1、美博教育1對1個性化輔導(dǎo)教案提綱教研組： 美博教育 肖晨星1對1 輔導(dǎo)講義變化率和導(dǎo)數(shù)學(xué)生姓名年級科目教學(xué)內(nèi)教帥授課日期T時段與課時1高數(shù)學(xué)20 13.12.15知識教學(xué)課題的平土勺變化率和瞬時變化率變化率與導(dǎo)數(shù)目標(biāo)及重難點(diǎn)瞬時變化率和導(dǎo)數(shù)關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的幾何意義的理解教學(xué)過程：一、考綱分析，作業(yè)點(diǎn)評二、考點(diǎn)分類解析1、平均速度與瞬時速度2、函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率3、導(dǎo)數(shù)的概念4、導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的定義5、導(dǎo)數(shù)的幾何意義（導(dǎo)數(shù)與切線斜率）四、針對性題型練習(xí)五、課堂小結(jié)備注：作業(yè)布置詳見講義課后針對性作業(yè)學(xué)習(xí)反饋及 調(diào)整方案班主任簽字：學(xué)員評價O特別滿意O滿意O 般O差學(xué)員簽字：教師評價上次課作業(yè)

2、：O好 O較好O 般O差本次課堂表現(xiàn)：O好 O較好O 般O差教師簽字：1、 函數(shù)y二f(x)的平均變化率：當(dāng)自變量x從X!變?yōu)閄2，函數(shù)值從 f(xj變?yōu)椋钠骄兓蕿椋?y，用它可以刻畫。X2、通過減小自變量的改變量，用平均變化率“逼近”瞬時變化率：sAs對平均速度一而言，當(dāng)時間的改變量t2 -鮎趨于0(無限縮小)時，比值會趨于一個定值，這個定值稱為t = t!At2 1At- -1時的瞬時速度，這是我們在物理學(xué)里已經(jīng)熟知的。類此，我們可以概括出一般函數(shù)y = f (x)的瞬時變化率：在自變量x從x0變?yōu)閤1的過程中，若設(shè)x x0,.y f (x：x) - f (x0)，則函數(shù)的平均變化

3、率又可表示為 =.x當(dāng)tx趨于0時，平均變化率就趨于函數(shù)在x0點(diǎn)的瞬時變化率，瞬時變化率刻畫的是。3、平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，但應(yīng)注意當(dāng)X2 - Xi很小時，這種量化便有由“粗糙”逼近“精確”的趨勢。題型分析：平均速度：1 2例1:物體自由落體的運(yùn)動方程為 S = gt ,計算t從3s到3.1s,3.01s,3.001s各段時間內(nèi)的平均速度(位移 s的2單位為m瞬時速度：設(shè)物體運(yùn)動的位移與時間的關(guān)系是s= f(t)，當(dāng)厶t趨近于0時，函數(shù)f(t)在t0到t t這段時間內(nèi)的平均變化率空 =f (t +用)-f (t)趨近于常數(shù)，我們把這個常數(shù)稱為t0時刻的瞬時速度。.

4、：t氏1例2:物體自由落體的運(yùn)動方程是 s gt2(g =9.8m/s2)，求物體在t = 3s這一時刻的速度。2平均變化率：例1在經(jīng)營某商品中，甲掙到 10萬元，乙掙到2萬元，如何比較和評價甲，乙兩人的經(jīng)營成果？變式1在經(jīng)營某商品中，甲用 5年時間掙到10萬元，乙用5個月時間掙到2萬元，如何比較和評價甲，乙兩人的經(jīng)營成果？變式2求函數(shù)y =5x2 6在區(qū)間2,2，二x內(nèi)的平均變化率瞬時變化率：例3某個物體走過的路程 s (單位：m)是時間t (單位：s)的函數(shù)：s = t2 - 1，通過平均速度估計物體在下列 各時刻的瞬時速度：(1) t=0 ; (2) t=2 ; ( 3) t=4.例4、

