1、鎮江市 2016 屆高三年級第一次模擬考試數學本試卷滿分160 分，考試時間為120 分鐘一、填空題：本大題共14 小題，每小題5 分，共 70 分不需寫出解答過程1.若全集為U R， A x| x2 x>0 ，則 CU A_ 【答案】 0 ， 1 【命題立意】本題旨在考查集合的補集運算，考查概念的理解和運算能力，難度較小【解析】由題可得 Ax x2x 0x x 1或 x0 ，CUA 0,1 1 i2. i 為虛數單位，計算2 i _【答案】 31 i 55【命題立意】本題旨在考查復數的除法運算與概念，考查概念的理解能力，難度較小【解析】 1-i1-i2+i3-i =3- i =2-i2

2、-i2+i5553. 箱子中有形狀、大小都相同的3 只紅球和 2 只白球，一次摸出 2 只球，則摸到的2 球顏色不同的概率為 _【答案】 35【命題立意】本題旨在考查古典概型及其應用，考查概念的理解能力，數據的運算能力，難度中等 .【解析】對紅球和白球進行編號：紅1；紅 2；紅 3；白 1；白 2，則摸到的 2 球的可能性有10 種：紅 1，紅2；紅 1，紅 3；紅 1，白 1；紅 1，白 2；紅 2，紅 3；紅 2，白 1；紅 2，白2；紅 3，白 1；紅 3，白 2；白 1，白 2；摸到的2 球顏色不同的有6 種：紅 1，白 1；紅 1，白 2；紅 2，白 1；紅 2，白 2；紅 3，白

3、1；紅 3，白 2；故摸到的23球顏色不同的概率為5x y2，4.已知實數，y滿足x y8，則z2xy的最小值是_xx 1，【答案】 1【命題立意】本題旨在考查線性規劃最值問題，考查數形結合思維，難度中等x y2，【解析】作出不等式組xy8， ，其是由點A 1,7 , B 1, 1 , C 5,3 圍成的三角形區域x 1，（包含邊界），對于目標函數z 2xy，轉化為直線y2xz ，過點 B 1,1 時， z 最小，即 z 2 1 1 15.閱讀如圖所示的程序框，若輸入的n 是 30，則輸出的變量S 的值是 _(第 5題圖)【答案】 240【命題立意】本題旨在考查算法的當型流程圖及其應用考查運算

4、和推理能力，難度較小【解析】根據算法的流程圖， 當 n30 ，n2 ，S30 ，n28 ；當 n28 ，n2 ，S58 ，n26 ； ，當 n2 ，2621530 2240，n 0 輸出 S240 S302826.已知向量 ( 2， 1) ，(1 ，0)，則 |2| _aba b【答案】13【命題立意】本題旨在考查平面向量的坐標運算與數量積，考查運算能力，難度較小【解析】 2ab3,2 ， 2a b3222137. 已知函數f() 是定義在 R 上的奇函數，當x>0 時，f(x) 1 log 2 ，則不等式f(x)<0 的xx解集是 _【答案】 ( 2，0) (2 ， ) 【命題立

5、意】 本題旨在考查函數的基本性質，不等式的運用，考查數形結合思維，難度中等【解析】當x<0 時， fxfxlog 2x1, f ( x)<0,即 log 2 x1 0，解得2 x 0；當 x>0時， f()1log2x，f(x)<0,即1 log2 x0，解得 x2 ，綜上所述，x 不等式 f ( x)<0 的解集是 ( 2， 0)(2 ， ) 8. 設 b， c 表示兩條直線， ， 表示兩個平面，現給出下列命題：若 b? ， c ，則 b c；若 b? a， bc，則 ca；若 c ， ，則 c ；若 c ， c ，則 .其中正確的命題是_ ( 寫山所有正確命題

