1、第四節 對面積的曲面積分4.1學習目標了解對面積的曲面積分的概念、性質，掌握對面積的曲面積分的計算方法，會用曲面積分求一些幾何量與物理量 .4.2內容提要1.定義 設函數f x, y,z在光滑曲面上有界，將曲面任意分成 n 小塊s(Si也表示第i小塊曲面的面積)，在Si上任取一點Mi(i,i, J，作乘積f(i,i,i) Si n(i 1,2,L ,n)，并作和fi,i,isi，記各小曲面直徑的最大值為，如果對曲i 1面的任一分法和點(i,i,i)的任意取法，當0時，上述和式的極限都存在且相等，則稱此極限值為函數f x,y,z在曲面上對面積的曲面積分或第一類曲面積分，記nf(x, y,z)dS

2、lim0 i 1f (i,i,i) S【注】定義中的“Si”是面積元素，因此，Si0.2性質f(x,y,z)dSf(x,y,z)dS f(x, y,z)dS;1 2當被積函數為 1 時，積分結果在數值上等于曲面的面積S，即f (x, y, z)dS S.3.對面積的曲面積分的計算在xoy面上的投影區域為Dxy,函數z z x, y在關于曲面具有可加性，若12，且1與2沒有公共的內點，則設曲面 由z z x, y給出,Dxy上具有連續偏導數，被積函數f (x, y,z)在 上連續，則f (x, y,z)dSf(x, y,z(x,y)h 1dxdy同樣地Dxy:x x y,zf (x, y, z)

3、dSDyzx y,z , y,zdydz,24對面積的曲面積分的應用曲面的質量x, y, z dS.4.3典型例題與方法基本題型 I :計算對面積的曲面積分1128故應填3*選擇題2a (zo),1為 在第一卦限中的部分，則有():y y z,xf(x,y,z)dSf x, y z,x ,zDxz2y1 yxdzdx.設曲面上任意一點x, y, z處的面密度是x, y, z曲面的質心x,y,zx,y,zdS,x,y,zdSz x, y, z dS曲面的轉動慣量2yIxx,y,zdSIyx, y, z dS ,Izx,y,z dS,Iox, y,z dS.填空題2 2 2 / 2:x y z 4

4、，則o(x2y )dS而積分在由積分區域的對稱性知上進行,x22 2乙x dSy dS ?2 222乙X y )dS - (xz24，代入上式得,z2dSz2)dS.2(A)xdS4 xdS； (B)1ydS 4 xdS.;(C)zdS4 xdS; ( D)1xyzdS4 xyzdS1解因為曲面是上半球面，yoz面對稱且被積函數fi(x, y,z) x，f2(x, y, z) xyz都是變量x的奇函數，于是xdS xyzdS 0.類似地， 關于xoz10(、2 1) (x2Dy2)dxdy(1例 5 計算z2dS，其中為x24介于z 0,z6之間的部分.面對稱且f3(x, y,z) y是變量y

5、的奇函數，于是ydS 0.而xdS 0, xyzdS 0,1 1故應選(C).事實上，由對稱性，zdS 4zdS,zdS xdS,(0正確.1 1 1【方法點擊】 在計算對面積的曲面積分時，應注意下列技巧：(1)利用對稱性，但要注意，曲面關于某坐標面對稱，被積函數關于相應變量具有 奇偶性，兩者缺一不可.(2)利用積分曲面的方程化簡被積函數.例 3 計算曲面積分(2x 2y z)ds，其中 是平面2x 2y z 20被三個坐標面所截下的在第一卦限的部分D : 0 x 1,0 y2zy dxdy*2dxdy,圖4-1解法2x2y,Zx2,Zy2.在xoy平面上的投影是三角形，記為(2x 2y z)

6、ds2g. 1 zx2Zy2dxdyD6dxdy 3.解法(2x 2y z)ds 2dS 2g2223.【方法點擊】在解法二中，將曲面方程代入到了曲面積分里,形，最后用到了三角形的面積公式 .例 4 計算I (x2y2)dS,因為積分曲面是一個三角為立體x2y2z1的邊界.【分析】根據積分曲面的方程,分轉化為投影區域上的二重積分進行計算.確定投影區域，計算曲面面積微元dS，將曲面積1為錐面zX2y2,0 z 1，在1上,1部分，在2上，dS dxdy,在xOy面的投影區域為D : x1，所以2 2 2I(x y )dS+(x1)dS【分析】 積分曲面如圖 11-13 所示，此積分為對面積的曲面

