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15

8、n mile補充例2、某巡邏艇在A處發現北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？解：如圖，設該巡邏艇沿AB方向經過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos化簡得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,又因為sinBAC =BAC =38,或BAC =141（鈍角不合題意，舍去）

9、，38+=83答：巡邏艇應該沿北偏東83方向去追，經過1.4小時才追趕上該走私船.評注：在求解三角形中，我們可以根據正弦函數的定義得到兩個解，但作為有關現實生活的應用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解.課時小結解三角形的應用題時，通常會遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。例7、在ABC中，根據下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;

10、（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm解：（1）應用S=acsinB，得 S=14.823.5sin148.590.9(cm)(2)根據正弦定理， = c = S = bcsinA = bA = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5 S = 3.164.0(cm)(3)根據余弦定理的推論，得cosB = = 0.7697sinB = 0.6384應用S=acsinB，得S 41.438.70.6384511.4(cm)例3、在ABC中，求證：（1）（2）+=2（bcco

11、sA+cacosB+abcosC）證明：（1）根據正弦定理，可設 = = = k顯然 k0，所以 左邊= =右邊（2）根據余弦定理的推論， 右邊=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左邊變式練習1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面積S提示：解有關已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數。答案：a=6,S=9;a=12,S=18.課時小結利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉化為只含邊的式子或只含角的三角函數式，然后化簡并考察邊或角的關系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以

12、兩者混用。 數列的定義：按一定次序排列的一列數叫做數列.注意：數列的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數列；定義中并沒有規定數列中的數必須不同，因此，同一個數在數列中可以重復出現. 數列的項：數列中的每一個數都叫做這個數列的項. 各項依次叫做這個數列的第1項（或首項），第2項，第n 項，.例如，上述例子均是數列，其中中，“4”是這個數列的第1項（或首項），“9”是這個數列中的第6項.數列的一般形式：，或簡記為，其中是數列的第n項結合上述例子，幫助學生理解數列及項的定義. 中，這是一個數列，它的首項是“1”，“”是這個數列的第“3”項，等等下面

13、我們再來看這些數列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應關系？這一關系可否用一個公式表示？（引導學生進一步理解數列與項的定義，從而發現數列的通項公式）對于上面的數列，第一項與這一項的序號有這樣的對應關系：項 序號 1 2 3 4 5這個數的第一項與這一項的序號可用一個公式：來表示其對應關系即：只要依次用1，2，3代替公式中的n，就可以求出該數列相應的各項結合上述其他例子，練習找其對應關系 數列的通項公式：如果數列的第n項與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式.注意：并不是所有數列都能寫出其通項公式，如上述數列；一個數列的通項公式有時是不唯一的，如數列：1，0，

14、1，0，1，0，它的通項公式可以是，也可以是.數列通項公式的作用：求數列中任意一項；檢驗某數是否是該數列中的一項.數列的通項公式具有雙重身份，它表示了數列的第 項，又是這個數列中所有各項的一般表示通項公式反映了一個數列項與項數的函數關系，給了數列的通項公式，這個數列便確定了，代入項數就可求出數列的每一項5.數列與函數的關系數列可以看成以正整數集N*（或它的有限子集1，2，3，n）為定義域的函數，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值。反過來，對于函數y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4）有意義，那么我們可以得到一個數列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)，f(n)，6數列

15、的分類：1）根據數列項數的多少分：有窮數列：項數有限的數列.例如數列1，2，3，4，5，6。是有窮數列無窮數列：項數無限的數列.例如數列1，2，3，4，5，6是無窮數列2）根據數列項的大小分：遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列。遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列。常數數列：各項相等的數列。擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列補充練習：根據下面數列的前幾項的值，寫出數列的一個通項公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,； (2) , , , , , ； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3

