1、1 / 16專題27帶電粒子在有界磁場中運動軌跡特點及臨界問題:專題概述1.帶電粒子在有界勻強磁場中運動時的常見情形2.帶電粒子在有界磁場中的常用幾何關系(1)四個點：分別是入射點、出射點、軌跡圓心和入射速度直線與出射速度直線的交點.(2)三個角：速度偏轉角、圓心角、弦切角，其中偏轉角等于圓心角，也等于弦切角的2 倍.:典例精講1 .直線邊界磁場的臨界、極值問題典例 1:平面0M和平面ON之間的夾角為 30,其橫截面(紙面)如圖所示，平面0M上方存在勻強磁場，磁 感應強度大小為B,方向垂直于紙面向外。一帶電粒子的質量為m電荷量為q(q0)。粒子沿紙面以大小為v的速度從0M的某點向左上方射入磁場

2、，速度與0M成 30角。已知該粒子在磁場中的運動軌跡與ON只有一個交點，并從0M上另一點射出磁場。不計重力。粒子離開磁場的出射點到兩平面交線0的距離為()mvA.-B.3mvC.2mv4mvD.2qBqBqBqB【答案】D【解析】帶電粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑r=mV軌跡與0N相切，畫出粒子的運動軌跡如圖所2 / 16示，由于AD=2rsin 30=r，故A0 D為等邊三角形，/0 DA=60，而/M0比 30，則/0C90,3 / 16“4mv ,心=2C*4r=萌，故D正確。2.圓形磁場的臨界、極值問題典例 2:如圖所示，豎直放置的平行金屬板A B間電壓為U,在B板右側CDM矩形區域

3、存在豎直向下的勻強電場,DM邊長為L, ,CD邊長為為止止, ,緊靠電場右邊界存在垂直紙面水平向里的有界勻強磁場,磁場左右邊界為同心圓,圓心O在CDM矩形區域的幾何中心,磁場左邊界剛好過M N兩點.質量為m電荷量為+q的帶電粒子 從A板由靜止開始經A、B極板間電場加速后，從邊界CD中點水平向右進入矩形區域的勻強電場，飛出電場后進入勻強磁場當矩形區域中的場強取某一值時，粒子從M點進入磁場，經磁場偏轉后從N點返回電場區域且粒子在磁場中運動軌跡恰與磁場右邊界相切，粒子的重力忽略不計，取 sin37 =0.6,cos37 =0.8.(1)求粒子離開B板時的速率V1.(2)求磁場右邊界圓周的半徑R.(3

4、)將磁感應強度大小和矩形區域的場強大小改變為適當值時，粒子從MN間飛入磁場，經磁場偏轉返回電場前,在磁場中運動的時間有最大值,求此最長時間tm.M目刑【答案】_ (2) UL(3)_【解析】(1)粒子從A到B的加速過程中，由動能定理有故CO D為一直線,0 亠s-3CDsin 304 / 16(2)如圖所示,粒子剛好沿著磁場右邊界到達N點5 / 16xOy,在第I象限內有平行于y軸的勻強電場，方向沿y軸正方向；在第W象限的正三角形abc區域內有勻強磁場，方向垂直于xOy平面向里，正三角形邊長為L,且ab邊與y軸平行。一質量為m電荷量為q的粒子，從y軸上的P(0 ,h)點，以大小為vo的速度沿x

5、軸正方向射入電場，通過電場后從x軸上的a(2h, 0)點進入第W象限，又經過磁場從y軸上的某點進入第川象限，且速度與y軸負方向成 45角，不計粒子所受的重力。求：貝 yR扌療挖MT+r,運動時間也最長;粒子從不同點離開電場，在磁場中運動軌跡與右邊界相切時弧長最長,且當矩形區域場強為零時，粒子進入磁場時速度最小,粒子在磁場中運動的時間最長,則3.三角形磁場的臨界、極值問題典例 3:如圖所示的平面直角坐標系解得t6 / 16(2) 粒子到達a點時沿y軸負方向的分速度vy=at=vo所以v =7v2+v：=2vo方向指向第W象限與x軸正方向成 45角。(3) 粒子在磁場中運動時，有2vqvB=mr當

6、粒子從b點射出時，磁場的磁感應強度為最小值，此時有 三總結提升 由于帶電粒子往往是在有界磁場中運動，粒子在磁場中只運動一段圓弧就飛出磁場邊界，其軌跡不是完整 的圓，因此，此類問題往往要根據帶電粒子運動的軌跡作相關圖去尋找幾何關系，分析臨界條件，然后應 用數學知識和相應物理規律分析求解.(1)電場強度E的大小;(2)粒子到達a(3)abc區域內磁場的磁感應強度B的最小值。mvl2mv【答案】 2qh(2).2v0方向指向第w象限與x軸正方向成 45。角(3)q匸【解析】設粒子在電場中運動的時間為爲貝精1-21-2麻立以上各式可得朋r=覽，所以B=7 / 16(1) 兩種思路一是以定理、定律為依據