6、的序號)【答案】【命題立意】 本題旨在考查空間線面關系的判定與性質定理，考查推理運算能力，難度中等【解析】 b 和 c 可能異面，故錯；c 可能 c? ，故錯；c 有可能 c ， c? ，故錯；根據面面垂直的判定 ，故正確9.以拋物線y24x 的焦點為焦點，以直線y± x 為漸近線的雙曲線標準方程為_x2y2【答案】 1 1 122【命題立意】本題旨在考查雙曲線、拋物線的幾何性質，考查概念的理解和運算能力，難度較小【解析】由題意設雙曲線的標準方程為x2y21， y2 4x 的焦點為 1,0 ，則雙曲線的焦a2b2點為 1,0 ；y± x 為雙曲線的漸近線，則b1，又因 a2

7、b2c2 ，所以 a 2 1 , b21，x2y2a22故雙曲線標準方程為1 112210. 一個圓錐的側面積等于底面面積的2倍，若圓錐底面半徑為3 cm ，則圓錐的體積是_cm3.【答案】 3 【命題立意】本題旨在考查圓錐的幾何性質，考查概念的理解和運算能力，難度較小【解析】設圓錐的母線長為R ，高為 h 。圓錐的側面積等于S側1 23R ，圓錐底22面面積為 S底33 ，又因為圓錐的側面積等于底面面積的 2 倍，故1 2， R=23 ， h= R22S側3R = 633，圓錐的體積是21h13 3S底33311. 函數 y asin( ax )( a>0， 0) 圖象上的一個最高點和

8、其相鄰最低點的距離的最小值為 _【答案】 2 【命題立意】 本題旨在考查三角函數的幾何性質，基本不等式， 考查概念的理解和運算能力，難度較小【解析】取函數yasin( ax )( a>0， 0)的最大值為 a ，周期為 T2，所以同一周a22期內相鄰的最高點與最低點的距離為：4a224a22（當且僅當aaa 時，等號成立） ，故答案為 2 2nnSnn 1，則a312. S是等差數列 a 的前 n 項和，若4n _2n 25Sa3【答案】 5【命題立意】本題旨在考查等差數列的通項公式及前n 項和，考查學生的運算能力，難度中等na1ana1ann 12a12Sn n 12，當 n1 時，【

9、解析】由 S2n 4n 2可得，2na1a2na1a2n2n 1a a23，12a2 2a1, d a2 a1a1 ， a3a12d 3a13 a5a14d5a15x2 x，x>0，13. 函數 f ( x) 11，若關于 x 的方程 f ( x) kx k 至少有兩個不相等的 xx 0，22實數根，則實數k 的取值范圍為 _1【答案】 ， 1) (1 ，) 3【命題立意】 本題旨在考查分段函數，函數與方程考查概念的理解和運算能力，難度中等 .【解析】作函數圖象可得，當 y kxk 過點1,1時，直線的斜率最小即 k1，當223直 線 y kxk與 y x2x x0 相 切 時 有 一

10、個 交 點 ， ky'1 ， 故 函 數 f ( x) x2 x，x>0，111與 直線 ykx k 有兩個不同的交點時，k的取值范圍為 ， x ，x 0，3221) (1 ， ) ，即關于 x 的方程 f ( x) kx k 至少有兩個不相等的實數根，則實數 k 的取值1范圍為 3，1) (1， ) 14.由 sin 36 ° cos 54 °，可求得cos 2 016 °的值為 _【答案】514【命題立意】 本題旨在考查三角函數值， 誘導公式 考查概念的理解和運算能力，難度中等 .【 解 析 】 由 sin36 ° cos0200005

11、4 ° 得 s i n 3 6s i n 1 8 c o s 1 8c o s 即3 6 1 84sin 2 1802sin18 010 ，解得 sin1802221651 ，244cos 20160cos 536001440cos 1440cos36 02sin 2 180151，4二、 解題題：本大題共6 小題，共計90 分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15. ( 本小題滿分 14 分 )如圖：四棱錐PABCD中， PDPC，底面 ABCD是直角梯形，ABBC， ABCD， CD2AB，點 M是 CD的中點(1) 求證： AM平面 PBC；(2) 求證： CDPA.(第

