1、雙曲線常見題型與典型方法歸納(修改版附詳解答案 )雙曲線常見題型與典型方法歸納考點一雙曲線標準方程及性質1. 雙曲線的定義第一定義：平面內與兩個定點F1 , F2 距離的差的絕對值等于 2a(2a| F1 F2 |) 的點的軌跡。（ 1）距離之差的絕對值 .（ 2）當 |MF 1| |MF 2|=2a 時，曲線僅表示焦點F 2 所對應的一支；當 |MF 1| |MF 2|= 2a 時，曲線僅表示焦點F1 所對應的一支；當 2a=|F 1F2|時，軌跡是同一直線上以F 1、F 2 為端點向外的兩條射線；當2a|F 1F 2|時，動點軌跡不存在 .【典例】 到兩定點 F13,0、 F2 3,0 的

2、距離之差的絕對值等于6 的點 M 的軌跡（）A 橢圓B線段C雙曲線D兩條射線第二定義：平面內與一個定點F 和一條定直線l 的距離的比是常數(e1) 的動點的軌跡。2 雙曲線的標準方程及幾何性質標準方程x 2y2y2x2a 21(a 0, b 0)a21(a 0,b 0)b 2b 2圖形焦點焦距范圍性對稱頂點軸F1（ - c,0) ， F2（ c,0)F1（ 0, c) ， F2（ o,c)| F 1F2|=2ca 2b 2c 2| x | a, y R| y | a, x R關于 x 軸， y軸和原點對稱（ -a ， 0）。（ a， 0）（ 0， -a ）（ 0， a）實軸長 2a，虛軸長2b

3、ec離心率(e 1) （離心率越大，開口越大）a質準線xa 2ya 2cc通徑d2b2d2b2aa漸近線yb xya xab1雙曲線常見題型與典型方法歸納(修改版附詳解答案 )P在左支 |PF1|aex0P在下支|PF1|aey0焦半徑| PF 2 | aex0| PF2 | a ey0|PF1 |aex0P在上支 |PF1|aey0P 在右支| PF2|aex|PF2 |aey00注意： 等軸雙曲線（ 1）定義：實軸長與虛軸長相等的雙曲線（ 2）方程： x2y2a2 或 y2x2a2（ 3）離心率 e2漸近線 yx（ 4）方法：若已知等軸雙曲線經過一定點，則方程可設為x2y2(0)【典例】已

4、知等軸雙曲線經過點(5,1) ，求此雙曲線方程3 雙曲線中常用結論（ 1）兩準線間的距離 :2a2（ 2）焦點到漸近線的距離為b （ 3）通徑的長是 2b 2ca考點二雙曲線標準方程一 求雙曲線標準方程的方法（ 1）定義法，根據題目的條件，若滿足定義，求出相應a、b、c 即可求得方程；（ 2）待定系數法，其步驟是定位：確定雙曲線的焦點在哪個坐標軸上；設方程：根據焦點的位置設出相應的雙曲線方程；定值：根據題目條件確定相關的系數。注： 若雙曲線過兩點，可設雙曲線方程為：mx2ny 21(mn 0) 。如 已知雙曲線過點 A(2,3 5)與B(47 , 4) ，求雙曲線的標準方程23方法一 ： 運用

5、定義【典例 1】已知動圓 M與圓 C1 : (x 4)2y22外切，與圓 C2 : (x 4) 2y22 內切，求動圓圓心M的軌跡方程?！镜淅?2】已知 F1 （ -4， 0）， F2 （ 4， 0），動點 P 分別滿足下列條件，求點P 的軌跡方程：（1） |PF1 | |PF2 |2，（2） | PF1 | | PF2 | 2【典例 3】動點 M 到定點 F（ 4， 0）的距離和直線9的距離的比為4 ，則 M 的軌跡方程x432雙曲線常見題型與典型方法歸納(修改版附詳解答案 )【典例 4】已知ABC 中， C（ -2， 0）， B（ 2， 0）， sin Bsin C1 sin A ，求頂點

6、 A 的軌跡方程 .2練習 1已知雙曲線的實軸長為8，直線 MN 過焦點 F1 交雙曲線的同一分支與M，N且 MN7 , 則MNF2的周長（ F2 為另一個焦點）為（） A.28B. 30 C. 24D. 20x2y21 的焦距是（） A4B 22 C 8 D 與 m 有關2 雙曲線12 4 m2m2方法二 ： 運用待定系數法步驟定位 設方程 定值【典例1】求下列雙曲線的標準方程；（ 1）焦點是 F1 (3，0) ，漸近線的方程是 5x2y 0 （2）漸進線是yx ，經過點（ 3， 2）（ 2）實軸長為 4，虛軸長為 2（ 3）準線方程為 x=4 ，離心率為 2（ 4） 焦點為（ 4， 0），

