1、高一數學必修1各章知識點總結第一章集合與函數概念一、集合有關概念1. 集合的含義2. 集合的中元素的三個特性：(1) 元素的確定性如：世界上最高的山(2) 元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合H,A,P,Y(3) 元素的無序性：如：a,b, c和a,c, b是表示同一個集合3集合的表示： . 如：我校的籃球隊員, 太平洋，大西 洋，印度洋，北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合:A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數集及其記法：非負整數集(即自然數集)記作：N正整數集N*或N+ 整數集Z有理數集Q實數集R1 )列舉法：a,b,c2) 描

2、述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。xeRl x-32 , x| x-32)3) 語言描述法：例：不是直甬三角形的三角形4 ) Venn 圖：4、集合的分類：有限集含有有限個元素的集合(2) 無限集含有無限個元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合 例：xlxJ-5二、集合間的基本關系1“包含”關系一子集注意：AqB有兩種可能(1) A是B的一部分,；(2) A與B是同 一集合。反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB 或BA2. “相等”關系：A=B (5 5,且 5 0,則M與N的關系是4. 設集合Ax|lx2，B=x|xvq，若AB,則

3、d的取值范囤是5. 50名學生做的物理、化學兩種實臉，已知物理實臉做得正確得有40人，化 學實驗做得正確得有31人，兩種實臉都做錯得有4人，則這兩種實臉都做對的有人.6. 用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M=已知集合 A- x | x+2x-8=0, B-x I xi-5x+6-0）, Cx| x2-mx+m,-l9-0,若 BCIC工，AAC-，求m的值第2頁共11頁二、函數的有關概念1. 函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對 應關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一 確定的數f(x)和它對應，那么就稱f： A-B為從集合A到集合B

4、的一個函數.記作：y=f (x), x 6 A.其中，x叫做自變量，x的 取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數 值，函數值的集合f (x) I xA叫做函數的值域.注意：1. 定義域：能使函數式有意義的實數*的集合稱為函數的定義域。 求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被開方數不小于零；(3) 對數式的真數必須大于零；(4) 指數、對數式的底必須大于零且不等于1如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它 的定義域是使各部分都有意義的x的值紐成的集合.(6) 指數為零底不可以等于零，(7) 實際問題中的函數的定義

5、域還要保證實際問題有意義. 相同函敎的別斷方法:表達式相同(與表示自變量和函數 定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)2. 值域：先考慮其定義域(1) 觀察法(2) 配方法代換法3. 函數圖象知識歸納(1) 定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f (x) , UA)中的x 為橫坐標，函數值y為縱坐標的點PU, y)的集合C,叫做函數 y=f(x)f (x A)的圖象.C上每一點的坐標刃均滿足函數關系 y=f (X),反過來，以滿足丿的每一組有序實數對y為坐標 的點、(x,刃，均在C上(2) 畫法A、描點法：B、圖象變換法常用變換方法有三種1) 平移變換2) 伸縮變換3) 對稱變

6、換4. 區間的概念(1) 區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間(2) 無窮區間(3) 區間的數軸表示.5. 映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對 應法則，使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯 一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f： AtB為從集合A到 集合B的一個映射。記作“f (對應關系)：A (原象)TB (象)” 對于映射B來說，則應滿足：集合M中的每一個元素，在集合中都有象，并且象是唯一的； (2)集合中不同的元素，在集合中對應的象可以是同一個； 不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6. 分段函數在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的

7、函數。(2)各部分的自變量的取值情況.分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并 集.補充：復合函數如果 y-f (u) (u M), u=g (x) (x A),則 y=f g (x) =F (x) (x A) 稱為仁g的復合函數.二.函數的性質1. 函數的單調性(局部性質)(1 )增函數設函數y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域.1內的某個區間 D內的任意兩個自變量Xi, X2,當XiX2時,都有f(Xi)f (x2),那 么就說f(x)在區間D上是增函數.環Td稱為y=f(x)的單調增區 間.如果對于區間D上的任意兩個自變量的值Xi, X2,當X】f (x2),那么就說/

8、3在這個區間上是減函蠶T區間p 稱為y=f (x)的單調減區間.注意：函數的單調性是函數的局部性質；(2) 圖象的特點如果函數(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數 y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數 的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.(3) 函數單調區間與單調性的判定方法(A) 定義法： 任取 X” x?D,且 Xi2)5 .求下列函數的值域:(Dy = x2 + 2x-3 (xeR)(2)，=宀2兀-3 xel,2第6頁共11頁第#頁共11頁6. 已知函ft/(x-l) = x2-4x，求函數/&)，/(2丫+1)的解析式7. 已知函

