1、圓錐曲線的方程與性質(zhì)1.橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a （大于IF1F2I）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離2c叫橢圓的焦距。若 M為橢圓上任意一點(diǎn)，則有|MF1 I |MF2 I 2a。上）。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:22Xy22ab0）（焦點(diǎn)在x軸上）2y2a2XP 1 （ a b 0 ）（焦點(diǎn)在y軸b2注：以上方程中a,b的大小a b 0,其中b21兩個(gè)方程中都有a0的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看X2和y2的分母的大小。例如橢圓2ynn）當(dāng)m n時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng) m n時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)X2范圍

2、：由標(biāo)準(zhǔn)方程a1知|X| a，|y| b，說(shuō)明橢圓位于直線 X a，b所圍成的矩形里;對(duì)稱性：在曲線方程里,若以y代替y方程不變，所以若點(diǎn)（X, y）在曲線上時(shí),（X, y）也在曲線上,所以曲線關(guān)于X軸對(duì)稱，同理，以X代替X方程不變，則曲線關(guān)于 y軸對(duì)稱。若同時(shí)以X代替X， y代替y方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。所以，橢圓關(guān)于X軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心; 頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與X軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令X 0，得y b，則B1（0, b）， B2（0,b）是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理

3、令y 0得X a，即A（ a,0），A2（a,0）是橢圓與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段 AA、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別為2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為a ；在Rt OB2F2中,I OB2 I b , |OF2 I c , I B2F2 I a，且 |OF2 I2 I B2F212 IOB2 I2，即 c2 a2 b2 ；c離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比e 叫橢圓的離心率。.a c 0, 0 e 1，且e越接近1, c就a越接近a，從而b就越小，對(duì)應(yīng)的

4、橢圓越扁；反之，e越接近于0, c就越接近于0 ,從而b越接近于a，這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng) a b時(shí)，c 0，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x22.雙曲線(1)雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線(|PFi| |P F2II 2a ）。注意：式中是差的絕對(duì)值，在0 2a | F1F2 |條件下；|PF, | I PF2 | 2a時(shí)為雙曲線的一支；|P F2| |P hl 2a時(shí)為雙曲線的另一支(含 F,的一支)；當(dāng)2a|F1F2| 時(shí)，II PFjI |P F2| 2a 表示兩條射線；當(dāng)2a I F1F21時(shí),IIP Fi| I PF2II2a不表示任何圖

5、形；兩定點(diǎn) Fi,F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，I FiF2 I叫做焦距。(2)雙曲線的性質(zhì)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程2x2a看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線x a的外側(cè)。即對(duì)稱性:X2是雙曲線缶aa即雙曲線在兩條直線 xa的外側(cè)。22雙曲線 x2 乂1關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸,a b2爲(wèi) 1的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心。b2頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線2 x 2 a2與 1的方程里，對(duì)稱軸是b2原點(diǎn)x,y軸，所2 21的頂點(diǎn)。以令y 0得x a，因此雙曲線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn) A ( a,0)A2(a,0)，他們是雙曲線 仝亍

6、匕a b令x 0,沒(méi)有實(shí)根，因此雙曲線和 y軸沒(méi)有交點(diǎn)。，雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)）端點(diǎn)。2）實(shí)軸：線段 A A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于2a,a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸：線段B B?叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于 2b,b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。 漸近線：注意到開(kāi)課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從2 2圖上看，雙曲線 爲(wèi) 與 1的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。a b 等軸雙曲線:1）定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a b ；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1 ）漸

7、近線方程為：y x ； （2）漸近線互相垂直。注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征22b，則等軸雙曲線可以設(shè)為：x y（0），當(dāng) 0時(shí)交點(diǎn)在x軸,0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上。2 2注意L16921與y-92x161的區(qū)別：三個(gè)量a,b,c中a,b不同（互換）c相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了。3.拋物線(1)拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn) F和一條定直線I的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線（定點(diǎn)F不在定直線I上）。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線 I叫做拋物線的準(zhǔn)線。2方程y 2 px P 0叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注