16、, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ； 解：(1) 2n1； (2) ； (3) ； (4) 將數列變形為10, 21, 30, 41, 50, 61, 70, 81, , n；1、 通項公式法如果數列的第n項與序號之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式。如數列 的通項公式為 ；   的通項公式為 ； 的通項公式為 ；2、 圖象法啟發學生仿照函數圖象的畫法畫數列的圖形具體方法是以項數 為橫坐標，相應的項 為縱坐標，即以 為坐標在平面直角坐標系中做出點（以前面提到的數列 為例，做出一個數列的圖象），所得的數列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數，所

17、以這些點都在 軸的右側，而點的個數取決于數列的項數從圖象中可以直觀地看到數列的項隨項數由小到大變化而變化的趨勢3、 遞推公式法知識都來源于實踐，最后還要應用于生活用其來解決一些實際問題 觀察鋼管堆放示意圖，尋其規律，建立數學模型 模型一：自上而下： 第1層鋼管數為4；即：141+3 第2層鋼管數為5；即：252+3 第3層鋼管數為6；即：363+3 第4層鋼管數為7；即：474+3 第5層鋼管數為8；即：585+3 第6層鋼管數為9；即：696+3 第7層鋼管數為10；即：7107+3若用表示鋼管數，n表示層數，則可得出每一層的鋼管數為一數列，且n7）運用每一層的鋼筋數與其層數之間的對應規律建

18、立了數列模型，運用這一關系，會很快捷地求出每一層的鋼管數這會給我們的統計與計算帶來很多方便。讓同學們繼續看此圖片，是否還有其他規律可循？（啟發學生尋找規律）模型二：上下層之間的關系自上而下每一層的鋼管數都比上一層鋼管數多1。即；依此類推：（2n7）對于上述所求關系，若知其第1項，即可求出其他項，看來，這一關系也較為重要。遞推公式：如果已知數列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前n項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式遞推公式也是給出數列的一種方法。如下數字排列的一個數列：3，5，8，13，21，34，55，89遞推公式為：數列可看作特殊的函數，其表示

19、也應與函數的表示法有聯系，首先請學生回憶函數的表示法：列表法，圖象法，解析式法相對于列表法表示一個函數，數列有這樣的表示法：用 表示第一項，用 表示第一項，用 表示第 項，依次寫出成為4、列表法簡記為 范例講解例3 設數列滿足寫出這個數列的前五項。解：分析：題中已給出的第1項即，遞推公式：解：據題意可知：，補充例題例4已知， 寫出前5項，并猜想 法一： ，觀察可得 法二：由 即 補充練習1根據各個數列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式(1) 0, (2n1) (nN)；(2) 1, (nN)；(3) 3, 32 (nN). 解：(1) 0, 1, 4, 9, 16, (n1);

20、(2) 1, , , ;(3) 31+2, 71+2, 191+2, 551+2, 1631+2, 12·3;1等差數列：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差（常用字母“d”表示）。 公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；對于數列,若=d (與n無關的數或字母)，n2，nN，則此數列是等差數列，d 為公差。2等差數列的通項公式：【或】等差數列定義是由一數列相鄰兩項之間關系而得若一等差數列的首項是，公差是d，則據其定義可得：即：即：即：由此歸納等差數列的通項公式可得：已知一數列為等差數列

21、，則只要知其首項和公差d，便可求得其通項。由上述關系還可得：即：則：=即等差數列的第二通項公式 d=范例講解例1 求等差數列8，5，2的第20項 -401是不是等差數列-5，-9，-13的項？如果是，是第幾項？解：由 n=20，得由 得數列通項公式為：由題意可知，本題是要回答是否存在正整數n，使得成立解之得n=100，即-401是這個數列的第100項例3 已知數列的通項公式，其中、是常數，那么這個數列是否一定是等差數列？若是，首項與公差分別是什么？ 分析：由等差數列的定義，要判定是不是等差數列，只要看（n2）是不是一個與n無關的常數。解：當n2時, （取數列中的任意相鄰兩項與（n2）為常數是等

