1、2015中考專題復(fù)習(xí)一一軸對(duì)稱之最值例題講解1. (2013?蘇州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAOAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3, 心)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1, 0),點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 PA+PC的最小值為()A.逗B.返C.訃回D. 2Ft22. (2011?本溪)如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)是4, /DAC的平分線交DC于點(diǎn)E,若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則 DQ+PQ的最小值()A. 2B. 4C. 2/2D. 4Gli系如圖所示，若P是x軸上使得|PA- ( )A.工B. 44 .如圖，A是半圓上的一個(gè)二等分點(diǎn):徑r=1 ,則PA+PB的最小值是

2、(A. 2B.正5 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) 的距離之和最小，則點(diǎn) P的坐標(biāo)是(F, I e; pi: iiiijii 3111 |Mi iiiqd 3 imp ：iiiiifnind h1/；L：T7= /1_ !7/一廠.”穌(-*piMiiij « ill學(xué)口 ”paiiiiifi” 111 4A . (-2,0)B. (4,-PB|的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得 QA+QB的值最小的點(diǎn)，則OP+OQ-C.四D. 53B是半圓上的一個(gè)六等分點(diǎn)， P是直徑MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，OO半 )C. V3D.退A ( - 2, 4), B (4, 2),在x軸上取一點(diǎn) P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A和

3、點(diǎn)B ) 三巨匕0)C. (2, 0)D, (0, 0)點(diǎn)A, B均在由邊長(zhǎng)為1的相同小正方形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上,23 / 216. 如圖，MN是。O的直徑，點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn)，點(diǎn) B是劣弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上一 動(dòng)點(diǎn).若 MN=2也，貝U PA+PB的最小值是()A. 26B./C. 1D. 27. 如圖，正方形 ABCD的面積為16, AABE是等邊三角形，點(diǎn) E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線 BD上 有一點(diǎn)P,使PC+PE的和最小，則這個(gè)最小值為()B. 2痣C. 2AD. 28. (2013?資陽)如圖，在 RtAABC 中，ZC=90°, /B=60°,

4、點(diǎn) D 是 BC 邊上的點(diǎn)，CD=1 ,將 4ABC 沿 直線AD翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)P是直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，則 PEB的周長(zhǎng)的最小值是9. (2012?青島)已知：如圖，在 RtAABC 中，/C=90°, AC=6cm , BC=8cm , D、E 分別是 AC、AB 的 中點(diǎn)，連接DE,點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DE方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA 方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 2cm/s,當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) Q也停止運(yùn)動(dòng).連接 PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (s) (0 <t<4).解答下列問題：(1)當(dāng)t為何值時(shí)，PQXAB ?(2)當(dāng)點(diǎn)

5、Q在BE之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)五邊形PQBCD的面積為y (cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)的情況下，是否存在某一時(shí)刻t,使PQ分四邊形BCDE兩部分的面積之比為 SAPQE： S五邊形pqbcd=1： 29?若存在，求出此時(shí) t的值以及點(diǎn)E到PQ的距離h;若不存在，請(qǐng)說明理由.10. （2013?南充）如圖，公路 AB為東西走向，在點(diǎn) A北偏東36.5°方向上，距離 5千米處是村莊 M;在 點(diǎn)A北偏東535方向上，距離10千米處時(shí)村莊 N （參考數(shù)據(jù)；sin36.5 =0.6, cos36.5 =0.8, tan36.5 =0.75）.（1）求M, N兩村之間的距離；（2

6、）要在公路 AB旁修建一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站P,使得M, N兩村到P的距離之和最短，求這個(gè)最短距離.11. （2013?日照）問題背景：如圖（a）,點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作 出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B；連接A B與直線l交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求.（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b）,已知，OO的直徑CD為4,點(diǎn)A 在。O上，/ ACD=30 °, B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑 CD 上一動(dòng)點(diǎn)，則 BP+AP的最小值為 .（2如圖（c）,在RtAABC中，AB=10 , Z BAC=45 °, / BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D, E、F分