12、15題圖)【答案】（ 1）略；（ 2）略【命題立意】本題旨在考查空間線面平行的判定、線線垂直的判定；考查空間想象能力和識圖能力，規范化書寫表達能力，難度較小.【解析】證明：(1)在直角梯形ABCD中， AB CD，CD 2AB，點 M是 CD的中點，由 ABCM，且 AB CM，所以四邊形ABCM是平行四邊形，且是矩形(3 分 )所以 AMBC，（ 4分）又因為 BC? 平面 PBC，（ 5分） ? 故 AM平面 PBC，AM是平面 PBC外一條直線，（ 6分）(2) 連接 PM，因為 PD PC，點 M是 CD的中點，所以 CDPM， (8 分 )又因為四邊形ABCM是矩形， CDAM， (

13、9 分 )CD AM， CD PM，PM? 平面 PAM，AM? 平面 PAM，（ 10分）? CD平面 PAM.(12 分 )PMMA M，（ 11分）又因為 AP? 平面 PAM， (13 分 )所以 CDPA.(14 分 )16. ( 本小題滿分 14 分 )在 ABC中，角 A，B，C所對應的邊分別是a，b，c，向量 m( a c，b c) ， n ( b c，a) ，且 mn.(1) 求 B； 3 39(2) 若 b 13， cos A 6 26 ，求 a.【答案】（ 1） B 3 ；（ 2）1【命題立意】本題旨在考查向量的平行的運算，余弦定理，同角三角函數的基本關系，三角變換，正弦

14、定理；考查學生的字母符號處理能力、運算能力能力、書寫表達. 能力，難度較小【解析】(1)因為 mn，所以 a2c2 b2 ac，(2 分 )a2c2 b2ac1因為 cosB2ac 2ac2， (4 分 )B (0 ， )(5 分 )故B3.(6分 ) 5(2) 因為 A6 6，(7 分)6339513cos A626 ，所以 sinA6 26，(9 分)所以sinA 39，(11分)sin A6626在 ABC中，由正弦定理可得：abB，(13 分)sin A sin解得 a 1.(14分 )17. ( 本小題滿分 14 分 )如圖，某工業園區是半徑為10km的圓形區域，離園區中心O點 5k

15、m處有一中轉站P，現準備在園區內修建一條筆直公路AB經過中轉站，公路AB把園區分成兩個區域(1) 設中心 O對公路 AB的視角為 ，求 的最小值，并求較小區域面積的最小值；(2) 為方便交通，準備過中轉站 P 在園區內再修建一條與 AB 垂直的筆直公路 CD，求兩條公路長度和的最小值(第17題圖)2，較小區域面積的最小值是 50 2 3 2【答案】（ 1） 的最小值為km. ；（ 2）20 10 3332km【命題立意】本題旨在考查導數在函數中的應用，考查學生的推理分析能力，難度中等.【解析】 (1)如圖 1，作 OHAB，設垂足為H，記 OH d， 2AOH，d因為 cos AOH 10，

16、(1 分)要使 有最小值，只需要d 有最大值，結合圖像可得，d OP 5km， (3 分 )當且僅當ABOP時， dmin 5km.此時 min 2AOH233 23 .(4 分)設 AB把園區分成兩個區域，其中較小區域面積記為S，根據題意可得： S f( ) S 扇形 SAOB 50( sin ) ， (6 分 ) f ( ) 50(1 cos ) 0恒成立， f( ) 為增函數， (7 分 )所以 Smin f2 50232分 )3km.(832232分 )答：視角的最小值為，較小區域面積的最小值是50 2km.(9332(第17題圖 1)( 2)如圖 2，分別過O分別作 OHAB， OH