22、差數列，首項，公差為p。注：若p=0，則是公差為0的等差數列，即為常數列q，q，q，若p0, 則是關于n的一次式,從圖象上看,表示數列的各點均在一次函數y=px+q的圖象上,一次項的系數是公差,直線在y軸上的截距為q.數列為等差數列的充要條件是其通項=pn+q (p、q是常數)，稱其為第3通項公式。判斷數列是否是等差數列的方法是否滿足3個通項公式中的一個。補充練習1.（1）求等差數列3，7，11，的第4項與第10項.分析：根據所給數列的前3項求得首項和公差，寫出該數列的通項公式，從而求出所求項.解：根據題意可知：=3,d=73=4.該數列的通項公式為：=3+（n1）×4,即=4n1（

23、n1,nN*）=4×41=15, =4×101=39.評述：關鍵是求出通項公式.（2）求等差數列10，8，6，的第20項.解：根據題意可知：=10,d=810=2.該數列的通項公式為：=10+（n1）×（2）,即：=2n+12,=2×20+12=28.評述：要注意解題步驟的規范性與準確性.（3）100是不是等差數列2，9，16，的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.分析：要想判斷一數是否為某一數列的其中一項，則關鍵是要看是否存在一正整數n值，使得等于這一數.解：根據題意可得：=2,d=92=7. 此數列通項公式為：=2+（n1）×7=7n

24、5.令7n5=100,解得：n=15, 100是這個數列的第15項.（4）20是不是等差數列0，3，7，的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.解：由題意可知：=0,d=3 此數列的通項公式為：=n+,令n+=20,解得n= 因為n+=20沒有正整數解，所以20不是這個數列的項.3有幾種方法可以計算公差d d= d= d=問題：如果在與中間插入一個數A，使，A，成等差數列數列，那么A應滿足什么條件？由定義得A-=-A ，即：反之，若，則A-=-A由此可可得：成等差數列 補充例題例 在等差數列中，若+=9, =7, 求 , .分析：要求一個數列的某項，通常情況下是先求其通項公式，而要求通項公

25、式，必須知道這個數列中的至少一項和公差，或者知道這個數列的任意兩項（知道任意兩項就知道公差），本題中，只已知一項，和另一個雙項關系式，想到從這雙項關系式入手解： an 是等差數列 +=+ =9=9=97=2 d=72=5 =+(94)d=7+5*5=32   =2, =32已知數列是等差數列（1）是否成立？呢？為什么？（2）是否成立？據此你能得到什么結論？（3）是否成立？你又能得到什么結論？結論：（性質）在等差數列中，若m+n=p+q，則，即 m+n=p+q (m, n, p, q N ) 但通常 由 推不出m+n=p+q ，.課堂練習1.在等差數列中，已知，求首項與公差2. 在等差

26、數列中, 若 求1等差數列的前項和公式1：證明： +： 由此得： 從而我們可以驗證高斯十歲時計算上述問題的正確性 2 等差數列的前項和公式2： 用上述公式要求必須具備三個條件： 但 代入公式1即得： 此公式要求必須已知三個條件： （有時比較有用）由例3得與之間的關系：由的定義可知，當n=1時，=；當n2時，=-，即=.1.等差數列的前項和公式1： 2.等差數列的前項和公式2： 結論：一般地，如果一個數列的前n項和為，其中p、q、r為常數，且，那么這個數列一定是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是多少？由，得當時=2p對等差數列的前項和公式2：可化成式子：，當d0，是一個常數項為零的二次式對