7、別是線段 AD 和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.12. （2010?天津）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn) A、B分別在x軸、y軸 的正半軸上， OA=3, OB=4, D為邊OB的中點(diǎn).（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) 4CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn) E的坐標(biāo)；（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 EF=2,當(dāng)四邊形 CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn) E、F的坐標(biāo).（溫馨提示：可以作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D',連接CD'與x軸交于點(diǎn)E,此時(shí)4CDE的周長(zhǎng)是最小的.這 樣，你只需求出 OE的長(zhǎng)，就可以確定點(diǎn) E的坐標(biāo)了 .）13. （20

8、10?淮安）（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點(diǎn)A, B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn) 巳 使AP+BP的值最小.做法如下：作點(diǎn) B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB',與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn) P.再如（b）圖，在 等邊三角形 ABC中，AB=2 ,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在 AD上找一點(diǎn)P,使BP+PE的值最小.做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn) C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn) P, 故BP+PE的最小值為.（2）實(shí)踐運(yùn)用：如（c）圖，已知。的直徑CD為4, /AOD的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是心 的中點(diǎn)，在直徑 CD上找一點(diǎn)P,使BP+AP的

9、值最小，并求 BP+AP的最小值.（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形 ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P,使/APB=/APD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.14. （2009?漳州）幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn).問題：在直線l上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小.方法：作點(diǎn) A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',連接AB交l于點(diǎn)P,則PA+PB=A B的值最小（不必證明）. 模型應(yīng)用：（1）如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2, E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連接 BD ,由正方形對(duì)稱性 可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱.連接ED交AC于P,則PB+PE的最小值是 ;（2）如圖2,

10、。的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在。上，OAOB, /AOC=60 °, P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC 的最小值；（3）如圖3, /AOB=45°, P是/AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10, Q、R分別是 OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求 4PQR周 長(zhǎng)的最小值.2013年12月1066077065的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析選擇題（共7小題）1. （2013?蘇州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAOAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,F）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1, 0）,點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 PA+PC的最小值為（）A.巫C.3+71 2考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題；坐標(biāo)

11、與圖形性質(zhì).專題：壓軸題.分析：作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn) D,連接CD交OB于P,連接AP,過D作DN，OA于N,則此時(shí)PA+PC 的值最小，求出 AM，求出AD ,求出DN、CN,根據(jù)勾股定理求出 CD,即可得出答案.解答：解：作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn) D,連接CD交OB于P,連接 AP,過D作DN，OA于N, 則此時(shí)PA+PC的值最小， DP=PA,PA+PC=PD+PC=CD ,B （3, VS）,AB=立,OA=3, /B=60°,由勾股定理得： OB=2行，由三角形面積公式得： >OA >AB=>OB>AM ,22AM=,2AD=2 ,/AMB=90

12、76;, /B=60°,/ BAM=30 °, / BAO=90 °,/ OAM=60 °, DN LOA,/ NDA=30 °,.AN=AD=,由勾股定理得:C (e,0),CN=3 -工-=12 2在RtADNC中，由勾股定理得：DC=Jy+ &缶）*=P，即pa+pc的最小值是7 31,2故選B.30度角的直角三角形性點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，軸對(duì)稱-最短路線問題，勾股定理，含 質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出 P點(diǎn)的位置，題目比較好，難度適中.2. （2011?本溪）如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)是4, Z DAC的平分線交DC于點(diǎn)

13、E,若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則 DQ+PQ的最小值（）A PDBCA. 2B. 4C. 212D. 4叵考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì).專題：壓軸題；探究型.分析：過D作AE的垂線交AE于F,交AC于D 再過D作DP。AD ,由角平分線的性質(zhì)可得出D是D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而可知 DP'即為DQ+PQ的最小值.解答：解：作D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)D',再過D作DP XAD于P； DD 工 AE,/ AFD= / AFD AF=AF , / DAE= / CAE , DAF D AF ,D是D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，AD =AD=4 , .DP即為DQ+PQ的最小值，

