1、實用標準文案數字信號處理輔導一、離散時間信號和系統的時域分析（一）離散時間信號（ 1）基本概念信號：信號傳遞信息的函數也是獨立變量的函數，這個變量可以是時間、空間位置等。連續信號：在某個時間區間，除有限間斷點外所有瞬時均有確定值。模擬信號：是連續信號的特例。時間和幅度均連續。離散信號：時間上不連續，幅度連續。常見離散信號序列。數字信號：幅度量化，時間和幅度均不連續。（ 2）基本序列 （課本第 7 10 頁）1）單位脈沖序列(n)1,n02）單位階躍序列u(n)1,n00,n00,n03）矩形序列RN (n)1,0nN 14 ）實指數序列n ()0,n0,nNa u n5）正弦序列 x( n)A

2、sin( 0n)6）復指數序列x(n)ej n e n（ 3）周期序列1）定義：對于序列 x( n) ，若存在正整數 N 使 x(n) x(n N ),n則稱 x(n) 為周期序列，記為 x(n) ， N 為其周期。注意正弦周期序列周期性的判定（課本第10 頁）2）周期序列的表示方法：a. 主值區間表示法b. 模 N表示法3）周期延拓設 x( n) 為 N 點非周期序列，以周期序列 L 對作 x( n) 無限次移位相加，即可得到周期序列 x( n) ，即x(n)x(n iL )當時， ()() ()iN 時，LN當 Lx nx n RN nx( n) x(n)RN (n)（ 4）序列的分解序列

3、共軛對稱分解定理：對于任意給定的整數M，任何序列 x(n) 都可以分解成關于cM / 2共軛對稱的序列( ) 和共軛反對稱的序列之和，即xe nxo ( n)精彩文檔實用標準文案x( n)xe( n)xo ( n),n并且1 x(n)x ( Mn)xo (n)1x ( M n)xe (n) x(n)22（ 4）序列的運算1）基本運算運算性質描述序列相乘y( n)x1( n) x2 (n)y(n)ax(n)序列相加y(n) x1 (n)x2 ( n)序列翻轉y(n)x(n) （將 x(n) 以縱軸為對稱軸翻轉）尺度變換y(n)x(mn)（序列 x( n) 每隔 m-1 點取一點形成的序列）用單位

4、脈沖x(i ) (n i )x(n)序列表示i2）線性卷積：將序列 x(n) 以 y 軸為中心做翻轉，然后做 m 點移位，最后與 x(n) 對應點相乘求和翻轉、移位、相乘、求和定義式：y(n)x1 (m) x2 (nm)x1 (n)x2 (n)m線性卷積的計算： A、圖解B、解析法C、不進位乘法（必須掌握）3）單位復指數序列求和（必須掌握）N 11 ej Nej N /2(ej N/2ej N /2) ej N /2(ej N /2e j nn 01 e je j /2 ( ej /2e j /2 )e j /2 ( ej /2e j (N 1)/2sin(N /2)sin(/ 2)eej N

5、 /2 ) / (2 j ) j /2 ) / (2 j )如果2 k / N ，那么根據洛比達法則有sin(N/2)sin(N (0)( k 0)( 或 N (N )( k N )/ 2)可以結合作業題3.22 進行練習精彩文檔實用標準文案（ 5）序列的功率和能量能量： E| x( n) |2n1N功率： P lim| x(n) |2N2N1 n N（ 6）相關函數 與隨機信號的定義運算相同（二）離散時間系統1系統性質（ 1）線性性質定義：設系統的輸入分別為x1( n) 和 x2 (n) ，輸出分別為 y1 (n) 和 y2 (n) ，即y1 (n)T x1 (n), y2 ( n)T x2

6、 (n)統的輸對于任意給定的常數a 、 b ，下式成立y(n)T ax1 (n)bx2 (n)ay1 (n)by2 ( n)則該系統服從線性疊加原理，為線性系統，否則為非線性系統。判定系統的線性性質時，直接用定義（ 2）時不變性質統的如果系統對輸入信號的運算關系在整個運算過程中不隨時間變化， 則稱該系統是時不變系統。即對任意給定的整數 i ，若下式成立：y( ni )T x(ni )則稱該系統為時不變系統，否則為時變系統。判定系統的時不變性質時，直接用定義（ 3）系統的因果性定義：如果系統 n 時刻的輸出序列只取決于n 時刻及以前的輸入序列， 而與 n 時刻以后的輸入序列無關，則稱該系統具有因