8、意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（衛(wèi)，0 ），它的準(zhǔn)線方程是 x2（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：y2 2px , x2 2py , x22py.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如說(shuō)明：(1)通徑：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑;(2)拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對(duì)稱軸，無(wú)對(duì)稱中心，沒(méi)有漸近線;(3)注意強(qiáng)調(diào)P的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。4.高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分知識(shí)點(diǎn)梳理、方程的曲線:在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(

9、看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=O 的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點(diǎn)與曲線的關(guān)系：若曲線 C的方程是f(x,y)=0 ，則點(diǎn)Po(x o,y 0)在曲線C上 f(x o,y o)=0 ;點(diǎn)Po(x o,y o)不在曲線 C 上f(x o,y o)豐 O。兩條曲線的交點(diǎn)：若曲線Ci,C2的方程分別為fi(x,y)=O,f2(x,y)=O,則點(diǎn)Po(x o,yo)是C,C2的交點(diǎn) fi(xo,yo)f2(xo,yo)O方程組有n個(gè)

10、不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有 n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，曲線就沒(méi)O有交點(diǎn)。二、圓:1、定義：點(diǎn)集 Mil 0M| =r,其中定點(diǎn) O為圓心，定長(zhǎng)r為半徑. . . . 2 2 22、 方程：(1)標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心在 c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a) +(y-b) =r圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為 r的圓方程是x.到兩定點(diǎn)F1 ,F 2的距離之和為定值2a(2a>|F 1F2I)的點(diǎn)的軌跡 .與定點(diǎn)和直線的距離之 比為定值e的點(diǎn)的軌跡.+y2=r2(2) 一般方程：當(dāng)D2+E2-4F > 0時(shí),元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為|)半徑是 Jd

11、2 E2 4F2。配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+ D ) 2+(y+ 旦)2= D 2 E 2 - (0<e<1)F224當(dāng) D2+E2-4F=O 時(shí),方程表示一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)M在圓當(dāng)D2+E2-4F < 0時(shí)，方程不表示任何圖形.C內(nèi)，1(3) 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x o,y 0)，則I MC| < rMCI =r 點(diǎn) M在圓 C上，I MCI > r 點(diǎn) M在圓 C內(nèi)，其中 I MC| =J(x0 - a)2 (y0 -b)2 。有兩個(gè)公共點(diǎn)；直(4)直線和圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相切、相離三種位置

12、關(guān)系：直線與圓相交 線與圓相切有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相離沒(méi)有公共點(diǎn)。直線和圓的位置關(guān)系的判定： (i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d 壓Bb C yfArB2與半徑r的大小關(guān)系來(lái)判定。三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義:平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn) P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過(guò)這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線I的距離之比是一個(gè)常數(shù)e(e> 0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù) e稱為離心率。當(dāng)0< e< 1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng) e=1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng) e> 1時(shí)，軌跡為雙曲線。四、橢圓、雙曲線、拋

13、物線:橢圓雙曲線拋物線定義與定點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡.1. 到兩定點(diǎn)Fi,F 2的距離之差的 絕對(duì)值為定值2a(0<2a<|F 1F2I)的點(diǎn)的軌跡2. 與定點(diǎn)和直線的距離之比為 定值e的點(diǎn)的軌跡.(e>1)軌跡條件點(diǎn)集：(M II MF+ I MF I=2a, I F 1F2 I < 2a.點(diǎn)集：MII MF I - I MF I .=± 2a, I F2F2 I > 2a.點(diǎn)集M I I MF I =點(diǎn)M到直線I的距離.圖形 1j.| 12 2紅 y_2 .2 a b0.共漸近線的雙曲線系方程:2 X2 a2J （0）的漸近線方程為b22 X2

