1、圓過定點問題XX1 / 10一、問題背景圓過定點問題是高考中常見的題型，是圓的特殊性質，圓的方程在高考中是C 級要求，對圓的性質要求學生會運用。因此對計算的要求也比較高，圓相比較橢圓和雙曲線的性質更具有特殊性。因此在近幾年各地的高考中屬于?？碱}型。二、常見的方法特殊化，消元法，換元法(整體換元、三角換元)等，主要思想方法：數形結合、函數與方 程思想。范例 例 1二次函數f (x) 3x24x c(x R)的圖象與兩坐標軸有三個交點， 經過這三個交點 的圓記為OC.(1) 求實數 c 的取值范圍；(2 )求OC的方程；(3 )問0C是否經過某定點(其坐標與c 的取值無關)？請證明你的結論.【解題

2、分析】(1)令 x=0 求出 y 的值，確定出拋物線與 y 軸的交點坐標，令 f (x) =0,根 據與 x 軸交點有兩個得到 c 不為 0 且根的判別式的值大于0,即可求出 c 的范圍；(2) 設所求圓的一般方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ,令 y=0 得，x2+Dx+F=0 ,這與 x2-*x =0J是同一個方程，求出 D , F.令 x=0 得，y2+Ey+F=0，此方程有一個根為 c,代入得出 E,由 此求得圓 C的一般方程；(3) 圓 C 過定點(0，丄)和(衛，丄)，證明：直接將點的坐標代入驗證.3|3|【解法】：(1 )令 x=0，得拋物線與 y 軸的交點(0, c),令

3、 f (x) =3x2- 4x+c=0 , 由題意知：c 用且厶0,4解得：cv且 cMD;(2)設圓 C: x2+y2+Dx+Ey+F=0 ,令 y=0 ,得到 x2+Dx+F=0，這與 x2:x=0 是一個方程，故 D= , F；圓過定點問題XX2 / 102令 x=0 ,得到 y +Ey+F=o，有一個根為 c,代入得:則圓 C 方程為：x2+y2x -( c+丄)y+t=O；333由 x2+y2_!x -( c+_) y+-!=0 ,333令 y=，解得：3圓 C 必過定點【點評】本題主要考查圓的標準方程，一元二次方程根的分布與系數的關系，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題.變式 1.已

4、知圓 M 的方程為 x2+ (y 2)2= 1，直線 I 的方程為 x 2y = 0,點 P 在直線 I 上，過P 點作圓 M 的切線 PA、PB，切點為 A、B.(1)若/ APB = 60 試求點 P 的坐標；若 P 點的坐標為(2,1)，過 P 作直線與圓 M 交于 C、D 兩點，當 CD = .2 時，求直線 CD 的方程；(3)求證：經過 A、P、M 三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標.例 2.已知定點 G (- 3, 0), S 是圓 C : (X - 3)2+y2=72 ( C 為圓心)上的動點，SG 的垂 直平分線與 SC 交于點 E.設點 E 的軌跡為 M .(1 )求

5、M 的方程；(2)是否存在斜率為 1 的直線，使得直線與曲線 M 相交于 A , B 兩點，且以 AB 為直徑的 圓恰好經過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【解題分析】(1)由已知條件推導出點 E 的軌跡是以 G, C 為焦點，長軸長為 6 :的橢圓， 由此能求出動點 E 的軌跡方程.(2)假設存在符合題意的直線I 與橢圓 C 相交于 A (X1, y1), B(X2, y2)兩點，其方程為2c+cE,解得:(3)圓 C 必過定點(0,1),理由為:x=0或).圓過定點問題XX3 / 10心幀22厶y=x+m,由、丄，得 3x+4mx+2m- 18=0.由此能求出符合題意的

6、直線I 存在，所求的直線 I 的方程為 y=x 丨：-;或 y=x -2_;.【解法】：(1)由題知|EG|=|ES|,|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6 :.又T|GC|=6.點 E 的軌跡是以 G , C 為焦點，長軸長為6.:的橢圓，動點 E 的軌跡方程為=1 .(4 分)(2)假設存在符合題意的直線I 與橢圓 C 相交于 A (xi, y1) , B (x2, y2)兩點,其方程為 y=x+m ,直線 I 與橢圓 C 相交于 A, B 兩點, =16m2- 12 (2m2- 18) 0,化簡得 m2v27,解得-3 T:.以線段 AB 為直徑的圓恰好經過原點,=0,所以 x1X

7、2+y1y2=0.2又 y1y2= (x1+m) (x2+m) =x1x2+m (x1+x2) +m ,由-2消去 y， 化2 23x +4mx+2m - 18=0.二X1+X2=x1?X2=3圓過定點問題XX4 / 1024 (n2- 9)x1x2+y1y2=2x1x2+m(x1+x2)+m=-:-解得 m=I -;.( 11 分)由于| 工：*二| (- 3 二 3_ 】),符合題意的直線 I 存在，所求的直線 I 的方程為 y=x 一;或 y=x -2；.【點評】本題考查點的方程的求法，考查滿足條件的直線是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用.2 2變式 2

8、 已知橢圓 乙1,點 P 是橢圓上異于頂點的任意一點，過點 P 作橢圓的切線I,交42y 軸與點 代直線I過點 P 且垂直與 I,交 y 軸與點B.試判斷以 AB 為直徑的圓能否經過定 點？若能，求出定點坐標；若不能，請說明理由.變式 3.已知圓 C:x2y22x 4y 4 0，是否存在斜率為 1 的直線 L,使以 L 被圓 C截得的弦 AB 為直徑的圓過原點，若存在求出直線L 的方程，若不存在說明理由.例 3.在平面直角坐標系xOy 中，已知圓 Ci:( x+1)2+y2=1 ,圓 C2:(x - 3)2+ (y - 4)2=1 .(I)判斷圓 Ci與圓 C2的位置關系；(H)若動圓 C 同