27、等差數列前項和的最值問題有兩種方法:（1） 利用:當>0，d<0，前n項和有最大值可由0，且0，求得n的值當<0，d>0，前n項和有最小值可由0，且0，求得n的值（2） 利用：由利用二次函數配方法求得最值時n的值.課堂練習1一個等差數列前4項的和是24，前5項的和與前2項的和的差是27，求這個等差數列的通項公式。2差數列中, 15, 公差d3, 求數列的前n項和的最小值。.課時小結1前n項和為，其中p、q、r為常數，且，一定是等差數列，該數列的首項是公差是d=2p通項公式是2差數列前項和的最值問題有兩種方法:（1）當>0，d<0，前n項和有最大值可由0，且0

28、，求得n的值。當<0，d>0，前n項和有最小值可由0，且0，求得n的值。（2）由利用二次函數配方法求得最值時n的值1等比數列：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列.這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）1°“從第二項起”與“前一項”之比為常數(q) 成等比數列=q（,q0）2° 隱含：任一項“0”是數列成等比數列的必要非充分條件3° q= 1時，an為常數。2.等比數列的通項公式1: 由等比數列的定義，有：； 3.等比數列的通項公式2: 4既是等差又是等比數

29、列的數列：非零常數列探究：課本P56頁的探究活動等比數列與指數函數的關系等比數列與指數函數的關系：等比數列的通項公式,它的圖象是分布在曲線（q>0）上的一些孤立的點。當，q >1時，等比數列是遞增數列；當，等比數列是遞增數列；當，時，等比數列是遞減數列；當，q >1時，等比數列是遞減數列；當時，等比數列是擺動數列；當時，等比數列是常數列。補充練習2.（1） 一個等比數列的第9項是，公比是，求它的第1項（答案：=2916）（2）一個等比數列的第2項是10，第3項是20，求它的第1項與第4項（答案：=5, =q=40）1等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a,G，b成等比數

30、列，那么稱這個數G為a與b的等比中項. 即G=±（a,b同號）如果在a與b中間插入一個數G，使a,G，b成等比數列，則，反之，若G=ab,則，即a,G,b成等比數列。a,G,b成等比數列G=ab（a·b0） 例題 證明：設數列的首項是，公比為;的首項為，公比為，那么數列的第n項與第n+1項分別為：它是一個與n無關的常數，所以是一個以q1q2為公比的等比數列拓展探究：對于例題中的等比數列與，數列也一定是等比數列嗎？探究：設數列與的公比分別為，令，則，所以，數列也一定是等比數列。已知數列是等比數列，（1）是否成立？成立嗎？為什么？（2）是否成立？你據此能得到什么結論？ 是否成立

31、？你又能得到什么結論？結論：2等比數列的性質：若m+n=p+k，則在等比數列中，m+n=p+q，有什么關系呢？由定義得： ，則1、 等比數列的前n項和公式： 當時， 或 當q=1時，當已知, q, n 時用公式；當已知, q, 時，用公式.公式的推導方法一：一般地，設等比數列它的前n項和是由得 當時， 或 當q=1時，公式的推導方法二：有等比數列的定義，根據等比的性質，有即 （結論同上）圍繞基本概念，從等比數列的定義出發，運用等比定理，導出了公式公式的推導方法三： （結論同上）.講授新課1、等比數列前n項，前2n項，前3n項的和分別是Sn，S2n，S3n，求證：2、設a為常數，求數列a，2a2

32、，3a3，nan，的前n項和；（1）a=0時，Sn=0（2）a0時，若a=1，則Sn=1+2+3+n=若a1，Sn-aSn=a（1+a+an-1-nan），Sn=1、數列數列的通項公式 數列的前n項和 2、等差數列等差數列的概念定義如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。等差數列的判定方法1 定義法：對于數列，若(常數)，則數列是等差數列。 2等差中項：對于數列，若，則數列是等差數列。等差數列的通項公式如果等差數列的首項是，公差是，則等差數列的通項為。說明該公式整理后是關于n的一次函數。等差數列