14、四邊形ABCD是正方形，/ DAD =45 °, . AP'=P'D', 在 RtAAP D'中，PD 2+AP 2=AD 2, AD 2=16,. , AP'=P'D',2PD2=AD 2,即 2PD2=16,PD=2V2,即 DQ+PQ 的最小值為 212.故選C.pEC點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.3. (2013?宛城區(qū)一模)點(diǎn)A, B均在由邊長(zhǎng)為1的相同小正方形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，若P是x軸上使得|PA-PB|的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA+Q

15、B的值最小的點(diǎn)，則OP+OQ=B. 4C.皂TD. 5考點(diǎn)：分析：解答:軸對(duì)稱-最短路線問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).連接AB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P,作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A連接A B交y軸于點(diǎn)Q,求出點(diǎn)Q與y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)論.解：連接AB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P,由三角形的三邊關(guān)系可知，點(diǎn)P即為x軸上使得|PA-PB|的值最大的點(diǎn)，點(diǎn)B是正方形的中點(diǎn)，點(diǎn)P即為AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，此時(shí) P (3, 0)即OP=3;作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn) A連接A B交y軸于點(diǎn)Q,則A B即為QA+QB的最小值， A ' ( - 1, 2) , B (2, 1),設(shè)過AB的直線為：y=kx+b ,則2= - k+

16、b L=2kSb1解得 Q (0, 1),即 OQ=g,OP+OQ=3+故選：C.P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，根據(jù)題意得出4.如圖，A是半圓上的一個(gè)二等分點(diǎn), 徑r=1 ,則PA+PB的最小值是(B是半圓上的一個(gè)六等分點(diǎn)，P是直徑MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，OO半考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系.分析:解答:點(diǎn)評(píng):本題是要在 MN上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小，設(shè) A是A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接 A'B,與 MN的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.此時(shí)PA+PB=A B是最小值，可證 AOAB是等腰三角形，從而得出結(jié)果. 解：作點(diǎn) A

17、關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn) A ；連接AB,交MN于點(diǎn)P,連接OA； AA OQXAB , 點(diǎn)A與A '關(guān)于MN對(duì)稱，點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)二等分點(diǎn)，. . / A'ON=/AON=90 °, PA=PA',B是半圓上的一個(gè)六等分點(diǎn)，/ BON=30 °,/ A'OB=/A ON+ /BON=120 °,又OA=OA =1, /A =30°,一八， Vs . A Q=OA cos30 =, 2A B=心PA+PB=PA +PB=A B=/3.故選：C.4f此題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，正確確定P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，確定點(diǎn)P的位置這類

18、題在課本中有原題，因此加強(qiáng)課本題目的訓(xùn)練至關(guān)重要.5 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A ( - 2, 4), B (4, 2),在x軸上取一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和最小，則點(diǎn) P的坐標(biāo)是()A .(2, 0)B. (4, 0)C. (2, 0)D. (0, 0)考點(diǎn)： 分析：解答:軸對(duì)稱-最短路線問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C,連接AC交x軸于D,連接BC交交x軸于P,連接AP, 點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和最小，求出 C （的坐標(biāo)，設(shè)直線 CB的解析式是y=kx+b ,把 代入求出解析式是 y=x - 2,把y=0代入求出x即可.解：作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C,連接AC交x軸于D

19、,連接BC交交x軸于P,連接 則此時(shí)AP+PB最小，即此時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和最小，此時(shí)點(diǎn)P到C、B的坐標(biāo)AP,： A (- 2, 4),.C (- 2, - 4),設(shè)直線CB的解析式是y=kx+b ,把C、B的坐標(biāo)代入得:一 §二=2k+b解得：k=1 , b= - 2, y=x -2,把y=0代入得：0=x - 2,x=2 ,即P的坐標(biāo)是(2, 0), 故選C.V AC -點(diǎn)評(píng):本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，一次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是能畫出 P的位置，題目比較典型，是一道比較好的題目.6 .如圖，MN是。O的直徑，點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn)，點(diǎn) B是劣弧