14、 a2y-0如果雙曲線的漸近線為b2方 程標(biāo)準(zhǔn)方程X2y21( a b>0)a2 b22 21(a>0,b>0)a2 b2y22 px參數(shù)方程X acos y bsi n（參數(shù)為離心角）X asec y bta n（參數(shù)為離心角）2x 2 pt (t為參數(shù)) y 2pt范圍a X a, b y b|X|a , y RX 0中心原點(diǎn)0( 0, 0)原點(diǎn)O (0, 0)頂點(diǎn)(a,0), ( a,0),(0,b) , (0, b)(a,0), ( a,0)(0,0)對(duì)稱軸X軸，y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,短軸長(zhǎng)2bX軸，y軸； 實(shí)軸長(zhǎng)2a,虛軸長(zhǎng)2b.X軸隹占八、八、Fi(c,0), F2(

15、 c,0)F1(c,0), F2( c,0)F (衛(wèi),0)2準(zhǔn)線2X= ± c準(zhǔn)線垂直于長(zhǎng)軸，且在橢圓外.2,a x= ± c準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè).x=-衛(wèi)2準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)， 且到頂點(diǎn)的距離相等.焦距2c (c= Ja2 b2)/ 2 .22c(C八 ab )離心率e c(0 e 1)ae -(e 1) ae=1【備注1】雙曲線:等軸雙曲線：雙曲線 X2 y a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y X，離心率e 氐叫做已知雙曲線的共軛雙曲線共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸， 實(shí)軸為虛軸的雙曲線,2 2每互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線:a2 b22

16、它的雙曲線方程可設(shè)為L(zhǎng)2 a2b2( 0).【備注2】拋物線:(1)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(B,0)，準(zhǔn)線方程x=- p，開(kāi)口向右；拋物線y2 =-2px(p>0)的焦點(diǎn)坐，準(zhǔn)線方程x=-p，開(kāi)口向左；拋物線x2=2py(p>0)2標(biāo)是(-,0)2口向上；拋物線x2=-2py (p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,- P ),準(zhǔn)線方程y= 2 2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，自，準(zhǔn)線方程y=，開(kāi)，開(kāi)口向下.(2)拋物線y2 =2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離 MFp2X0 上；拋物線 y =-2px(p>0)上的點(diǎn) M(x0,y0)2與焦點(diǎn)F

17、的距離MFp.2Xo(3)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=2px(p>0)，則拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為衛(wèi)，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離衛(wèi),焦點(diǎn)2 22 2到準(zhǔn)線的距離為p.(4)已知過(guò)拋物線2y =2px (p >0)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則線段AB稱為焦點(diǎn)弦，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)則弦長(zhǎng)AB =x1X2+P 或 AB蘭L( a為直線AB的傾斜角)，ymsin2p2, X1X22,|af4Xi叫做焦半徑).五、坐標(biāo)的變換:(1)坐標(biāo)變換：在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，

18、僅僅只改變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程(2)坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位不改變，只改變?cè)c(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡(jiǎn)稱移軸。(3)坐標(biāo)軸的平移公式：設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M,它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(x,y)中的坐標(biāo)是(x', y').設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O'在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則J X1 y，在新坐標(biāo)系xx' hx'或y' ky'0' y'叫做平移(或移軸)公式.(4)中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程見(jiàn)下表:方程焦點(diǎn)焦線對(duì)稱軸橢圓(x-h)2 +(y-k)22.21ab(± c

19、+h,k)2,a x= ± +h cx=hy=k(x-h)2 +(y-k)212+2=1ba(h, ± c+k)2,a , y= ± +k cx=hy=k雙曲線(X-h)2(y-k)2 =12 .2ab(± c+h,k)2丄a,x= ±+kcx=hy=k(y-k)2 _ (X-h)2=12 . 21ab(h, ± c+h)2,a , y= ±+kcx=hy=k拋物線2(y-k) =2 p(x-h)(-+h,k)2x=-衛(wèi) +h2y=k2(y-k)=-2 p( X-h)(-E +h,k)2x+h2y=k(x-h) 2=2p(y

20、-k)(h,衛(wèi) +k)2y=-衛(wèi) +k2x=h2(x-h) =-2 p(y-k)(h,- E +k)2y= +k2x=h六、橢圓的常用結(jié)論:1. 點(diǎn)P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2. PT平分 PF仆2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離4.5.2X若P0(X0,y0)在橢圓a2占 1上，則過(guò)F0的橢圓的切線方程是2baXoXYcyb21.6.X2若P0(X0, y0)在橢圓一2a2b，1外，則過(guò)R作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P、P2,則切點(diǎn)弦PP的直線方程是X0Xab21.7.2b-1