33、的前n項和 1 2. 說明對于公式2整理后是關于n的沒有常數項的二次函數。等差中項如果，成等差數列，那么叫做與的等差中項。即：或說明：在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮等差數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項；事實上等差數列中某一項是與其等距離的前后兩項的等差中項。等差數列的性質1等差數列任意兩項間的關系：如果是等差數列的第項，是等差數列的第項，且，公差為，則有2 對于等差數列，若，則。也就是：，如圖所示：3若數列是等差數列，是其前n項的和，那么，成等差數列。如下圖所示：3、等比數列等比數列的概念定義如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列

34、就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示（）。等比中項如果在與之間插入一個數，使，成等比數列，那么叫做與的等比中項。也就是，如果是的等比中項，那么，即。等比數列的判定方法1 定義法：對于數列，若，則數列是等比數列。 2等比中項：對于數列，若，則數列是等比數列。等比數列的通項公式如果等比數列的首項是，公比是，則等比數列的通項為。等比數列的前n項和 當時， 等比數列的性質1等比數列任意兩項間的關系：如果是等比數列的第項，是等差數列的第項，且，公比為，則有3 對于等比數列，若，則也就是：。如圖所示：4若數列是等比數列，是其前n項的和，那么，成等比數列。如下圖所示：4、數列前n

35、項和（1）重要公式：；（2）等差數列中，（3）等比數列中，（4）裂項求和：；（）(第1課時)課題 §3.1不等式與不等關系【教學目標】1知識與技能：通過具體情景，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，理解不等式（組）的實際背景，掌握不等式的基本性質；2過程與方法：通過解決具體問題，學會依據具體問題的實際背景分析問題、解決問題的方法；3情態與價值：通過解決具體問題，體會數學在生活中的重要作用，培養嚴謹的思維習慣。【教學重點】用不等式（組）表示實際問題的不等關系，并用不等式（組）研究含有不等關系的問題。理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值。【教學難點】用不等式（組）正確

36、表示出不等關系。【教學過程】1.課題導入在現實世界和日常生活中，既有相等關系，又存在著大量的不等關系。如兩點之間線段最短，三角形兩邊之和大于第三邊，等等。人們還經常用長與短、高與矮、輕與重、胖與瘦、大與小、不超過或不少于等來描述某種客觀事物在數量上存在的不等關系。在數學中，我們用不等式來表示不等關系。下面我們首先來看如何利用不等式來表示不等關系。2.講授新課1）用不等式表示不等關系引例1：限速40km/h的路標，指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40km/h，寫成不等式就是：引例2：某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%，寫成不

37、等式組就是用不等式組來表示問題1：設點A與平面的距離為d,B為平面上的任意一點，則。問題2：某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本。據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2000本。若把提價后雜志的定價設為x 元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？解：設雜志社的定價為x 元，則銷售的總收入為 萬元，那么不等關系“銷售的總收入仍不低于20萬元”可以表示為不等式問題3：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種。按照生產的要求，600mm的數量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足所有上述不等關系的不等式呢？解：假設截

38、得500 mm的鋼管 x根，截得600mm的鋼管y根。根據題意，應有如下的不等關系：（1）截得兩種鋼管的總長度不超過4000mm ;（2）截得600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管數量的3倍；（3）截得兩種鋼管的數量都不能為負。要同時滿足上述的三個不等關系，可以用下面的不等式組來表示：3.隨堂練習1、試舉幾個現實生活中與不等式有關的例子。2、課本P74的練習1、24.課時小結用不等式（組）表示實際問題的不等關系，并用不等式（組）研究含有不等關系的問題。5.作業課本P75習題3.1A組第4、5題(第2課時)課題: §3.1不等式與不等關系【教學目標】1知識與技能：掌握不等式的基本性