20、AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上一 動(dòng)點(diǎn).若MN=2 k/2,貝U PA+PB的最小值是（）A - 2V2B. V2C. 1D. 2考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題；勾股定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理.分析：本題是要在 MN上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小，設(shè) A是A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接 A'B,與MN的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.此時(shí)PA+PB=A B是最小值，可證OA'B是等腰直角三角形， 從而得出結(jié)果. 解答：解：作點(diǎn) A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn) A ；連接AB,交MN于點(diǎn)P,連接OA； OA , OB , PA, AA : 點(diǎn)A與A '關(guān)于MN對(duì)稱，點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，. .

21、 / A'ON=/AON=60 °, PA=PA', 點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)，/ BON=30 °, . / A OB= / A ON+ / BON=90 °,又 OA=OA =廢，A B=2 .PA+PB=PA +PB=A B=2 .故選D.點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合圖形的性質(zhì)，考查軸對(duì)稱-最短路線問題.其中求出ZBOC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.7.如圖，正方形 ABCD的面積為16, AABE是等邊三角形，點(diǎn) E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線 BD上有一點(diǎn)P,使PC+PE的和最小，則這個(gè)最小值為（）A . 4B. 2%虧C./D. 2考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題；等邊三

22、角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì).專題：計(jì)算題.分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，推出C、A關(guān)于BD對(duì)稱，推出CP=AP,推出EP+CP=AE ,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出AE=AB=EP+CP ,根據(jù)正方形面積公式求出AB即可.，解答:解:正方形ABCD ,AC ± BD , OA=OC , C、A關(guān)于BD對(duì)稱，即C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)是A ,連接AE交BD于P,則此時(shí)EP+CP的值最小，.C、A關(guān)于BD對(duì)稱，CP=AP ,EP+CP=AE ,.等邊三角形ABE, . EP+CP=AE=AB , 正方形ABCD的面積為16,AB=4 ,EP+CP=4,故選A.點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短問題，

23、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是確定P的位置和求出EP+CP的最小值是AE,題目比較典型，但有一定的難度，主要培養(yǎng)學(xué)生分 析問題和解決問題的能力.二.填空題（共1小題）8. （2013?資陽）如圖，在 RtAABC 中，ZC=90°, /B=60°,點(diǎn) D 是 BC 邊上的點(diǎn)，CD=1 ,將 4ABC 沿 直線AD翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)P是直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，則 PEB的周長(zhǎng)的最小值是1 +內(nèi).考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題；含 30度角的直角三角形；翻折變換（折疊問題）專題：壓軸題.分析：連接CE,交AD于M ,根據(jù)折疊和等腰三角形性質(zhì)得出當(dāng) P和

24、D重合時(shí)，PE+BP的值最小，即可 此時(shí)4BPE的周長(zhǎng)最/、， 最/、值是 BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE ,先求出BC和BE長(zhǎng)，代入求 出即可.解答:解：連接CE,交AD于M , 沿AD折疊C和E重合，/ ACD= / AED=90 °, AC=AE , / CAD= / EAD , AD垂直平分 CE,即C和E關(guān)于AD對(duì)稱，CD=DE=1 ,當(dāng)P和D重合時(shí)，PE+BP的值最小，即此時(shí) 4BPE的周長(zhǎng)最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE , / DEA=90 °,/ DEB=90 °, / B=60 °, DE=

25、1 , BE=空 BD=-1V3,即 BC=1 + -|/3|,APEB 的周長(zhǎng)的最小值是 BC+BE=1 + -Vs+-Vs=1 + /3, 33故答案為：1 + J1.點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問題，勾股定理，含角形性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出P點(diǎn)的位置，題目比較好，難度適中.30度角的直角三三.解答題(共6小題)9. (2012?青島)已知：如圖，在 RtAABC 中，/C=90°, AC=6cm , BC=8cm , D、E 分別是 AC、AB 的 中點(diǎn)，連接DE,點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DE方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA

26、方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 2cm/s,當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) Q也停止運(yùn)動(dòng).連接 PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (s) (0 <t<4).解答下列問題：(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(1)當(dāng)t為何值時(shí)，PQXAB?(2)當(dāng)點(diǎn)Q在BE之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)五邊形 PQBCD的面積為y(3)在(2)的情況下，是否存在某一時(shí)刻t,使PQ分四邊形考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì);元二次方程的應(yīng)用；勾股定理；三角形中位線定理.BCDE兩部分的面積之比為 S/xPQE： S 五邊形 請(qǐng)說明理由.專題：分析：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型.(1)如圖 所示，當(dāng)PQLAB時(shí)，4PQE是直角三角形.解決問題的要點(diǎn)是將

27、4PQE的三邊長(zhǎng)PE、QE、PQ用時(shí)間t表示，這需要利用相似三角形(PQEsACB)比例線段關(guān)系(或三角函數(shù))；(2)本問關(guān)鍵是利用等式 五邊形PQBCD的面積二四邊形DCBE的面積-4PQE的面積”，如圖 所示.為求4PQE的面積，需要求出 QE邊上的高，因此過 P點(diǎn)作QE邊上的高，利用相似關(guān) 系(aPMEsABC)求出高的表達(dá)式，從而問題解決；(3)本問要點(diǎn)是根據(jù)題意， 列出一元二次方程并求解.假設(shè)存在時(shí)刻3使$4PQE： S 五邊形 PQBCD=1 ：29,則此時(shí)SzPQE=S梯形DCBE,由此可列出一元二次方程，解方程即求得時(shí)刻t;點(diǎn)E到PQ的30距離h利用 PQE的面積公式得到.解答

28、:解：(1)如圖，在Rk ABC中，AC=6 , BC=8 AB= V62f82=10- D、E分別是AC、AB的中點(diǎn).AD=DC=3 , AE=EB=5 , DE / BC 且DE=|；BC=4 PQXAB ,/ PQB=Z C=90°又 DE / BC/ AED= / B PQEAACBPEQE而荻由題意得：PE=4- t, QE=2t - 5,解得t=；14(2)如圖，過點(diǎn)P作PMXAB于M ,由PMEsacb,得旦AC ABtio，得 PM=-Sapqe=-=:EQ?PM=4 (5-2t) 是225(4-t)1CIt+6,S 梯形 DCBE=x (4+8) >3=18,

29、y=18t+6) = 12+1+12 5 10t(3)假設(shè)存在時(shí)刻"使$4PQE： S 五邊形 PQBCD=1 ： 29,貝U此時(shí) Sa PqE=S梯形DCBE , 30.昌2_罵+6=上M8,51。30即 2t2- 13t+18=0 ,解得tl=2, t2=上（舍去）.2當(dāng)t=2時(shí)，4 z 8PM= -X （42）5，ME=：X （4-2）哈55EQ=5 - 2 >2=1 , MQ=ME+EQ= +1=-,PQ=M2 + HQ2=J （得）” 軍. f JJ.1 -PQ?h=-,25. h小匚亞巫（或q5 V205 205V205匡點(diǎn)評(píng)：本題是動(dòng)點(diǎn)型綜合題，解題關(guān)鍵是掌握動(dòng)點(diǎn)

30、運(yùn)動(dòng)過程中的圖形形狀、圖形面積的表示方法.所考查 的知識(shí)點(diǎn)涉及到勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、解方程（包括一元一次 方程和一元二次方程）等，有一定的難度.注意題中求時(shí)刻t的方法：最終都是轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程求解.10. （2013?南充）如圖，公路 AB為東西走向，在點(diǎn) A北偏東36.5°方向上，距離 5千米處是村莊 M;在 點(diǎn)A北偏東535方向上，距離10千米處時(shí)村莊 N （參考數(shù)據(jù)；sin36.5 =0.6, cos36.5 =0.8, tan36.5 =0.75）.（1）求M, N兩村之間的距離；（2）要在公路 AB旁修建一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站P,使

