1、高三一輪復習6.7數學歸納法【教學目標】1.了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.重重點難點】1 .教學重點：了解數學歸納法的原理并能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題；2 .教學難點：學會對知識進行整理達到系統化，提高分析問題和解決問題的能力；【教學策略與方法】自主學習、小組討論法、師生互動法【教學過程】教學流程教師活動學生活動設計意圖考綱傳真：了解數學歸納法的原埋，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.真題冉現；1.(2013湖北，14)古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數.如三角形數1,3,6,10,，第n個三n(n+1)1c1角形數為'；)=；n

2、2+；n.記第n個k邊形數為N(n,k)(k>3)以卜列出了部分k邊形數中第n個數的表達式：O通過對考綱的解讀和分析。讓學生明確考試要求，做到有的放矢1c1三角形數N(n,3)=戲2+21正方形數N(n,4)=n2,3c1五邊形數N(n,5)=n2n,六邊形數N(n,6)=2n2n,可以推測N(n,k)的表達式，由此計算N(10,24)=.解析由題中數據可猜想：含n2項的系1、，1人數為首項是1，公差是1的等差數列，含n,11八項的系數為首項是2,公差是-1的等差數列，因此N(n,k)=2+(k3)2.+|1+(k-3)l-1)n=jky2n2+4-？kn.222,一22故N(10,24

3、)=11n2-10n=11X102-10X10=1000.答案10002.(2015江蘇,23)已知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,，n(n6N*),設Sn=(a,b)|a整除b或b整除a,a6X,b6Yn,令f(n)表示集合S所含元素的個數.(1)寫出f(6)的值；學生通過 對高考真題 的解決，發現 自己對知識 的掌握情況。(2)當nA6時，寫出f(n)的表達式，并用數學歸納法證明.解(1)f(6)=13.(2)當nA6時,f(n)=nnnn+2+j2r+3I,n=6t,n1n1n+2+2+3,n=6t+1,nn2、一-In+2+-+o,n=6t+2,23J，j、n1naon+2+,n

4、=6t+3,123Jnn1八n+2+2+3-I，n=6t+4,n+2+fn-y1+n-z-2j,n=6t+5123J(tN*).下面用數學歸納法證明：當n=6時，f(6)=6+2+6+6=13,23結論成立；學生通過 對高考真題 的解決，感受 高考題的考 察視角。假設n=k(k>6時結論成立，那么n=k+1時，&+1在a的基礎上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中產生，分以下情形討論：1)若k+1=6t,則k=6(t-1)+5,此時有f(k+1)=f(k)+3=k+2+T+"2+323=(k+1)+2+一,結論成立;232)若k+1=6t+1,

5、則k=6t,此時有kk.f(k+1)=f(k)+1=k+2+5+o+1=(k23(k+1)1+1)+2+-_2+(k+1)1.-3，結論成立；3)若k+1=6t+2,則k=6t+1,此時有f(k+1)=f(k)+2=k+2+223=(k+1)+2+2+(3)，結論23成立；4)若k+1=6t+3,則k=6t+2,此時有kk2f(k+1)=f(k)+2=k+2+2+3+2=(k+1)+2+，結論成23立；5)若k+1=6t+4,則k=6t+3,止匕時有f(k+1)=f(x)+2=k+2+9+k+232=(k+1)+2+2+(3)，結論23成立；6)若k+1=6t+5,則k=6t+4,此時有kk1

6、f(k+1)=f(k)+1=k+2+2+3+1=環節二：(k+1)1(k+1)+2+2+(k+1)2-，結論成立.綜上所述，結3論對滿足nn6的自然數n均成立.知識梳理：知識點數學歸納法的定義及框圖表示1 .數學歸納法的定義證明一個與正整數n有關的命題，可按卜列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取第一個可取值no(no6N)時命題成立;(2)(歸納遞推)假設n=k(k斗0,kN*)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n。開始的所有正整數n都成立.這種證明方法叫做數學歸納法.2 .數學歸納法的框圖表示驗訐5=曲時曲期成立若a&價爭期時命題成立