7、（ -4，0），經過 (2,0)（ 5）雙曲線焦點在x 軸上，漸近線方程為y2x ，焦距為 4，則雙曲線的標準方程為?？键c三雙曲線的幾何性質題型一 幾何性質簡單應用【典例 1】雙曲線 x2y21，求（ 0）畫草圖（ 1）焦點，焦距（2）實軸的長，虛軸的長， （ 3）離心率，412左右準線方程， （ 4）漸進線的方程 (5) 焦點到漸近線的距離（ 6）焦點到準線的距離； （7） P 在右支上，則 P到左焦點的距離的最小值是.練習 （1）雙曲線 y2x21，離心率是，漸近線方程是。66(2)雙曲線 x2y2 1 (a,b 0)的左右頂點為A1 ， A2 ，虛軸 下上 端點為 B1 ， B2 ，左右

8、焦點為 F1 ， F2 . 若以 A1 A2a2b 2為直徑的圓內切于菱形F1 B1 F2 B2 ，切點分別為A, B, C , D （從第一象限按逆時針順序）則（）雙曲線的離心率e；（）菱形 F1 B1F2 B2 的面積 S1S1.與矩形 ABCD 的面積 S2 的比值S2題型二求與離心率及漸近線有關問題【典例 1】離心率（ 1）雙曲線 x2y2x2y21（ b 0）的焦點，則b=（） A.3 B.5 C. 3 D. 2的準線經過橢圓214b223雙曲線常見題型與典型方法歸納(修改版附詳解答案 )（2）設 F 和 F 為雙曲線x2y21 (a0, b0)的兩個焦點 , 若 F ，F，P(0,

9、2 b)是正三角形的三個頂12a2b212點 ,則雙曲線的離心率為（）A 3B 2C5D 3222222（ 3）已知 a>b>0， e1， e2 分別為圓錐曲線x2 y2 1 和 x2 y2 1 的離心率，則lge1 lge2()ababA大于 0 且小于 1B大于 1C小于 0D等于 1練習（ 1）已知 F1、 F2 分別是雙曲線x2y21 a0, b0的左、右焦點，過F1 作垂直于 x 軸的直線交a2b2雙曲線于 A 、B 兩點，若ABF2 為銳角三角形，則雙曲線的離心率的范圍是（）A 1,12B 12,C 12,12D 2,21（ 2）在正三角形 ABC 中， DAB, EA

10、C，向量 DE1 BC ，則以 B、C 為焦點，且過 D 、E 的雙曲線2的離心率為（）A531C21D3 +1B 3（ 3）若橢圓x2y21, (ab0) 的離心率為3x 2y 21的離心率為 _ 。a2b 22,則雙曲線a 2b 2【典例 2】漸近線（ 1）設雙曲線 x2y21(a0, b0) 的虛軸長為2，焦距為 23 ，則雙曲線的漸近線方程為 _。a 2b2（ 2）雙曲線的漸進線方程y3 x ,則雙曲線的離心率為_。4（ 3）焦點為 0,6，且與雙曲線x2y21有相同的漸近線的雙曲線方程是（）222222222A xy1B yx1C yx1D xy112241224241224122y

11、 2（ 4） F1,F2是雙曲線 C：x1（ a,b 0）的左、右焦點，B 是虛軸的上端點，直線F1B 與 C 的兩條漸a2b2近線分別交于P,Q 兩點，線段PQ 的垂直平分線與x 軸交與點 M ，若 |MF 2|=|F1 F2|,則 C 的離心率是（）23B.6C.2D.3A.23練習 與雙曲線 y 2x21 有共同漸近線，且經過點A( 3,2 3) 的雙曲線C 的一個焦點到一條漸近線的距169離是 _ 。4雙曲線常見題型與典型方法歸納 (修改版 附詳解答案 )方法歸納：1 漸進線方程為yn x 的雙曲線方程可設為x2y2(0) 。mm2n22 與雙曲線 x2y21共漸近線的雙曲線方程可設為

12、x2y2(0)a2b2a2b2【典例 3】（漸近線夾角問題）（ 1）若雙曲線的兩條漸近線夾角是2a ，求它的離心率 e ；（ 2）若雙曲線的離心率是 e ，求它的兩條漸近線夾角余弦值。題型三焦點三角形方法：解決焦點三角形時， 要利用正弦定理、 余弦定理、雙曲線的第一定義， 關鍵是配湊出| PF1 | PF2 |的形式，注意點P 在雙曲線的哪一支上 .例 已知雙曲線方程為x2y21( a 0, b 0), 左右兩焦點分別為F1, F2 , 在焦點 PF1F2 中，a2b2設P(x0 , yo )為橢圓上一點，PF1 r1，PF2r2， FPF12則結論 (1)定義： r1r2 2a(2)余弦定理

13、：(2 c)2r12 r222r1r2cos(r1 r2 ) 22r1 r22r1r2cos(3)面積 S pF F1 r1r2 sinc y0b21122tan2【典例1 】橢圓 x2y 21和雙曲線x2y 21 的公共焦點為F1、 F2， P 是兩曲線的一個焦點，則623cosF1 PF2 的值為（） A.1B.1C.2D.14333【典例2】 設 F1、F2為雙曲線 x2y21 的兩個焦點， 點 P 在雙曲線上滿足F1PF2 60 ，則F1 PF2 的4面積是 （） A.1B.2C.3D.2練習 中心在原點，焦點在x 軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1 , F2 ，且 | F1F2