9、時平分圓 Ci的周長、圓 C2的周長，則動圓 C 是否經過定點？若經過，求 出定點的坐標；若不經過，請說明理由.【解題分析】(I)求出兩圓的圓心距離，即可判斷圓Ci與圓 C2的位置關系；(n)根據圓 C 同時平方圓周，建立條件方程即可得到結論.2 2 2【解法】：(I) Ci： (x+1) +y =1 的圓心為(-1, 0),半徑 r=1，圓 C2： (x - 3) + (y -24)=1 的圓心為(3, 4),半徑 R=1 ,則|CiC2|制(_ I _ 3 ) 2 二二 4, 圓 C1與圓 C2的位置關系是相離.(n)設圓心 C (x, y),由題意得 CCi=CC2,即Q(對1)+護討3

10、)莓(廠 q)z，+m2=0圓過定點問題XX5 / 10整理得 x+y - 3=0 , 即圓心 C 在定直線 x+y - 3=0 上運動.圓過定點問題XX6 / 10則動圓的半徑,于是動圓 C 的方程為(x - m)2+ (y - 3+m)2=1+ (m+1)2+ (3 - m)2, 整理得：x2+y2- 6y - 2 - 2m(x - y+1) =0.fx - y+l=O/ 十/-6廠2=0即所求的定點坐標為(1-趣，2-空)，(衛,2+墜).【點評】本題主要考查圓與圓的位置關系的判斷，以及與圓有關的綜合應用，考查學生的計算能力。C 與 y 軸的交點分別為 A , B，與 x 軸正半軸的交點

11、為 D, P 為圓 C 在第一象限內的任意 點，直線BD 與 AP 相交于點 M ,直線 DP 與 y 軸相交于點 N .(1) 求圓 C 的方程；(2) 試問：直線 MN 是否經過定點？若經過定點，求出此定點坐標；若不經過，請說明理 由.例 4如圖所示，已知圓C： x2+y2=r2(r 0) 上點( 八處切線的斜率為，圓圓過定點問題XX7 / 10(1 )根據條件結合點在圓上，求出圓的半徑即可求圓(2)根據條件求出直線 MN 的斜率，即可得到結論.點._在圓 C: x2+y2=r2上,故圓 C 的方程為 X2+y2=4 .、r22(2)設 P (xo, yo),則 x0+y0=4,|y0-

12、2直線 BD 的方程為 x-y - 2=0，直線 AP 的方程為 y= 工+22=0聯立方程組兀_2一x+2【解題分析】C 的方程;得 M圓過定點問題XX_ 2 _ _8 / 10丸坯+2C2- x0)(2xo+2y0- 4) - 2y ?Y0- yc+2)% 伍一*)十Uy。 *一2只。一只口丁0十了0 2?？谮?。十口2一4歹01%缶丸）化簡得(y- x) xo+ (2 - x) y0=2y - 2x- (*) 令 I,得；且（*）式恒成立，故直線MN經過定點（2,2）【點評】本題主要考查圓的方程的求解，以及直線和圓的位置關系的應用，考查學生的計算能力變式 4.已知OO: x2+ y2= 1

13、 和點 M（4,2）.（1）過點 M 向OO 引切線 I，求直線 I 的方程；求以點 M 為圓心，且被直線 y= 2x 1 截得的弦長為 4 的OM 的方程；設 P 為中OM 上任一點，過點 P 向OO 引切線，切點為 Q.試探究：平面內是否存在 一定點 R,使得PQ為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應的定值；若不存在，請說明PR理由.四、練習1. ( 08 江蘇)設平面直角坐標系xoy中，設二次函數f x x 2x b x R的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C.直線 MN 的方程為圓過定點問題XX9 / 10(1)求實數 b 的取值范圍；(n)求圓 C 的方程；(川)問圓

14、 C 是否經過某定點(其坐標與 b 無關)？請證明你的結論.2.已知定點 G (- 3,0), S 是圓 C: (X - 3)2+y2=72 (C 為圓心)上的動點，SG 的垂直平 分線與 SC 交于點 E.設點 E 的軌跡為 M .(1 )求 M 的方程；(2) 是否存在斜率為 1 的直線，使得直線與曲線 M 相交于 A , B 兩點，且以 AB 為直徑的 圓恰好經過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.2 2x y3.如圖，點 A, B, C 是橢圓1的三個頂點，D 是 OA 的中點，P、Q 是直線X 4上164的兩個動點。(I)當點 P 的縱坐標為 1 時，求證：直線 CD

15、 與 BP 的交點在橢圓上；(n)設 F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，PF1QF2，試判斷以線段 PQ 為直徑的圓是否恒過定點，請說明理由。(PA 5C1Q圓過定點問題XX_ 2 _ _10 / 1022134橢圓 C:X2yr1(a b 0)的左、右焦點分別是 F1, F2，離心率為，過Fi且垂直于 x ab2軸的直線被橢圓 C 截得的線段長為 1.(1)求橢圓 C 的方程；點 P 是橢圓 C 上除長軸、短軸端點外的任一點，過點P 作直線 I，使得 I 與橢圓 C 有且只有一個公共點，設 I 與 y 軸的交點為 A,過點 P 作與 I 垂直的直線 m，設 m 與 y 軸的交點為 B，求證： PAB 的外接圓經過定點