39、質，會用不等式的性質證明簡單的不等式；2過程與方法：通過解決具體問題，學會依據具體問題的實際背景分析問題、解決問題的方法；3情態與價值：通過講練結合，培養學生轉化的數學思想和邏輯推理能力.【教學重點】掌握不等式的性質和利用不等式的性質證明簡單的不等式；【教學難點】利用不等式的性質證明簡單的不等式。【教學過程】1.課題導入在初中，我們已經學習過不等式的一些基本性質。請同學們回憶初中不等式的的基本性質。（1）不等式的兩邊同時加上或減去同一個數，不等號的方向不改變；即若（2）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等號的方向不改變；即若（3）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等號的方向改變。即

40、若2.講授新課1、不等式的基本性質：師：同學們能證明以上的不等式的基本性質嗎？證明：1）(ac)(bc)ab0，acbc2）， 實際上，我們還有，（證明：ab，bc，ab0，bc0根據兩個正數的和仍是正數，得(ab)(bc)0，即ac0，ac于是，我們就得到了不等式的基本性質：（1）（2）（3）（4）2、探索研究思考，利用上述不等式的性質，證明不等式的下列性質：（1）；（2）；（3）。證明：1）ab，acbc cd，bcbd 由、得 acbd2）3）反證法）假設，則：若這都與矛盾， 范例講解：例1、已知求證 。證明：以為，所以ab>0,。于是 ，即由c<0 ，得3.隨堂練習11、課

41、本P74的練習32、在以下各題的橫線處適當的不等號：(1)（）2 2；（2）（）2 （1）2；（3） ；(4)當ab0時，loga logb答案：(1) （2） （3） （4） 補充例題例2、比較(a3)（a）與（a2）（a4）的大小。分析：此題屬于兩代數式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項之后，判斷差值正負(注意是指差的符號，至于差的值究竟是多少，在這里無關緊要)。根據實數運算的符號法則來得出兩個代數式的大小。比較兩個實數大小的問題轉化為實數運算符號問題。解：由題意可知：（a3）（a）（a2）（a4）（a22a1）（a22a）0（a3）（a）（a2）（a4）

42、隨堂練習24、 比較大小：（1）（x）（x）與（x）2（2）4.課時小結本節課學習了不等式的性質，并用不等式的性質證明了一些簡單的不等式，還研究了如何比較兩個實數（代數式）的大小作差法，其具體解題步驟可歸納為：第一步：作差并化簡，其目標應是n個因式之積或完全平方式或常數的形式；第二步：判斷差值與零的大小關系，必要時須進行討論；第三步：得出結論5. 作業課本P75習題3.1A組第2、3題；B組第1題(第3課時)課題: §3.2一元二次不等式及其解法【教學目標】1知識與技能：理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數的關系，掌握圖象法解一元二次不等式的方法；培養數形結合的能力，培養分類討

43、論的思想方法，培養抽象概括能力和邏輯思維能力；2過程與方法：經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程和通過函數圖象探究一元二次不等式與相應函數、方程的聯系，獲得一元二次不等式的解法；3情態與價值：激發學習數學的熱情，培養勇于探索的精神，勇于創新精神，同時體會事物之間普遍聯系的辯證思想。【教學重點】從實際情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。【教學難點】理解二次函數、一元二次方程與一元二次不等式解集的關系。【教學過程】1.課題導入從實際情境中抽象出一元二次不等式模型：教材P76互聯網的收費問題教師引導學生分析問題、解決問題，最后得到一元二次不等式模型：(1)2.講授新課1）

44、一元二次不等式的定義象這樣，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式2）探究一元二次不等式的解集怎樣求不等式（1）的解集呢？探究：（1）二次方程的根與二次函數的零點的關系容易知道：二次方程的有兩個實數根：二次函數有兩個零點：于是，我們得到：二次方程的根就是二次函數的零點。（2）觀察圖象，獲得解集畫出二次函數的圖象，如圖，觀察函數圖象，可知：當 x<0，或x>5時，函數圖象位于x軸上方，此時，y>0,即；當0<x<5時，函數圖象位于x軸下方，此時，y<0,即；所以，不等式的解集是，從而解決了本節開始時提出的問題。3）探究一般的一元