7、果性質，即系統是因果系統， 否則是非因果系統。離散時間 LTI 系統具有因果性的充要條件是：系統的單位脈沖響應h( n) 滿足h(n) 0, n 0（ 4）系統的穩定性定義：對任意有界的輸入，系統的輸出都有界，則該系統是穩定的，否則是不穩定的。精彩文檔實用標準文案離散時間 LTI 系統具有因果性的充要條件是： 系統的單位脈沖響應h(n) 滿足絕對可和，即| h(i ) |i（ 5）對離散時間 LTI 系統的描述（ 1）時域：差分方程（ 2） Z 域：系統函數 H (z)2信號過系統y( n)h(n)x(n)用線性卷積的相關知識計算，信號系統學的基本性質可以套用二、離散時間信號和系統的頻域分析（

8、一）離散時間信號1序列傅里葉變換（Sequence Fourier Transform）（即本書中的離散時間信號的傅里葉變換）（ 1）定義SFT： X (ej ) SFT x(n)x( n)ej n ,nISFT： x(n) ISFT X (ej )1X (ej)ej n d ,n2說明：1、物理意義：序列傅里葉變換本質上是序列的一種分解，它將一般序列分解為無窮多個數字角頻率 , 中的復指數序列。稱X (ej ) 為序列 x(n) 的頻譜，其模 | X (e j ) | 稱為幅頻特性，其幅角 arg X (ej )( ) 稱為相頻特性。2、盡管序列 x(n) 是離散時間信號，但它的序列傅里葉變

9、換對數字角頻率而言卻是連續函數，因此，序列x(n) 的傅里葉變換是連續的。3、 X (ej ( 2 ) )x( n)e j (2 ) nX (ej )n由上式可知，序列傅里葉變換X (ej) 是以 2 為周期的周期函數，其原因正是由于 e j n 對 而言以 2為周期，即數字角頻率相差2 的所有單位復指數序列等價。因此，對的所有單位復指數序列只有一個周期。 對于離散時間信號，由于的周期性，使得0或 2的整數倍都表示信號的直流分量，而的奇精彩文檔實用標準文案數倍表示信號的最高頻率。（ 2）性質名稱線性性質時移性質頻移性質共軛對稱性質線性卷積性質帕斯瓦爾定理相乘性質性質描述SFTax1(n)bx2

10、 (n)a SFT x1 (n)b SFT x2 (n) ()ej n( )SFT xn mSFTx nSFTej 0n x(n)X ( ej (0 ) )SFT xR (n)X e (e j ), SFT jx I (n)X o (e j )SFT xe (n)Re X (ej), SFT xo ( n)j Im X ( ej )SFT x( n)y(n)SFT x(n) SFT y(n)| x(n) |21| X ( ej) |2 dn2SFT x( n) y( n)1X (e j )Y (ej () )d2序列乘以 n ()(ej) /dSFT n x njdX（ 3）基本序列的傅里葉變

11、換序列傅里葉變換(n)112()RN (n)ej (N 1)/2sin(N) / sin()22an u(n) (| a |1)(1aej) 1ej 0n (2/0為有理數 )2(0 )cos 0 n(2 / 0為有理數 )(0 )(0 )sin 0n(2/0為有理數 )j (0 )(0 )u( n)(1e j) 1()2Z 變換（不熟悉的復習信號系統相關內容，或本書2.3 相關內容）（ 1）定義精彩文檔實用標準文案ZT： X ( z)ZT x(n)x(n) z nRx| z| RxnIZT ： x(n)IZT X ( z)1X (z) zn 1dzRx | z | Rx2jc（ 2）性質課本

12、 49 頁表 2.3.3（ 3）收斂域與基本序列 Z 變換課本 45 頁表 2.3.1 、表 2.3.23. 離散時間信號 Z 變換與 SFT的關系Z 變換是由 SFT推廣得到的，反過來，如果某序列的 Z 變換的收斂域包括 ze j ，則也可以通過 ZT 求得序列的 SFT。即X ( z) |jx(n)e j nX ( ej )z en上式表明， SFT正是序列的 ZT 在 ze j 的值（二）離散時間系統1. 系統函數的收斂域與系統因果性和穩定性當且僅當系統函數H(z) 的收斂域為小于單位圓的某個圓的園外時，系統是因果穩定的。2. 系統函數的零極點分布與系統因果性和穩定性若系統是因果穩定的，

13、則 H(z) 的極點必定在單位圓內。3. 系統函數的零極點分布對系統頻率響應特性的影響1、對極點而言：當單位圓上的點轉到某個極點附近時，| H (e j ) |在這附近出現峰值。極點越靠近單位圓，振幅特性的峰值越大，當極點出現在單位圓上時，振幅特性將出現無窮大，系統不穩定。2、對零點而言：當單位圓上的點轉到某個零點附近時，| H (e j ) |在這附近出現谷點。當零點出現在單位圓上時，振幅特性為零。零點可以位于單位圓外，不影響穩定性。兩個概念1、最小相位系統：系統H(z) 的全部零極點都在單位圓內，某點在單位圓上逆時針旋轉一周時，系統的相位變化最小。2、最大相位系統： H(z) 的全部零點在