17、1 CD垂足分別是H，H1，記 OHd， OH1 d2，由 ( 1) 可知 d1 0， 522222所以 d1 d2 OP 25，且 d225 d1( 10 分)22因為 AB 2 100d ， CD 2100 d ，12222(22分 )所以 AB CD 2( 100 d1100 d2) 100 d175 d1 ) ，( 11記 L( d ) AB CD2(22) ，100d 75d11121752（ 10022） ，可得 L ( d1) 4d1）（ 75 d1(12分)由 d12 0， 25，可知 d12 0，或 d12 25 時， L2( d1 ) 的最小值是 100( 743) ，從而

18、 AB CD的最小值是2010 3 km. ( 13 分 )答：兩條公路長度和的最小值是20 103 km. ( 14 分 )(第17題圖 2)18. ( 本小題滿分16 分)x2y23已知在平面直角坐標系xOy 中，橢圓 a2 b2 1( a>b>0) 的離心率為2，左頂點為 A( 3，0) ，圓心在原點的圓O與橢圓的內接三角形AEF 的三條邊都相切( 1)求橢圓方程；( 2)求圓 O方程；( 3) B 為橢圓的上頂點，過B 作圓 O的兩條切線，分別交橢圓于M， N兩點，試判斷并證明直線 MN與圓 O的位置關系(第18題圖)x2y222【答案】（ 1） 9 9 1；（ 2）x y

19、 1；（ 3）直線 MN與圓 O的位置關系是相切4【命題立意】本題旨在考查橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質；圓的方程，直線與圓的位置關系；考查運算能力，難度中等.c333【解析】 (1)由題意可知 a 2 ， a 3，得： c2，(2 分)22229因為 a b c ，所以 b ， (3 分 )x2y2故橢圓的標準方程是：9 9 1.(4分 )4(2) 設直線 AE的方程： y k(x 3) ，點 E(x 1， y1) ，x2y2 1，99可得 (4k2 1)x 2 24k 2x 36k2 9 0.(5分 )由4yk（ x 3），24k 23 12k 26k因為 3 x1 4k 2 1，得 x1

20、 4k 2 1 ，代入直線y k(x 3) ，得 y14k2 1，3 12k 26k所以 E 4k2 1 ， 4k2 1 ， (7 分 )3 12k2 6k同理可得 F4k2 1 ， 4k2 1 ， (9 分 )根據條件可知圓心O到直線 AE 的距離等于圓心O到直線 EF 的距離|3k|3 12k 221可得k2 1 | 4k2 1| r ，解之得 k 8， (10分 )222 1.(11分 )從而 r 1，所以圓O的方程為： xy(3) 設直線 BM的方程為 ykx± 3，因為直線 BM與圓 O相切，25所以 d r ，解得 k±2 ，(14 分)553當 k 2 ， l

21、 BM： y 2 x2，2 2x y991由425x 0.(11分)，解得 x5 3 y 2 x2所以 M(5， 1) ， (12 分 )同理可得N(5， 1) (13 分 )可得直線MN方程是： y 1， (15 分 )直線 MN與圓 O的位置關系是相切(16 分)【方法技巧】(1) 解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規思路是先把直線方程與橢圓方程聯立，消元、化簡，然后應用根與系數的關系建立方程，解決相關問題.19. ( 本小題滿分 16 分 )已知數列 an) 的各項都為自然數，前n 項和為Sn，且存在整數 ，使得對任意正整數n 都有Sn ( 1 ) an 恒成立( 1)求 值，使得

22、數列 an ) 為等差數列，并求數列 an) 的通項公式；j( 2)若數列 an 為等比數列，此時存在正整數k，當1k<j時，有 ai 2 016i k，求k.【答案】（ 1） 0 時， a n 0. ；（2） 6【命題立意】本題旨在考查等差數列、等比數列的性質、通項、求和、簡單遞推；考查考查分析探究能力，難度較大.【解析】(1) (法一 ) ：因為Sn (1 )a n ，所以Sn 1 (1 )a n 1 ，得： an1 (1 )a n，(2 分 )當 0 時， an 0，數列 a n 是等差數列(4分 )1當 0時， a1 (1 )a 1 ， a11，且an 1 an an，1要使數列