31、得M, N兩村到P的距離之和最短，求這個(gè)最短距離.考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題；軸對(duì)稱-最短路線問題.專題：應(yīng)用題；壓軸題.分析： （1）過點(diǎn) M 作 CD /AB , NE LAB ,在 RtAACM 中求出 CM , AC ,在 RtAANE 中求出 NE, AE , 繼而得出MD, ND的長(zhǎng)度，在 RtAMND中利用勾股定理可得出 MN的長(zhǎng)度.（2）作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G,連接MG交AB于點(diǎn)巳點(diǎn)P即為站點(diǎn)，求出 MG的長(zhǎng)度即可.解答： 解：（1）過點(diǎn) M作CD/AB , NELAB ,如圖：在 RtAACM 中，/CAM=36.5 °, AM=5km ,.sin36.

32、5°=.=0.6,5CM=3， AC= J 出2 - cm 2=4km,在 RtAANE 中，/NAE=90 ° - 53.5 =36.5 °, AN=10km ,NE.sin36.5 =0.6,10NE=6 , AE= J"? - ME"8km，MD=CD - CM=AE - CM=5km , ND=NE - DE=NE - AC=2km , 在 RtAMND 中，MN=.爐2=VIkm .（2）作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G,連接MG交AB于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為站點(diǎn)， 此時(shí) PM+PN=PM+PG=MG ,在 RtMDG 中，MG= J52+I.O 2

33、=VH=571ikm .答：最短距離為5V 5km.點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)值求解相關(guān)線段的長(zhǎng)度，難度較大.11. （2013?日照）問題背景：如圖（a）,點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作 出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B；連接A B與直線l交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求.（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b）,已知，OO的直徑CD為4,點(diǎn)A 在。O上，/ ACD=30 °, B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑 CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+AP的最小值為 2會(huì) .（2）知識(shí)拓展：如圖（c）,在RtAABC中，AB=10

34、, / BAC=45 °, / BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D, E、F分別是線段 AD 和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題.分析：（1）找點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和 MN的交點(diǎn)P就是 所求作的位置.根據(jù)題意先求出/C'AE,再根據(jù)勾股定理求出 AE,即可得出PA+PB的最小值；（2）首先在斜邊 AC上截取 AB=AB ,連結(jié)BB',再過點(diǎn)B作B F± AB,垂足為F,交AD于E, 連結(jié)BE,則線段BF的長(zhǎng)即為所求.解答：解：（1）作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)P此

35、時(shí)PA+PB最小，且等于 AE.作直徑AC ；連接CE.根據(jù)垂徑定理得弧 BD=弧DE. / ACD=30 °, ./AOD=60 °, Z DOE=30 °,/ AOE=90 °,/ C AE=45 °,又AC為圓的直徑，ZAEC =90°,/ C'=/C AE=45 °,C E=AE=即AP+BP的最/、值是 21.故答案為：2.二；（2）如圖，在斜邊 AC上截取 AB =AB ,連結(jié)BB AD 平分 / BAC , 點(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于直線AD對(duì)稱.過點(diǎn)B作BFXAB ,垂足為F,交AD于E,連結(jié)BE, 則

36、線段BF的長(zhǎng)即為所求.（點(diǎn)到直線的距離最短）在 RtAAFB '中， / BAC=45 °, AB =AB=10 ,B F=AB ' Sin45 =AB ?sin45 =10BE+EF的最小值為W2.A 尹 B點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑問題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)已知得出對(duì)應(yīng)點(diǎn) P位置是解題關(guān)鍵.12. （2010?天津）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn) A、B分別在x軸、y軸 的正半軸上， OA=3, OB=4, D為邊OB的中點(diǎn).（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) 4CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn) E的坐標(biāo)；（2）若E、F