21、(a > b > 0)的左右焦點(diǎn)分別為Fi, F2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)F1PF2，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為S F1PF2b2ta n .22(a > b > 0)的焦半徑公式8. 橢圓a|MFi | a eXo,|MF2| a exo( Fi( c,0) , F2(c,0) M (x。，y。).9. 設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，貝y ME! NF.AiP和 AQ交于點(diǎn) M A2P和AiQ10. 過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn) P、Q, A1、A為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，

22、交于點(diǎn)N,貝y MFL NF.2X11. AB是橢圓a2 y b21的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(X0,y0)為AB的中點(diǎn)，則kOM kABK AB12.若P0(x0,y0)在橢圓2X2a2b 1內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是X0Xa2X02ay。2b X0。a y。【推論】：2X仁若P0(X0, y0)在橢圓2a22當(dāng) 1內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 篤 ba2 y b2X0X2a2X2。橢圓一2bayoy(a>b>o)的兩個(gè)頂點(diǎn)為Ai( a,0) , A2(a,0)，與y軸平行的直線交橢圓于Pi - Pa時(shí)APi與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程1.2yb222、過(guò)橢圓篤a2 y b

23、21 (a> 0, b >0)上任一點(diǎn)A(Xo,yo)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBCb2X0 (常數(shù)).a y03、若P為橢圓2X2a2占 1 (a >b> 0) 上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn)，PF1F2bPF2F1則-Ca ctan cot .2 224、設(shè)橢圓務(wù)aPFF2中，記2占 1 (a> b> 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為橢圓上任意一點(diǎn)，在bF1PF2PF1F2F1F2 Pr亠 sin，則有sin sinc一 e.a25、若橢圓2a2七 1 (a> b> 0)

24、的左、b右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)0Vew J2 1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P,使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與P呂的比例中項(xiàng).26、P為橢圓務(wù)a2 b1 (a> b>0)上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn),A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則2a I AF2 I I PA II PF, I 2a | AF11,當(dāng)且僅當(dāng)A, F2,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立7、橢圓2(x X0)2(y y0)1與直線Ax By C 0有公共點(diǎn)的充要條件是b2.22A a_ 2 2,-B b(Ax02By。 C).X2&已知橢圓a2 y b21 (a > b> 0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓

25、上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP OQ. (1)1IoOF12a2 2丄；(2) IOPI2+IOQI2的最大值為 肇厶；(3) SoPQba b2b2的最小值是ab 2.a2 b229、過(guò)橢圓爲(wèi)a(a>b > 0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn),弦MN的垂直平分線交x軸于P，則IMN I10、已知橢圓2 X 2 a2 y b2>b> 0) ,A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與X軸相交于點(diǎn)P(X0,O),2.2則a_A_ab211、設(shè)P點(diǎn)是橢圓2 X 2 a271(a > b > 0) 上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記F1PF2，則(1)I

26、PF1 II PF2 I一.(2)1 cosPF1F2b2ta巧.12、設(shè) A、2B是橢圓務(wù)a2 y b2(a > b>0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，PABPBABPAe分別是橢圓的半焦距離心率，則有22ab |cos I IPAI a2 c2cos2tan tan1e2.S PABbMcot13、已知橢圓2 X 2 a2 y b21 ( a >b> 0)的右準(zhǔn)線I與X軸相交于點(diǎn)E，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線I上，且BC X軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF14、 過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，15、過(guò)橢圓焦半徑的

27、端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直的中點(diǎn).則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直e(離心率).)2x5、若(xo, yo)在雙曲線a2yJ 1 ( a> o,b > o)b2上,則過(guò)po的雙曲線的切線方程是 巻ayoy1x26、若(Xo'yo)在雙曲線a2y1 ( a> o,b > o)b，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為Pl、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是xoxyoya21.27、雙曲線一_ay2(a> 0,b > 0)的左右焦點(diǎn)分別為Fi, F2,點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)F1PF2，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為