9、數滿足2/(x)+/(-=玉+4，則f(X)8. 設血是R上的奇函數、且當xw 0,+s)時，/(x) = x(l + /x), M當xw (-s,0)時/(.丫)/(X)在R上的解析式為9. 求下列函數的單調區間：(1) y = X3 + 2x + 3 (2)丿=+ 2x + 3(3) y = x2 - 6|.x| -110. 判斷函數丿=-x3 +1的單調性并證明你的結論.11. 設函數,(x)= i+x：判斷它的奇偶性并且求證：r(_L)./(x)第二章基本初等函數一、指數函數(一) 指數與指數幕的運算1. 根式的概念：一般地，如果.丫 = a ,那么*叫做a的次方根, 其中1,且 N

10、負數沒有偶次方根；o的任何次方根都是o,記作Vo = 0.a (d v 0)當n是奇數時，ya = a ,當”是偶數時，ya =| a 1= 0,m,nc N*,n 1)第#頁共11頁 0的正分數指數報等于0, 0的負分數指數蔽沒有意義實數指數幕的運算性質第7頁共11頁r+5(2) d)討(3) 3)S(aOseH).(二) 指數函數及其性質1、指數函數的概念：一般地，函數尹= d”(d0,且QH1)叫做指數函數，其中X是自變量，函數的定義域為R.注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.2、指數函數的圖象和性質第8頁共11頁第#頁共11頁注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看

11、出：(1) 在a, b上,f(x) = ax(a 0且a h 1)值圾是f(a),f(b)或 f(b),f(a);(2) 若只工0，則f(X)Hl； f(x)取遍所有正數當且僅當X G R;(3) 對于指數函數f(x) = ax(a 0且a h 1)，總有f(l) = a ; 二、對數函數(一)對數1. 對數的概念：一般地，如果a = N (dO,dHl),那么數.丫叫 做峪d勿底N的對數，記作：x = logrt N ( a 底數，N真數，lOgaN對數式)說明：注意底數的限制d0,且dHl； ax = N loga N= x; 注意對數的書寫格式.兩個重要對數： 常用對數：以10為底的對數

12、IgTV; 自然對數：以無理數e= 2.71828A為底的對數的對數lnN指數式與對數式的互化舉值 真數I Iab = No log N = bt t底數指數對數（二）對數的運算性質如果 n 0 ,且 dHl, M 0 N 0,那么： log,M N） = logfl M + loga N; logd aF= lSaM ，0;3 ogaMn = n loga M （h e R）.注意：換底公式log d /? = Sc （a0,且 dHl; c0,且chI; b 0 ）log,利用換底公式推導下面的結論（1 ） log bn = logfl Z?； （2） loga b =m10務0（二）對數

13、函數1、對數函數的概念：函數卩=log X（d 0 ,且d Hl）叫做對數 函數，其中x是自變量，函數的定義域是（0, +8）.注意： 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注 意辨別。如：丿= 21og?x, y = log 5 -都不是對數函數，而只能 稱其為對數型函數. 對數函數對底數的限制：（d0,且dHl）2、對數函數的性質：al0a 0定義域x0值域為R值域為R在R上遞增在R上遞減函數圖象都過函數圖象都過定點定點、(1, 0)(1, 0)(三) 縊函數1、幕函數定義：一般地，形如y = xa (a e R)的函數稱為很函數, 其中a為常數.2、離函數性質歸納.(1 )所有的簇

14、函數在(0, +8 )都有定義并且圖象都過點(1, 1 )；(2) a0時，眾函數的圖象通過原點，并且在區間0,+s)上是 增函數.特別地，當al時，舉函數的圖象下凸；當0 va vl時， 箱函數的圖象上凸；(3) a 0時，幕函數的圖象在區間(0,+s)上是減函數.在第一 象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在尹軸右方無限地逼近y軸 正半軸，當X趨于+ S時，圖象在.X軸上方無很地逼近X軸正半 軸.例題：2. 計算： 1伽2 =； 24+b6j 3 ; 25肛 27+21065 2;log ” 64 0 064-(-2) +K-2)3-4 +16-75 + 0 0?3. 函數yTog (2x2

15、-3x+l)的遞減區間為 4. 若函數/(x) = log,x(0a。的*的取值范圍 l-x第11頁共11頁第三章函數的應用一、方程的根與函數的零點1、函數零點的概念：對于函數卩=/(.r)(x e D),把使/(x) = 0 成立的實數x叫做函數尹=f (.v)(.v e D)的零點、。2、函數零點的意義：函數y = /(.V)的零點就是方程/(.V)= 0實 數根，亦即函數尹=/(.Y)的圖象與X軸交點的橫坐標。即：方程/(X)= 0有實數根o函數y = /(x)的圖象與x軸有交 點、u函數y = /(x)有零點.3、函數零點的求法： (代數法)求方程/(x) = 0的實數根； (幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數 y = /(.v)的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出歡點.4、二次函數的零點：二次函數 y = ax2 + bx + c(