7、積分，積分曲面關于圖4-2【注】該題不能將積分曲面向xoy面作投影，因為投影為曲線，不是區域.基本題型 II :對面積的曲面積分的應用1例 6 求物質曲面S:z (x2y2)(0 z 1)的質量，其面密度z(x,y,z) S).2解S在xoy平面上的投影區域D : x2y2(、2)2.于是，所求質量為M1(x2y2)dS1(x2y2)., 1 x2y2dxdy2 2D例 7 試求半徑為R的上半球殼的質心，已知其各點的密度等于該點到鉛錘直徑的距離.解 以球心為原點，鉛錘直徑為z軸建立直角坐標系，則球面方程為x2y2z2R2,xoz面，yoz面對稱，被積函數是偶函數，則有z2dS=4 z2dS，故

8、可利用對稱性解之1解設1:x.4 y2,其在yoz面的投影域為Dyz:2 2 22z dS=4 z dS=4z -dzdy1Dyz.4 y46z2dz0dy288y【分析】 積分曲面如圖 11-13 所示，此積分為對面積的曲面積分，積分曲面關于且任意點M (x, y, z)處的密度為.x2y2.設球殼的質心坐標為(x, y, z)，由對稱性知，x y 0.z dS22于是球殼的質量為 其中D為 在xoy面上的投影域：x2y2R2.利用極坐標計算上述二重積分，得 而-R4-3R4R4R故z12 3丁，于是半球殼的質心坐標為(，).-2R33324.4 教材習題解答1.有一個分布著質量的曲面，在點

9、(x,y,z)處它的面密度u(x,y,z)，用對面積的曲面積分表示這曲面對于x軸轉動慣量。解：假設u(x,y, z)在曲面 上連續，應用元素法，在曲面上任取一直徑很小的曲面塊dS，設(x,y,z)使曲面塊dS內的一點，則由曲面塊dS很小，u(x, y,z)的連續性可知， 曲面塊dS的質量近似等于u(x,y, z)dS，這部分質量可近似看作集中在點(x, y, z)上，該 點到x軸的距離等于x2y2,于是曲面對于x軸的轉動慣量為：2 2 2 2dIx(z y)u(x,y,z)dS，所以轉動慣量為： 匚(y z )u(x,y,z)dS2按對面積的曲面積分的定義證明公式f (x, y, z)dS f

10、 (x, y, z)dS f (x, y,z)dS，其中 由1和2組成1 2證明：因為f(x, y,z)在曲面上對面積的積分存在，所以不論把曲面怎樣分割，積分和總保持不變，因此在分割曲面時，可以永遠把1和2的邊界曲線作為分割線，從而保證Si整個位于1上，于是 上的積分和等于1上的積分和加上2上的積分和，即令各小塊的直徑的最大值趨向于0,去極限得到：f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS1 23.當 時xoy面內的一個閉區域D時，曲面積分f (x,y,z)dS和二重積分有什么關系。解：當時xoy面內的一個閉區域D時， 在xoy上的投影區域即為D, 上的f (x, y,z

11、)恒為f (x, y,0)，并且ZxZy0,所以f(x,y,z)dS f (x, y,0)dxdy,即曲面積分與二重積分相等。其中x2y2,dSdxdy yRR2=x2=y2dxdy為上半球面Z29934計算曲面積分x, y,zdS，其中 為拋物面z 2 x y在xoy面上方的部分，f x, y, z分別如下:(2)f x, y,zx2(3)f x,y,z 3z.x, y, zdS=2Zydxdy，其中Dxy為在xoy面上Dxy的投影區域，即r22cDxy: x y 2x, y, zdS=2xDxyy21 4(x2)dxdy149305.(3)32Dxy計算(1)錐面(2)錐面影區域均為x,

12、y,zdS2 2 2 2x y 1 4(x y )dxdy203d11110z2y2dS，其中 是: x2y2及平面z3(x2y2)被平面中屬于錐面部分為Dxy:x2y21z 0，所以1所圍成的區域的整個邊界曲面z 0和z 3所截部分。1，上底面部分為2，而1與2在xoy面上的投x2y2dS=x2y2dSx2y2dS(2)所截的錐面為：z、3 x2y2(Dxy：x23)，所以(x2y2)dS2 22(x y )dxdyDxy6計算下列對面積的曲面積分:4x(z 2x3y)dS，其中為平面2-1在第一卦限中的部分441 ( 2)2( -)2dxdy迺dxdy33dS ,1 ( 2)2( 2)2dxdy 3dxdy其中 為球面x2y2z2a2上z h(0 h a)的部分有限部分.解dS1x2xy22一2y2dxdy 2dxdy x ya2x2y2，dS-(/ -)2(2ja x y 2ja2y2x2)2dxdyy(4)(xy yz zx)dS，其中 為錐面z x2y2被柱面x22ax所截得的7.求拋物