37、為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 EF=2,當(dāng)四邊形 CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn) E、F的坐標(biāo).（溫馨提示：可以作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D',連接CD'與x軸交于點(diǎn)E,此時(shí)4CDE的周長(zhǎng)是最小的.這 樣，你只需求出 OE的長(zhǎng)，就可以確定點(diǎn) E的坐標(biāo)了 .） 考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題；平行四邊形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：（1）由于C、D是定點(diǎn)，則CD是定值，如果 4CDE的周長(zhǎng)最小，即 DE+CE有最小值.為此， 作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D',當(dāng)點(diǎn)E在線段CD'上時(shí)，4CDE的周長(zhǎng)最小；（2）由于DC、EF的長(zhǎng)為定值，如果四邊形

38、CDEF的周長(zhǎng)最小，即 DE+FC有最小值.為此，作 點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D',在CB邊上截取CG=2,當(dāng)點(diǎn)E在線段D G上時(shí)，四邊形 CDEF的周 長(zhǎng)最小.解答：解：（1）如圖，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D',連接CD與x軸交于點(diǎn)E,連接DE.若在邊OA上任取點(diǎn)E與點(diǎn)E不重合，連接 CE'、DE'、D'E'由 DE'+CE'=D'E'+CE' > CD'=D'E+CE=DE+CE ,可知4CDE的周長(zhǎng)最小.在矩形 OACB中，OA=3 , OB=4, D為OB的中點(diǎn)，BC=3 , D&#

39、39;O=DO=2 , D'B=6 , OE / BC ,RtAD'OERtAD'BC , 有黑BC D' B,Dy O-BC 2X3.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,0）；（2）如圖，作點(diǎn) D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn) D',在CB邊上截取 CG=2,連接D'G與x軸交于點(diǎn)E,在 EA上截取EF=2,. GC/EF, GC=EF,四邊形GEFC為平行四邊形，有 GE=CF, 又DC、EF的長(zhǎng)為定值，丁此時(shí)得到的點(diǎn) E、F使四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小. OE / BC,na pi RtAD'OERtAD'BG ,有"土廣.BG D' B.

40、_ O-BG D' 0" （BC-CG） 2X1 1. 0E=；=;=6 Dy B 631 - T- OFRE+EF =（+2ArJ8點(diǎn)E的坐標(biāo)為（,，0）,點(diǎn)F的坐標(biāo)為（=，0） （10分） rJ8rJ*0盧 FaxD'11點(diǎn)評(píng)：此題主要考查軸對(duì)稱-最短路線問題，解決此類問題，一般都是運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，將求折線問 題轉(zhuǎn)化為求線段問題，其說明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊.13. （2010?淮安）（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點(diǎn)A, B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn) 巳 使AP+BP的值最小.做法如下：作點(diǎn) B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB'

41、,與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn) P.再如（b）圖，在 等邊三角形 ABC中，AB=2 ,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在 AD上找一點(diǎn)P,使BP+PE的值最小.做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn) C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+PE的最小值為(2)實(shí)踐運(yùn)用：如(c)圖，已知。的直徑CD為4, Z AOD的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是標(biāo) 的中點(diǎn)，在直徑 CD上找一點(diǎn)P,使BP+AP的值最小，并求 BP+AP的最小值.(3)拓展延伸：如(d)圖，在四邊形 ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P,使/APB=/APD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題.

42、分析：(1)首先由等邊三角形的性質(zhì)知，CEXAB ,在直角4BCE中，Z BEC=90 BC=2 , BE=1 ,由勾股定理可求出CE的長(zhǎng)度，從而得出結(jié)果；(2)要在直徑CD上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小，設(shè) A是A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，連接 AB,與 CD的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.此時(shí)PA+PB=A B是最小值，可證 SA B是等腰直角三角形， 從而得出結(jié)果.(3)畫點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B',延長(zhǎng)DB交AC于點(diǎn)P.則點(diǎn)P即為所求.解答：解：(1)BP+PE的最小值=JbC? - BE2=J22 T "J汽.(2)作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn) A',連接A'B,交CD于點(diǎn)P,連接OA