28、FiPF2b2cot 一.222&雙曲線a2b2(a> 0,b >0)的焦半徑公式：(Fd c,o),F2(c,o)當(dāng)"(Xoy。)在右支上時(shí),IMF1I exo a, | MF21 exo a ；當(dāng) M(Xo,yo)在左支上時(shí)，IMF, exo a, | MF21ex0 a。9、 設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于 焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，貝y MF! NF.10、 過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) P、Q, A1、A為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，AP和AQ交于點(diǎn)M AP 和AQ交于點(diǎn)

29、N,貝yMF丄 NF.X211、AB是雙曲線_a2y 1 (a>o,b > o)的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(xo, yo)為AB的中點(diǎn)，貝U Kom Kabbb2Xo2a yo即Kabb Xo2。a yo212、若Fo(xo, yo)在雙曲線a七 1 (a > 0,b > 0)內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是 bXoX2ayoyb22xo2a2yo_b2x213、若PoCxoVo)在雙曲線a2 2yX1 (a> o,b > o)內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是baXoXayoyb216、橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù) (

30、注 :在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)17、 橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18、 橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).七、雙曲線的常用結(jié)論:1、點(diǎn)P處的切線PT平分 PFiF2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2、PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩 個(gè)端點(diǎn).3、以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線 相交.相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)4、以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓【推論】：21、雙曲線x_a2* 1.2y 1 (a> 0,b &

31、gt; 0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1( a,0) , A2(a,0),與y軸平行的直線交雙曲線于 R、P2時(shí)b2A1P1與AP2交點(diǎn)的軌跡方程是 篤a22、過(guò)雙曲線篤a(a>0,b > 0)上任一點(diǎn) A(X0, y。)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn),則直線BC有定向且kBC(常數(shù)).a y。23、若P為雙曲線務(wù)a1 ( a > 0,b >0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F 1, F 2是焦點(diǎn)，PF1F2PF2F1，則tan cot(或2 224、設(shè)雙曲線篤a2 y_ b2(a>0,b >0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為 Fi、F2,P(異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為雙曲線上

32、任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記 RPF2PF1F2F1F2 Psin，則有(sin sin )c-e.a25、若雙曲線務(wù)a1 (a > 0,b > 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)1< e<721時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn) P,使得PF是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PH的比例中項(xiàng).X26、P為雙曲線筈a|AF2| 2a |PA|27、雙曲線Xa2 y b21 (a> 0,b > 0)與直線Ax By C 0有公共點(diǎn)的充要條件是A2a2C2.&已知雙曲線2X2ay2>0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且OPOQ .1|OQ |

33、21b2;4 2厲2(2) |O P|2+|OQ|2 的最小值為2a b2 ； (3) SoPQb a2厲2的最小值是ab o.b2 a2占 (a > 0,b > 0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN勺垂直平分線交 (a>0,b >0)上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則|P F1I,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點(diǎn)共線且P和A,F2在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立2 29、過(guò)雙曲線務(wù)占a bX軸于P,貝y | PF |MN |2X10、已知雙曲線篤a2b2則X0a或aXoa2 b211、設(shè)P點(diǎn)是雙曲線2 X 2 a2 y b21 (a> 0,b

34、 > 0) 上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)記F1PF2，則2b2OWE2S pf1f2b cot .12、設(shè) A、B是雙曲線2 X 2 a2 y b21 ( a> 0,b > 0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn),PAB1( a>0,b >0),A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(X0,0),PBABPA22ab | cos |c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1) | PA|2一宀| a c cos | tantan 12e .(3) S PAB , 2b2a2b2丄 cota的右準(zhǔn)線I與X軸相交于點(diǎn)E，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn) F的直線與雙曲線相2X13、已知雙曲線令a2yt 1 (a>0,b > 0)b交于A B兩點(diǎn),點(diǎn)C在右準(zhǔn)線I上，且BCX軸，則直線