5、已知函數(shù)y = f (x) - -2x - 1(1 )當(dāng)x從1變?yōu)?時，函數(shù)值y改變了多少？此時函數(shù)值 y關(guān)于x的平均變化率是多少？(2) 當(dāng)x從-1變?yōu)?時，函數(shù)值y改變了多少？此時函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率是多少？(3) 這個函數(shù)變化的快慢有何特點(diǎn)？求這個函數(shù)在x =1, x = 3處的瞬時變化率。例5、設(shè)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動，已知路程s是時間t的函數(shù) 3t2 2t 1。(1) 求從t =2到t =2 氏的平均速度，并求當(dāng) 迸=1, 4 = 0.1r 4 =0.01時的平均速度；(2) 求當(dāng)t =2時的瞬時速度。例6、求函數(shù)y = 3x2 x在x = 1處的瞬時變化率知識點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的概念復(fù)習(xí)：設(shè)函

6、數(shù)y = f(x)，當(dāng)自變量x從xo變到xi時，函數(shù)值從f(x0)變到f(xj，函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率y _ f (xj - f (Xo) _ f (Xo：x) - f(X。)xXiX。x當(dāng)Xi趨于Xo,即厶X趨于0時，如果平均變化率趨于一個固定的值(這個值稱為：當(dāng)Xi趨于Xo時，平均變化率的極限)，那么這個值就是函數(shù) y = f (X)在點(diǎn)xo的瞬時變化率。導(dǎo)數(shù)的定義：在數(shù)學(xué)上，稱瞬時變化率為函數(shù)y = f (X)在點(diǎn)Xo的導(dǎo)數(shù)，通常用符號(X。)表示，記作f(Xi)-f(Xo)f(Xo：X)-f(Xo)f (Xo) = xmxo 二iim。例1、一條水管中流過的水量 y (單位：m3)

7、是時間X (單位：S)的函數(shù)y=f(x)=3x。求函數(shù)y = f (x)在x=2 處的導(dǎo)數(shù)f (2)，并解釋它的實(shí)際意義。例2、一名食品加工廠的工人上班后開始連續(xù)工作，生產(chǎn)的食品量y (單位：kg)是其工作時間x (單位：h)的函數(shù)y = f(x)。假設(shè)函數(shù)y = f(x)在x=1和x=3處的導(dǎo)數(shù)分別為f (1) = 4和f (3) = 3.5，試解釋它們的實(shí)際意義。例3、服藥后，人體血液中藥物的質(zhì)量濃度 y(單位：卩g/mL)是時間t (單位：min)的函數(shù)y=f(t)，假設(shè)函數(shù)y = f (t)在t=10和t=100處的導(dǎo)數(shù)分別為f (10) =1.5和f (100) =0.6，試解釋它們

8、的實(shí)際意義。總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法步驟:1、求函數(shù)的變化率Ly二f(X。，_x) - f (Xo)2、求函數(shù)的平均變化率知識點(diǎn)三3、求極限設(shè)函數(shù)y二f (x)在Xo, Xo+ X的平均變化率為二，如右圖所示，它是過A (Xo， f (Xo) )和 B (xo + x,f (xX)兩點(diǎn)的直線的斜率。這條直線稱為曲線y = f(X)在點(diǎn)A處的一條割線。如右圖所示，設(shè)函數(shù) y = f (x)的圖像是一條光滑的曲線，從圖像上可以看出：當(dāng) x取不同的值時，可以得到不同的割線；當(dāng) x趨于0時，點(diǎn)B將沿著曲線y二f (x)趨于點(diǎn) A害熾AB將繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動最 后趨于直線l。直線I和曲線y二f (

9、x)在點(diǎn)A處相切”，稱直線I為曲線y二f (x)在點(diǎn) A處的切線。該切線的斜率就是函數(shù) y = f (x)在xo處的導(dǎo)數(shù)f (x0)。函數(shù)y = f (x)在xo處的導(dǎo)數(shù)，是曲線 y二f (x)在點(diǎn)(xo, f (x0)處的切線的斜率。 函數(shù)y二f (x)在xo處切線的斜率反映了導(dǎo)數(shù)的幾何意義。1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：f (x + Ax) f (x )函數(shù)y=f(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)(X), f(X)處的切線的斜率，即f(xo)= |jm.=k-0求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；求出函數(shù)在點(diǎn)xo處的變化率f (xo) = lim f (Xo *x) 一 f (Xo)二