23、a n 是等差數列，則式右邊 an 為常數，即an 1 an 為常數，式左邊an1 an 0， an 0，又因為a1 1，矛盾！ (6綜上可得： 0 時，數列 a n 為等差數列，且an 0.(7分 )分 )( 法二 ) ：若數列 a n 是等差數列，必有2a2 a1 a3，當 0 時， a1 a2 a3 0，滿足 2a2 a1a3， (1 分 )此時 Sn an，從而 Sn 1 an 1， (3 分 )故 an0， (4 分)112當 0時， a1 1， a2 1 ， a3 1 ，(5 分)21311211由 2a a a，得 2 1，該方程無解， (6 分 )綜上可得： 0 時，數列 a

24、為等差數列，其中 a 0.(7分 )nn(2) 當(1) 可得：當 0 時，不是等比數列， (8 分)當 1 時，由得 S 1，則 a S 1，n11an Sn Sn 10(n 2) ，不是等比數列(9 分)當 0，且 1時，得 a1 1， a n 為公比是 q 1 1等比數列， (10分 )n1an又對任意n1 N，n， a N，則 q 1故僅有 1，q 2 時，滿足題意，又由1nn 1(1) 得 a 1，故 a 2.(11 分 )jk 1j k 1i2 （ 21）因為 a2 12 016 ，i k所以 2k 1(2 j k 1 1) 2 016 253 3237， (13 分)j k12，

25、 2j k 1 1 為大于 1的奇數， 2k 1 25， k 6， (15 分 )j則 2j 5 13237， 2j 5 64， j 11，故僅存在 k6 時， j 11， ai 2 016.(16分 )i k20. ( 本小題滿分 16 分 )已知函數f ( x) ax2 ( 2a 1) x 2a 1 ex .( 1)求函數 f ( x) 的單調區間；2a11( 2)e 恒成立，求正數 b 的范圍設 x>0， 2a 3， m 1 ， f ( x) ba【答案】（ 1）當 a 0時，函數 f(x)的增區間是 ( ， 0) ，減區間是 (0 ， ) ；當 a<0 時，函數 f(x)的

26、增區間是1， 0，減區間是 (0 ， ) ， 1aa ；當 a>0 時，函數11f(x)的增區間是 ( ， 0) a，減區間是 0，a ；（ 2）當 2<m4時， 0<b2；當 m>41時， 0<b mm【命題立意】本題旨在考查利用導數求函數的單調區間，考查分類討論思想，轉化思想；難度中等 .【解析】(1)f (x) (ax 2 x) ex x(ax 1) ex.(1分 )若 a0，則 f (x) xex ，令 f (x)>0 ，則 x<0；令 f (x)<0 ，則x>0；11若 a<0，由 f (x)>0 ，得 a<x&

27、lt;0 ；由 f (x)<0 ，得 a>x 或 0<x；11若 a>0，由 f (x)<0 ，得 0<x< ；由 f (x)>0 ，得x>或 x<0；aa綜上可得：當 a0 時，函數 f(x)的增區間是 ( ， 0) ，減區間是 (0 ， ) ； (3 分 )11當 a<0 時，函數f(x)， 0，減區間是 (0 ， ) ，； (5分 )的增區間是 aa當 a>0 時，函數 f(x)的增區間是 ( ， 0)1，減區間是0， 1aa (7 分 )1(2) 因為 2a3 ， m 1 ，由 (1)x (0 ， ) 上函數 f(