14、單位圓外，系統的相位變化最大。說明：處于坐標原點的零極點不影響系統的幅頻響應；利用零極點分析系統的幅頻響應，精彩文檔實用標準文案僅對低階系統有效。（三）離散時間信號與模擬（連續）時間信號1時域關系設連續時間信號xa (t ) ， 離散時間信號 x(n) ， 則x( n)xa (nT )xa (t) |t nT2頻域關系X (e j ) |T1X a j (m s )T m在時域對信號抽樣，其頻域的特征就是頻譜以采樣頻率s 為周期進行周期延拓。一個域的離散必然導致另一個域的周期延拓一個域的周期延拓必然導致另一個域的離散對應變量的關系：單位： rad單位： HzT由于s ， 所以maxsT 2三、

15、離散傅里葉變換（DFT）（一）離散傅里葉級數變換（DFST）說明：周期序列不滿足絕對可和的條件， 不適用于序列傅里葉變換的定義式，但是它可以展開成離散傅里葉級數（Discrete Fourier Series， DFS），利用離散傅里葉級數可以得到周期序列的離散傅里葉變換表示式。1. 定義DFST： X (k)N1x(n)W nk ,kn 0NIDFST： x(n)1 N1X (k )WN nk ,nN n0注： 1、周期單位復指數序列 WNnkj 2nk,WN nkj 2 nkeNe N周期單位復指數序列對 n、 k 而言都是以 N為周期的，即WN(n N) kWNnk ,n, kWNn(k

16、 N )WNnk ,n, kWN( nk N )WNnk ,n, k精彩文檔實用標準文案2、周期為 N 的周期序列 x(n) 可以分解成 N 個周期復指數序列的和，這些周期復指數序列的數字角頻率為2 k (k 0,1, 2, ,N 1)周，它們的幅度和相位由離散N傅里葉級數 X ( k) 決定。N2. 基本周期序列的離散傅里葉級數變換時域序列離散傅里葉級數變換（ DFST）( n)11N(k )eNN(km)j2 mncos(2mn / N )N ( km)(km)/ 2sin(2mn / N )jN (k m)(km)/ 23. 周期序列的離散傅里葉變換X ( ej )2X (k) (2k

17、)N kN可類比信號系統中周期信號的傅里葉變換，具體推導過程見課本76 頁。（二）離散傅里葉變換（DFT）1. 定義DFT： X ( k)N 1x( n)W nk,0kN1n 0NIDFT： x(n)1 N 1X ( k)WN nk,0nN 1N n 0要點：（ 1） DFT沒有實際的物理含義，但是可以理解為SFT的等間隔采樣，即X (k) X (ej ) | 2,0 k N 1Nk（ 2）變換區間： 0,N-1 ，有限長 N點（ 3）變換結果：與序列長度 N 有關，當 N 足夠大時， X ( k) 的包絡趨近于 X (e j )曲線精彩文檔實用標準文案（ 4）頻譜分析的意義：X (k) 表示

18、k(2/ N ) k 頻點的幅度譜線， 如果 x( n) 是模擬信號的采樣， 采樣間隔為 T，T2f / T ，則 k 與相應的模擬頻率的關系為： k2k 2 fkTN即 fkk。 對模擬頻率域而言， N 點 DFT意味著頻域采樣間隔為1 Hz 。所以NTNT用 DFT進行譜分析時， 稱 F1 為頻率分辨率。 而 NT表示時域采樣的區間長度NT( 即觀察時間或記錄長度TPNT ) ，顯然為了提高分辨率就必須是記錄長度足夠大。（ 5） DFT的隱含周期性1）DFT是 SFT的等間隔采樣，而X (ej ) 以 2為周期；2） WNkWN( k mN ) 的周期性3）時域抽樣，頻域周期延拓；頻域采樣

19、，時域周期延拓2.DFT 的主要性質性質時域（x(n)、 y(n) ）頻域（X (k)、 Y (k ) ）線性性質ax1 (n)bx2 ( n)aX1 (k )bX 2 (k)時域循環移位性質x(nm) N RN (n)WN km X (k )頻域循環移位性質nl()X ( kl ) N RN (k)WN x n時域循環卷積x1( n)x2 (n)X1(k) X 2 ( k)頻域循環卷積x1( n) x2 (n)1X1( k) X2 (k )N復共軛序列的 DFT共軛對稱性帕斯瓦爾定理x(n)X * ( N k )xep (n)X R (k)xop (n)jX I (k)xR (n)X ep(