7、，首先求出所研究問題的一般規律和一般解的形式，然后再分析、討論臨界條件 下的特殊規律和特殊解；二是直接分析、討論臨界狀態，找出臨界條件，從而通過臨界條件求出臨界值.(2) 兩種方法一是物理方法：1利用臨界條件求極值；2利用問題的邊界條件求極值；3利用矢量圖求極值.二是數學方法：1利用三角函數求極值；2利用二次方程的判別式求極值；3利用不等式的性質求極值；4利用圖象法等.從關鍵詞中找突破口：許多臨界問題，題干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不 脫離”等詞語對臨界狀態給以暗示審題時，一定要抓住這些特定的詞語挖掘其隱藏的規律，找出臨界條 件.四提升專練1.(多選)在xOy平面上以0

8、為圓心、半徑為r的圓形區域內， 存在磁感應強度為B的勻強磁場， 磁場方向 垂直于xOy平面.一個質量為m電荷量為q的帶電粒子，從原點0以初速度v沿y軸正方向開始運動，經x軸上的P點，此時速度與x軸正方向成e角，如圖所示.不計重力的影響，則下列關系一定成立的是(時間t后經過8 / 16A.若B.若2mv2mv n mr ，則tqBqB則 oe0）的粒子以速率Vo沿橫截面的某直徑射入磁場，離開磁場時速度方向偏離入射方向60 .不計重力，該磁場的磁感應強度大小為（）.B.mv3qRqR仗 mvC. iD.3mv【答案】A【薛析】如團所示,徑蠱tan鎖T二詬&解得占=7 說役選頂必正確5.（多

9、選）如圖所示,以直角三角形AOC為邊界的有界勻強磁場區域，磁感應強度為B/A=60,AO=L在O點【答案】ADR,磁場方向垂直于橫截面.一質量為m電粒子在晞場中即洌*畔據幾何關系，粒子在嶺場中的軌道半放置一個粒子（不計重力作用）,粒子的比荷為,發射速度大小都為V0,且滿足V0=_.粒子發射方向與OC邊的夾角為0.對于粒子進入磁場后的運動，下列說法中正確的是A.粒子有可能打到A點B.C.D.以 0=60飛入的粒子在磁場中運動時間最短以0ea23 / 162n m2n mT+ T2設電子在y軸右側和左側做圓周運動的周期分別為T和T2,則Ti=,丁2=苞 ,t=k 廠11.如圖所示，兩個同心圓，半徑

10、分別為r和 2r，在兩圓之間的環形區域內存在垂直紙面向里的勻強磁場,磁感應強度為B圓心O處有一放射源，放出粒子的質量為m帶電量為q,假設粒子速度方向都和紙面平行。(1)圖中箭頭表示某一粒子初速度的方向，0A與初速度方向夾角為 60,要想使該粒子經過磁場后第一次通過A點，則初速度的大小是多少?(2)要使粒子不穿出環形區域，則粒子的初速度不能超過多少?【答案】魯聲【解祈如團申所示設粒子在腐場中的軌道半徑為乩則由幾何關系得局二亨2k（ri2）=a,解得B2=2kmvB2kmvaeB解得t=2k n meBin a2vo甲究卵遊=24 / 16侍闕一琢(2)如圖乙所示，設粒子軌跡與磁場外邊界相切時，粒

11、子在磁場中的軌道半徑為艮，則由幾何關系有25 / 164171故要使粒子不穿出環形區域粒子的初速度不能超過鬻二x軸和y軸上，/OCAF30,0A的長度為1。在厶OCA區域內有垂直于xOy m電荷量為q的帶正電粒子，以平行于y軸的方向從0A邊射入磁場。已知(1)求磁場的磁感應強度的大小;(2)若粒子先后從兩不同點以相同的速度射入磁場，恰好從0C邊上的同一點射出磁場，求該粒子這兩次在磁場中運動的時間之和；5(3)若粒子從某點射入磁場后，其運動軌跡與AC邊相切， 且在磁場內運動的時間為3to,求粒子此次入射速度的大小。n m3n L【答案】(1)2q(2)210(3)一2qt07t0【解析】(1)粒子在磁場中做勻速圓周運動，在時間to內其速度方向改變了 90,故其周期T= 4to2設磁感應強度大小為B,粒子速度為v,圓周運動的半徑為r,由洛倫茲力公式和牛頓定律得qvB=niy12.如圖，A C兩點分別位于平面向里的勻粒子從某點射入時，恰好垂直于0C邊射出磁場，且粒子在磁場中運動的時間為to。不計重力。乙26 / 16勻速圓周運動的速度滿足v=竿聯立式得B=2qrzqio設粒子從0A邊兩個不同位置射入磁場，能從0C邊上的同一點P射出磁場，粒子在磁場中運動的軌跡如圖所示。圖(a)設兩軌跡所對應的圓心角分別為ei和e2。由幾何關系有： 齊=180