28、x) 的最小值是 fa .1因為 f(x)b2a 1ea恒成立，112a 1所以 f a bea恒成立， (8 分 )11所以 ea(2a 1) b2a 1ea恒成立，即2a1b2a 1 恒成立 (9 分 )tln t由 2a3 ， m1 ，令 2a 1t 2 ， m，則 t b，所以 ln b t g(t) ， (10 分 )由 g(t)1 ln t，可知函數 g(t)在 (0 ，e) 上遞增； ( e， ) 上遞減， 且 g(2) g(4) (11t2分 )當 2<m4時， g(t)min g(2) ln 2，從而 lnb ln 2，解得 0<b2； (13分 )22ln ml

29、n m1當 m>4時， g(t)min g(m) lnb，從而，解得 0<bm ， (15 分 )mmm1故：當 2<m4時， 0<b2；當 m>4時， 0<b m分 )m(16鎮江市 2016 屆高三年級第一次模擬考試數學附加題每小題10 分，共 40 分考試用時30 分鐘21.【選做題】在A， B， C，D 四小題中只能選做兩題，每小題10 分，共計20 分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A.選修 4 1：幾何證明選講在直徑是 AB的半圓上有兩點M，N，設 AN與 BM的交點是 P.2求證： AP2 ANBP2 BMAB.(第 21A題圖 )【答

30、案】略【命題立意】本題旨在考查圓的幾何性質，圓周角的關系考查運算求解能力，難度較小【解析】證明：作PE AB于 E，因為 AB為直徑，所以 ANB AMB 90°(2 分 )所以 P， E， B，N四點共圓， P， E， A， M四點共圓 (6 分 )AE ABAP AN（1）22分 )BE2AB BP2(8BM （2）(1) (2) 得 AB( AE BE) AP2 AN BP2 BM(9 分 )2分 )即 AP2 AN BP2 BM AB(10(第21題 A圖)B. 選修 4 2：矩陣與變換31求矩陣的特征值及對應的特征向量1311【答案】屬于 1 2 的一個特征向量為，屬于 1

31、 4 的一個特征向量為 11【命題立意】本題旨在考查矩陣特征值與特征向量的運算考查運算求解能力，難度較小f ( ) | 3 12 1 26 8(3 分 )【解析】特征多項式| ( 3) 1 3由 f ( ) 0，解得 1 2， 2 4(6 分 ) x y 0，將 12 代入特征方程組，得 x y0? x y 0，可取1 2 的一個特征向量 (8 分 )為屬于特征值 11x y 0，同理，當 4 時，由?x y0，2 x y01 2 4 的一個特征向量所以可取為屬于特征值121 1 2， 24；綜上所述，矩陣2有兩個特征值1屬于 1 211的一個特征向量為，屬于 1 4 的一個特征向量為，(10

32、 分) 11C. 選修 44：坐標系與參數方程x2cos ，已知直線 l 的極坐標方程為 sin 3 3，曲線 C的參數方程為y2sin ( 為參數 ) ，設 P 點是曲線 C 上的任意一點，求 P 到直線 l 的距離的最大值【答案】 5【命題立意】本題旨在考查參數方程與普通方程的轉化，點到直線的距離考查運算能力和轉化能力，難度較小【解析】由 sin 3 3，可得： 1sin 3cos 322所以 y3x 6 即：3x y6 0(3 分 )x 2cos 2 y2 4，圓的半徑為r 2(6 分 )由得 xy2sin 6所以圓心到直線l 的距離 d 23(8 分 )所以， P 到直線 l 的距離的

33、最大值為d r 5.(10分 )D. 選修 4 5：不等式選講4設 x，y 均為正數，且x>y，求證： x x2 2xy y2 y 3.【答案】略【命題立意】本題旨在考查基本不等式及其應用考查運算求解能力，難度較小44【解析】證明：x yx2 2xy y2 ( x y) （ x y） 2(3 分 )x y x y4 2 2 （ x y） 2， (5 分 )因為 x>y， x y>0，x yx y4所以 2 2 （ x y） 23x yx y4 32 32 3 （ x y） 2 3，當且僅當 x y x y4）2取等號，此時x y 2.(10 分 )22（ x y【必做題】第22 題、第 23 題，每題10 分，共計 20 分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步