7、土證明n=*+l呷*品以上歸納奧基歸納遞推曲題對從而開始的所有正整數也都成立1.必知關系；數學歸納法是一種只適用于與正整數有關的命題的證明方法，第_止曰芋正M山"給一止日節慘M少也生個山依據”，兩個步驟缺一不可.2.必清誤區；運用數學歸納法應注意以卜兩點：(1)第一步驗證n=no時，no不一te為1,要根據題目要求選擇合適的起始值.(2)第二步中，歸納假設起著已知條件”的作用，在證明n=k+1時，命題也成立的過程中一定要用到它，否則就不是數學歸納法.考點分項突破考點一：用數學歸納法證明等式1.設f(n)=1+1+1+1(n6N*)23n求證：f(1)+f(2)+-+f(n-1)=nf

8、(n)-1(nZnWN*).【解】當n=2時，左邊=f(1)=1,一117一一右邊=2J+21尸1,左邊=右邊，等式成立.假設n=k(k4Zk6N州寸，結論成立，即f(1)+f(2)+f(k1)=kf(k)1,那么，當門=卜+1時，f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=kf(k)1+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構。引導學生通過對基礎知識的逐點掃描，來澄清概由常見問題的解決和總結，使學生形成解題模塊，提高模式識別能力S教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構引導學生對所學的知識進行小結，由利于學11)fk+】k=(k+1

9、)f(k+1)(k+1)=(k+1)f(k+1)1,當n=k+1時結論成立.由可知：f(1)+f(2)1+f(n1)=nf(n)T(nAZn6N*).歸納：數學歸納法證明等式的思路和注意點1 .思路：用數學歸納法證明等式問題，要先看項”，弄清等式兩邊的構成規律，等式兩邊各有多少項，初始值n。是多少.2 .注意點：第二步關鍵是:湊假設，二湊結論”.由n=k時等式成立，推出n=k+1時等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標；二要充分利用歸納假設，進行合理變形，正確寫出證明過程.考點二：用數學歸納法證明不等式1 .等比數列an的前n項和為Sn,已知對任意的nN*,點5,Sn)均在函數

10、y=bx+r(b>0且b#b,r均為常數)的圖象上.(1)求r的值；念，加強理 解。從而為后 面的練習奠 定基礎.在解題中注 意引導學生 自主分析和 解決問題，教 師及時點撥 從而提高學 生的解題能 力和興教師引導 學生及時總 結，以幫助學 生形成完整 的認知結構。生對 已有 的知 識結 構進 行編 碼處理，加強理解記憶，提高解題技當b=2時，記bn=2(log2an+1)(nN*),證明：對任意的n6N*,不至十bl+1b2+1bn+1/卡等式bl,b2bn>加+2.【解】(1)由題總，Sn=bn+r,當n>2時，&+i=bn+1+r.所以第=&Si=bn1

11、(b-1).由于b>0且b?所以nA2時，%是以b為公比的等比數列.又a1=b+r,a2=b(b1),所以a2=b,a1rrbb-1./日即"=b,解得r=1.b+r(2)由(1)及b=2知an=2n1,因此bn=2n(n6N*),所證不等式為2+14+12n+1/24.2n>Nn+1.當n=1時，左式=2，右式=!2,左式>右式，所以結論成立.假設n=k(kLk6N)時結論成立，口門2+14+12k+1;即2Z2k>"k+1,則當n=k+1時，2+14+12k+12k+3、242k2k+1>/2k+32k+3加,7k+12k+125+1

12、9;女證ink+1時結論成立，r、T2k+3/口十2k+3只需證2/kT1K12，即證2貝k+1k+2,213由基本不等式得任尹=k+1+k+22/q2k+3Kk+lk+2成u，故2Mi司k+2成立，所以，當n=k+1時，結論成立.由可知，n6N*時，不等式bi+1b?+1bn+1/弁一hh>'n+1成立.bib2bn跟蹤訓練：1.已知數列an,an>Qa1=。，a21+an+11=an.求證：當nN*時,an<an+1.【證明】(1)當n=1時，因為a2是方程a2+a21=0的正根，所以a1<a2.假設當n=k(kN*)時，0<ak<ak+1,貝!