20、 k)jxI(n)X op (k )N121 N12| x(n) |N k| X (k) |n00精彩文檔實用標準文案3. 基本序列的離散傅里葉變換時域序列(n)RN (n)j 2mne NRN ( n)cos(2 mn / N )RN (n)sin(2 mn / N )RN (n)4. 頻域采樣定理離散傅里葉級數變換（DFST）1N(k )N(km)N (km)(kNm)/ 2jN (km)(kNm)/ 2設序列 x( n) 的傅里葉變換為X (ej ) ，在區間 0, 2 ) 內對 X (ej ) 進行 N 點等間隔采樣（采樣間隔為2/ N ）得到序列 X (k ) ，且 X ( k )

21、對應的 IDFT 為 xN (n) ，則xN (n)x( nrN )r這是因為，在頻域內對X (ej ) 等間隔采樣，導致時域序列x(n) 周期延拓，并且在區間 0, 2) 采樣得到的序列X (k ) 的 IDFT 是原序列以 N為周期進行周期延拓后的主值序列。若序列的長度為M，那么只有當頻域采樣點數NM 時，才有xN (n)x(n) ，此時才能由頻域采樣序列X ( k) 恢復 X (ej ) 。（三）連續信號傅里葉變換（ CFT）、序列傅里葉變換（ SFT）、離散傅里葉級數變換（ DFST）、離散傅里葉變換（ DFT）的關系精彩文檔實用標準文案抽樣截短周期延拓周期延拓xN(n)xa(t)xn

22、()xndn()()xN(n)tnTs取主值CFTSFTSFTDFSTDFT周期延拓 卷積抽樣周期延拓Xa(j )Xe(j)Xe(j ) De(j)XN(k)XN(k)s2 /Ts取主值各個變量對應關系：數字角頻率數字頻率模擬頻率模擬角頻率Ts ，sk :0N1k: 022 k / NF : 01k / Nf :0f skfs / N:02f s2 k fsNsTs2fsT ，2 k / N編者按：為什么要有DFT？我們從外界接收到的信號都是連續信號， 但是在現代人類都用計算機對信號進行處理，而計算機只能識別離散的值， 所以需要對接收到的連續信號進行采樣截短得到離散的序列。但是， 一個域的離散

23、必然導致另一個域的周期延拓， 當對時域的連續信號進行采樣時， 其頻譜必然進行周期延拓， 所以序列的傅里葉變換是連續周期的，這樣計算機就沒法對其頻譜進行分析。這時， 對時域信號進行周期延拓，又會使其頻譜離散化。 經過兩個域的分別離散化和周期延拓， 這時得到的就是 DFST的對應關系。那么，分別對兩個域取主值，就可得到適合計算機處理的時域和頻域序列。 DFT就應運而生。（一家之言，僅供參考）（四）卷積的計算1. 循環卷積與線性卷積（有限長序列的卷積）設有限長序列 x(n) 的長度為 N，h( n) 的長度為 M，它們線性卷積結果為yl (n) ，精彩文檔實用標準文案長度為 LgNM 1；循環卷積結

24、果為 yc (n) ，長度為 L 。則兩類卷積有如下對應關系：（設 NM ）（1）當 LN 時ycyl (n) yl (nN),0nM2( n)M1nN1yl (n),（2）當 LLg 時yc (n)yl (n)（3）當 NLLg 時ycyl (n) yl (n L ), 0 n LgL 1(n)LgLnL1yl (n),2. 重疊保留法和重疊相加法（無限長序列得卷積）（ 1）重疊保留法基本思路：將兩個序列中長度較長或無限長的序列均勻分段，計算各個有限長的子序列與另一短序列的線性卷積，最后將結果重疊相加起來輸出。 （重疊的是卷積結果 ）設有限長序列 h(n) 的長度為 M， x(n) 為無限長

25、序列，計算步驟： 1）將 x(n) 均勻分段，每段長度為 Nx( n)xk (n)k 0xk (n)x(n)RN (nkN )x(n), kN n(k1)N 10,else2）計算每段子序列與短序列的線性卷積設xk()xk(n kN) ，即計算xk (n)與h(n)的線性卷積yk (n)n3）將各子序列線性卷積的結果移位后相加得總輸出令yk()yk(n kN) ，則y( n)yk ( n)nk 0（ 2）重疊保留法基本思路：將兩個序列中長度較長或無限長的序列在時間上有重疊地分段，計算各個有限長的子序列與另一短序列的線性卷積，最后保留每段結果中間 N 個點，相加輸出。（重疊的是較長的序列 ）設有限長序列 h(n) 的長度為 M， x(n) 為無限長序列，計算步驟： 1）將 x(n) 有重疊地分段（每一段由kN 向前重疊 M-1 個點），每段長度為 N+M-1xk(n)x(n),kNM 1 n( k1)N10,else2）計算每段子序列與短序列的線性卷積設 xk (n