1、基本不等式應用一.基本不等式1.(1)若 a,b R，則 a2b22ab (2)若 a,bR，則 ab（當且僅當a b時2.若a,b ab (2)若 a,bR*，貝y a b 2、ab（當且僅當a b時(3)若a,bR，則abb時取“=”)3.若 x 0，則 x - x當且僅當x 1時取“=”）；若x 0，則x1-2（當且僅當xx 1時取“=”)0，則-2 （當且僅當a b時取“=”）3.若 ab（當且僅當ab時取若ab（當且僅當a b時取“=”）4.若 a,bR，則(a b)222 .2a匚（當且僅當a2b時取“=”)注: （1）當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和

2、為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大）(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際 問題方面有廣泛的應用.應用一：求最值例1:求下列函數的值域(2) y=x+X解：(1) y = 3x 2 + 彩 > 23x 2 12x 2=6值域為6 ,+x)(2)當 x> 0 時，y= x+X > 2-1x = 2;x1當XVO時，y = x+廠(-1x = 2x值域為(一X, 2 U 2 ,+X)解題技巧：技巧一：湊項例1 ：已知X 5，求函數y 4X 2 丄的最大值。44x 5解：因4x

3、5 0，所以首先要“調整”符號，又(4x 2)亠不是常數，所以對4x 24x 5要進行拆、湊項,5 11Qx ,54x0, y 4x 25 4x32 3144x 55 4x當且僅當5 4x -，即x 1時，上式等號成立，故當x 1時，ymax 1 5 4x評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。技巧二：湊系數例1.當 ； 4時，求y x(8 2x)的最大值。解析：由 知，；：；，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值， 此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8為定值，故只需將y x(8 2x)湊上一個系數即可。當二：:，即x = 2時取等號

4、當x = 2時，y x(8 2x)的最大值為8。評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利 用基本不等式求最大值。變式：設0 x 3，求函數y 4x(3 2x)的最大值。23解： 0 x 3 2x222x 3 2x90 y 4x(3 2x)2 2x(3 2x)2；9當且僅當2x 3 2x,即x-0,-時等號成立。42技巧三：分離例3.求y -一(x 1)的值域。x 1解析一：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有(X + 1)的項,再將其分離。當 x > -1 ,即 1x4 1> 0 時，y 2J(x 1) 5 9 (當且僅當 X = 1

5、時取“=”號)。Vx 1技巧四：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x + 1,化簡原式在分離求最值。當T,即 t = - 1 I 時，y2t 4 59 （當t=2即x= 1時取“=”號）評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分幵或將分母換元后將式子分幵再利用不等式求最值。即化為y mg(x)B(A 0,B 0)，g( x)恒正或恒負g(x)的形式，然后運用基本不等式來求最值。技巧五：注意：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數f (x) x a的單調性。例：求函數x-x2的值域。4x2解：令X2 4 t（t 2），則 y2xx21t t（t 2

6、）因t 0,t 1 1，但t 1解得t1不在區間2,，故等號不成立，考慮單調性。tt因為y t 1在區間1,單調遞增，所以在其子區間2,為單調遞增函數，故所以,所求函數的值域為52,練習.求下列函數的最小值，并求取得最小值時,的值.1) y X2 3x (x 0)x2sin x1(0,),xsin x2.已知0 x1,求函數y . x(1 x)的最大值.；3. 0-,求函數y x(2 3x)的條件求最值1.若實數滿足a b 2，則3a 3b的最小值是分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且 3a 3b定值，因此考慮利用均值定 理求最小值，解：3a 和3b都是正數，3a 3b > 2 3

7、a 3b 2-3a b 6當3a 3b時等號成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即當a b 1時，3a 3b的最小值是6.1 1變式：若log4x log4y 2，求的最小值并求x, y的值x y技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性, 否則就會出錯。2:已知x 0,y 0,且-1，求x y的最小值x y錯解:Q x 0,y0，且 1 91，x y 1x y 29 2 xy 12故x yx yy xyX y min12 。1錯因:解法中兩次連用基本不等式，在x y 2 xy 等號成立條件是x y，在1 9 2可等號成立條件是-即y 9x,取等號的條件的不一