10、k ，得到曲線在點(diǎn)(x(), f (x0)的切線的斜率;利用點(diǎn)斜式求切線方程2、導(dǎo)函數(shù)：由函數(shù)f(x)在x=xo處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，當(dāng)時,f (xo)是一個確定的數(shù)，那么，當(dāng)x變化時 便是x的一個函數(shù)，我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作：f (x)或y ,f(X Ax) - f (x)即：f (x) =y m注：在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).3、函數(shù)f(x)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù)f (Xo)、導(dǎo)函數(shù)f (x)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。(1)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) f (Xo)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不 是變數(shù)。(2) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言

11、的， 就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)(3) 函數(shù)f (X)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù)f(Xo)就是導(dǎo)函數(shù)f(X)在X=Xo處的函數(shù)值，這也是 求函數(shù)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù)的方 法之一。22例1、已知函數(shù)y = f(X)二X , X0= 2。( 1)分別對 x=2, 1, 0.5求y = X在區(qū)間Xo, Xo+ x上的平均變化 率，并畫出過點(diǎn)(Xo, f (Xo)的相應(yīng)割線；(2)求函數(shù)y =x2在xo = 2處的導(dǎo)數(shù)，并畫出曲線2y = X在點(diǎn)(一2, 4)處的切線。3例2、求函數(shù)y二f (x) = 2x在x=i處的切線方程。切線與導(dǎo)數(shù):1 .割線及其斜率：連結(jié)曲線 C上的兩點(diǎn)的直線 PQ叫曲線C的割線,設(shè)曲線C上

12、的一點(diǎn)P(x, f (x)，過點(diǎn)P的一條割線交曲線C于另一點(diǎn)Q(x =x, f(x rx)，則割線PQ的斜率為,f(x+x) f(x)f(x+Ax) f(x)kpQ =(X。+Ax) -Xo切線的定義：隨著點(diǎn)Q沿著曲線C向點(diǎn)P運(yùn)動，割線PQ在點(diǎn)P附近越來越逼近曲線 C。當(dāng)點(diǎn)Q無限逼近點(diǎn)P時,直線PQ最終就成為在點(diǎn) P處最逼近曲線的直線l，這條直線l也稱為曲線在點(diǎn) P處的切線;切線的斜率：當(dāng)點(diǎn) Q沿著曲線C向點(diǎn)P運(yùn)動，并無限靠近點(diǎn) P時，割線PQ逼近點(diǎn)P處的切線丨，從而割線的斜率逼近切線丨的斜率，即當(dāng) 伙無限趨近于0時，-f (xx f (x)無限趨近于點(diǎn)P(x, f(x)處的切線的斜率.例1.

13、已知曲線y =x2, (1)判斷曲線P(1,1)在點(diǎn)P處是否有切線，如果有，求切線的斜率，然后寫出切線的方程.(2)求曲線y = f(x)在x=2處的切線斜率。例2 .已知f(x)i2x_2，求曲線y二f(x)在x=1處的切線的斜率.例3 已知曲線方程，求曲線在P(2, -1)處的切線方程.1 -x知識點(diǎn)5導(dǎo)數(shù)的幾何意義專題訓(xùn)練例1、在曲線y= 3上求一點(diǎn)P使得曲線在該點(diǎn)處的切線滿足下列條件：x（1）平行于直線 y = x + 1;（2）垂直于直線 2x 16y + 1 = 0;（3）傾斜角為135。例2、求曲線y = f （x） = x3 1過（1, 1）點(diǎn)的切線的斜率。總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)的幾何

14、意義求曲線y = f （x）在x =x0處切線方程的步驟：（1 ）已知曲線的切點(diǎn) P（xo，y。）求出函數(shù)y二f（x）在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)f（x。）；根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為y-y0 = f（X0）（X-X。）。（2）過曲線外的點(diǎn)P（X1，yJ設(shè)切點(diǎn)為（Xo,y。），求出切點(diǎn)坐標(biāo)； 求出函數(shù)y二f（x）在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)f（X。）； 根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為yy。二f（X0）（X - X。）。課后作業(yè)課后訓(xùn)練與提咼1、在平均變化率的定義中，自變量的增量 次是（ ）A . LX 0 B . L x :： 0C. = x=0D .二 x=02、 設(shè)函數(shù)y = f x，當(dāng)自變量x由x0改變到x。,x時，函數(shù)的改變量y是（ ）A . fX。二X B. fX。：=XC. fX。：=XD. fX。二X - fX。3、 已知函數(shù)f X；=2