45、二次不等式的解法任意的一元二次不等式，總可以化為以下兩種形式： 一般地，怎樣確定一元二次不等式>0與<0的解集呢？組織討論：從上面的例子出發，綜合學生的意見，可以歸納出確定一元二次不等式的解集，關鍵要考慮以下兩點：(1)拋物線與x軸的相關位置的情況，也就是一元二次方程=0的根的情況(2)拋物線的開口方向，也就是a的符號總結討論結果：（l）拋物線 （a> 0）與 x軸的相關位置，分為三種情況，這可以由一元二次方程 =0的判別式三種取值情況(> 0，=0，<0）來確定.因此，要分二種情況討論（2）a<0可以轉化為a>0分>O，=0

46、，<0三種情況，得到一元二次不等式>0與<0的解集一元二次不等式的解集：設相應的一元二次方程的兩根為，則不等式的解的各種情況如下表：(讓學生獨立完成課本第77頁的表格) 二次函數（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根 無實根 R 范例講解例2 (課本第78頁)求不等式的解集.解：因為.所以，原不等式的解集是例3 (課本第78頁)解不等式.解：整理，得.因為無實數解，所以不等式的解集是.從而，原不等式的解集是.3.隨堂練習課本第80的練習1（1）、（3）、（5）、（7）4.課時小結解一元二次不等式的步驟： 將二次項系數化為“+”：A=>0(或<0)(a>

47、;0) 計算判別式，分析不等式的解的情況：.>0時，求根<，.=0時，求根，.<0時，方程無解， 寫出解集.5.評價設計課本第80頁習題3.2A組第1題(第4課時)課題: §3.2一元二次不等式及其解法【教學目標】1知識與技能：鞏固一元二次方程、一元二次不等式與二次函數的關系；進一步熟練解一元二次不等式的解法；2過程與方法：培養數形結合的能力，一題多解的能力，培養抽象概括能力和邏輯思維能力；3情態與價值：激發學習數學的熱情，培養勇于探索的精神，勇于創新精神，同時體會從不同側面觀察同一事物思想【教學重點】熟練掌握一元二次不等式的解法【教學難點】理解一元二次不等式與一元

48、二次方程、二次函數的關系【教學過程】1.課題導入1一元二次方程、一元二次不等式與二次函數的關系2一元二次不等式的解法步驟課本第86頁的表格2.講授新課范例講解例1某種牌號的汽車在水泥路面上的剎車距離s m和汽車的速度 x km/h有如下的關系：在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離大于39.5m，那么這輛汽車剎車前的速度是多少？（精確到0.01km/h）解：設這輛汽車剎車前的速度至少為x km/h，根據題意，我們得到移項整理得：顯然 ，方程有兩個實數根，即。所以不等式的解集為在這個實際問題中，x>0，所以這輛汽車剎車前的車速至少為79.94km/h.例4、一個汽車制造廠引進了一條摩托車整

49、車裝配流水線，這條流水線生產的摩托車數量x（輛）與創造的價值y（元）之間有如下的關系：若這家工廠希望在一個星期內利用這條流水線創收6000元以上，那么它在一個星期內大約應該生產多少輛摩托車？解：設在一個星期內大約應該生產x輛摩托車，根據題意，我們得到移項整理，得因為，所以方程有兩個實數根由二次函數的圖象，得不等式的解為：50<x<60因為x只能取正整數，所以，當這條摩托車整車裝配流水線在一周內生產的摩托車數量在5159輛之間時，這家工廠能夠獲得6000元以上的收益。3隨堂練習1課本第80頁練習2補充例題（1） 應用一（一元二次不等式與一元二次方程的關系） 例：設不等式的解集為，求?（2） 應用二（一元二次不等式與二次函數的關系）例：設，且，求的取值范圍.改：設對于一切都成立，求的范圍.改：若方程有兩