8、致，產生錯誤。因此,x y xyx y在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。正解：Qx 0：,y 0,1941，x yx y19y 9x10 6 10 16xyxyx y當且僅當y9x時，上式等號成立，又191，可得 x 4, y 12 時，x y min 16xyxy變式：(1)若x,yR 且 2x y1，求1丄的最小值x y(2)已知a,b,x,y R且旦b 1，求xy的最小值x y2技巧七、已知x，y為正實數，且x 2 + y2 = 1，求 x 1 + y 2的最大值.x2 2 a + b ab<2ox 1 + y2即x12

9、1111234分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式=x2+殳22+:< 322+茶2+ : 分別看成兩個因式x2 + （<同時還應化簡 1 + y 2中y2前面的系數為2.號x 2 + 仝 +12F面將x1 +今廠2技巧八：已知a，b為正實數，2b + ab+ a= 30,求函數分析：這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑,一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說,這種途徑是可行的;是直接用基本 不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式,不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。、丄30

10、2b法一：吐b+1，230 2b 2 b + 30b ab=- b =b+ 1b+ 1由 a>0 得，Ov bv 15令 t = b+1, 1v t v 16, ab= 2t + 34t 31162 （t + 半）+ 34v t +2167 T = 81ab冬18y>當且僅當t = 4，即卩b= 3, a = 6時，等號成立。18法：由已知得：30 aba + 2b： a + 2b2 2 ab30 ab22 ab令 u ab則 u2 + 2 2 u 30< 0, 5 2 < u< 3 2 ab <3 2 , ab< 18, y>£點評：

11、本題考查不等式“ab( a,b R )的應用、不等式的解法及運算能力；2如何由已知不等式 ab a 2b 30(a,b R )出發求得ab的范圍，關鍵是尋找到a b與ab之間的關系，由此想到不等式 電丄.ab (a,b R )，這樣將已知條件轉換2為含ab的不等式，進而解得ab的范圍 變式：1.已知a>0， b>0，ab (a+ b) 1，求a+ b的最小值。2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x，y為正實數，3x+ 2y 10，求函數W 3x2y的最值.解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系,a+ b2本題很簡23x+2y<2 ；

12、9; ( v3x ) 2+( , 2y ) 2 =23x + 2y = 2 5解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式 為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W0, W= 3x+ 2y+ 2 3X 2y = 10+ 2 3x 2y < 10+ ( JX ) 2 - C 2y ) 2 =10 + (3x + 2y) = 20 W 20 = 2 5變式:求函數y 2x1盲2x(1 x -)的最大值。2 2解析：注意到2x 1與5 2x的和為定值。又y 0，所以0 y 2邁當且僅當2x仁5 2x，即x |時取等號。故ymax 2 2。評注：本題將解析式兩邊平方構

13、造出“和為定值”，為利用基本不等式創造了條件。總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要 注意一些變形技巧，積極創造條件利用基本不等式。應用二：利用基本不等式證明不等式1 .已知a, b,c為兩兩不相等的實數，求證：a2 b2 c2 ab bc ca1)正數 a，b， c 滿足 a+ b+ c= 1，求證：(1 a)(1 b)(1 c) > 8abc例6:已知a、b、c R，且a b c 1。求證：丄1-1-1 8 a b c分析：不等式右邊數字8,使我們聯想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“2”連乘，又1 1出 止，可由此變形入手。a a a a解：Qa、b、c R , a b c 1。1 1 a 匕工 2-bc。同理-1 2竺，12 ab。a a a abb cc上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得1 1 1 1 1 1 遼廿口 8。當且僅當a b c 1時取等號。a b ca b c3應用三：基本不等式與恒成立問題例：已知x0,y1，求使不等式x ym恒成立的實數m的取值范圍。