13、J由ak+1-ak=(ak+2+ak+21)(ak+1+ak+1-1)=(ak2ak+1)(ak+2+ak+1+1)>0,得ak+1<ak+2,即當n=k+1時，an<an+1也成立.根據(1)和(2),可知an<an+1對任意nN都成立.歸納：數學歸納法證明不等式的適用范圍及關鍵1 .適用范圍：當遇到與正整數n有關的不等式證明時，若用其他辦法不容易證，則可考慮應用數學歸納法.2 .關鍵：由n=k時命題成立證n=k+1時命題也成立，在歸納假設使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應用基本不等式、不等式的性質等放縮技巧，使問題得以簡化.考點三：歸納一

14、猜想一證明命題角度1與數列有關的問題1 .數列Xn滿足Xi=。,Xn+i=X2+Xn+c(nN*).證明：Xn是遞減數列的充要條件是c<0.若0<c<4,證明：數列Xn是遞增數列.【證明】(1)充分性：若0<0,由于Xn+1=Xn+Xn+C»n+C<Xn,所以數列Xn是遞減數列.必要性：若4是遞減數列，則X2<X1,且X1=0.又X2=X1+X1+c=c,所以c<0.故Xn是遞減數列的充要條件是C<0.一1一I若0在左，要證Xn是遞增數列.即Xn+l>Xn,也就是證明Xn<".卜面用數學1.L歸納法證明當0cc每時

15、，Xn<對任意nAnN*都成立.,L1、(i)當n=1時，xi=0</c2,結論成立.(ii)假設當n=k(k6N*)時結論成立，即Xk<vc.因為函數f(x)=X2+X+c在區間小內單調遞增，所以Xk+1=f(Xk)<f(Vc)=&,這就是說當n=k+1時，結論也成立.故xn<yC對任意nAnN都成立.因此,Xn+1=Xn-Xn+C>Xn,即Xn是遞增數列.命題角度2與不等式有關的問題2.由卜列不等式：1>9，1+9+q>1,1+223+1>31+2372'1十2311>2,，你能得到一個怎樣的一般不15等式？并加以

16、證明.【解】一般結論：1+2+3+.+1n*一一，.，2>2（n6N）,證明如下：當n=1時，由題設條件知命題成立.假設當n=k（k6N*）時，猜想正確，口111k山即1+2+3+2卜一1>2.當n=k+1一.1111時，1+2+3+2k1+2+1k111k2k+1_1>2+2k+2k+1+2k+1-1>2k111k2k+2卜+1+2卜+1+2卜+1=2+2k+1=k+12，2k項.當n=k+1時,不等式成立.根據可知，XtnN*，有1+1+1+231n+”1、歸納：1.證明與數列有關的問題應注意兩點（1）準確計算為，a2,a3發現規律（必要時可多計算幾項）；（2）證明

17、ak+1時，ak+1的求解過程與a2,a3的求解過程相似，注意體會特殊與一般性的辨證關系.2.正確理解歸納一猜想一證明”模式歸納一猜想一證明”的模式，是不完全歸納法與數學歸納法綜合應用的解題模式，這種方法在解決探索性問題、存在性問題時起著重要作用，它的模式是先由合情推理發現結論，然后經邏輯推理證明結論的止確性.環節二：課堂小結：1.了解數學歸納法的原埋，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.學生回顧，總結.引導學生對學習過程進行反思，為在今后的學習中，進行啟效調控打下良好的基礎。環節四：課后作業：學生版練與測學生通過作業進行課外反思，通過思考發散鞏固所學的知識。相信能就一定能33,ArLLrr與2HQ評分標準:45ilu1m2SJ.65分以上為能力超強6065分為能力強556