14、| 2 13 ，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為 3： 7。（1）求這兩曲線方程； （ 2）若 P 為這兩曲線的一個交點，求 cosF1PF2 的值。5雙曲線常見題型與典型方法歸納(修改版附詳解答案 )題型四求最值22【典例 1】遼寧）已知 F 是雙曲線 xy|PA|1的左焦點，定點 A（ 1，4），P是雙曲線右支上的動點， 則 | PF |412的最小值為 _?！镜淅?2】P 為雙曲線 x2y 21 的右支上一點，M、 N 分別是圓（ x 5)2y 24 和（ x 5) 2y21916上的點，則 | PM | PN |的最大值為練習 已知 F 是雙曲線 x2y 21 的右焦點

15、，點 M是雙曲線右支上的動點，點A 的坐標為（11,3）9272求|MA|1 | MF |的最小值為及對應的點M的坐標。2考點四直線與雙曲線的位置關系一 位置關系 判斷1判斷直線與 雙曲線 相交0 ; 直線與 雙曲線 相切0 ; 直線與 雙曲線 相離0注意：直線與雙曲線有一個公共點時，它們不一定相切，也可能相交（即直線與雙曲線的漸近線平行）2【典例】 已知雙曲線方程為x 2y1 ，過 P（ 1，0）的直線 L 與雙曲線只有一個公共點，則L 的條數共有4（） A4條B3 條C2條D1 條練習：已知不論 m 取何實數，直線y=k x+m 與雙曲線 x 22 y 21 總有公共點，試求實數k 的取值

16、范圍 .2弦長問題步驟：由雙曲線方程x2y2與直線 l 方程 Ax By C0 聯立建立方程組，a1(a 0,b 0)2b2消元后得到的一元二次方程的根是直線和雙曲線交點的橫坐標或縱坐標，利用韋達定理寫成兩根之和與兩根之積3弦長公式直線 y kx b(k 0) 與圓錐曲線相交于A( x1 ， y1 ) ， B( x2 ， y2 ) 兩點，則（1）當直線的斜率存在時，弦長公式：AB1k2 x1x2= (1k2 ) g ( x1 x2 )24x1x2當斜率 k 存在且不為零時AB11y1y211g ( y1y2 )24 y1 y2 。k 2k 2（2）當直線斜率不存在時，則ABy1y26雙曲線常見

17、題型與典型方法歸納(修改版 附詳解答案 )【典例 1】 （ 1）求直線 yx 1被雙曲線 x2y21截得的弦長；4（ 2）等軸雙曲線 C 的中心在原點，焦點在 x 軸上， C 與直線 x4 交于 A, B 兩點，若 AB4 3；則C的實軸長為（） (A)2(B)2 2(C )( D )練習 過雙曲線 x2y21 的左焦點作直線l 交雙曲線于 A ， B 兩點，若 |AB|=22 ，則滿足條件的直線2有幾條（ ）A.1 條B.2條C.3條D .4二 常用方法1 設而不求法韋達定理【典例】 已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F (7 ,0), 直線 yx1 與其相交于 M、N 兩點， MN 中點的橫

18、坐標為2 , 求此雙曲線的方程32 點差法適用條件：與弦的中點及斜率有關【典例】 已知雙曲線 x2y21 ( a 0, b 0) ，被方向向量為 k(6,6) 的直線截得的弦的中點為（4，1），a2b 2求該雙曲線的離心率2練習 求過定點 (0,1) 的直線被雙曲線x2y1截得的弦中點軌跡方程4三 綜合應用【典例1】不論k 取值何值，直線 yk (x 2)b 與曲線 x2y21總有公共點， 則實數 b 的取值范圍是 ()(A)( 3,3)(B) 3,3(C) (2,2)(D) 2,2【典例2】直線 l 過雙曲線 x2y 21的右焦點，斜率k=2.若 l 與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上，則a

19、2b2雙曲線的離心率e 的范圍是（）A .e>2B.1<e<3C.1<e< 5D. e>53】已知 N (1,2) ，過 N 的直線交雙曲線x2y2uuur1uuuruuur【典例21于A、B兩點，且 ON2(OAOB)，則 AB的方程7雙曲線常見題型與典型方法歸納(修改版 附詳解答案 )【典例 4】過點 M (3, 1) 且被點 M 平分的雙曲線x2y21的弦所在直線方程為41【典例 5】已知動點 P 與雙曲線 x2 y2 1 的兩個焦點F 1， F 2 的距離之和為定值，且 cos F1PF23（ 1）求動點 P 的軌跡方程；（2）設 M(0， 1)，若

20、斜率為 k(k0) 的直線 l 與 P 點的軌跡交于不同的兩點A、B，若要使 |MA| |MB |，試求 k 的取值范圍x2y21(a 0,b 0) ， A 、 B 為其左、右兩個頂點， P 是雙曲線 C1上的任練習 1 設雙曲線 C1 的方程為2b 2a意一點，引 QB PB， QA PA， AQ 與 BQ 交于點 Q.（ 1）求 Q 點的軌跡方程 ;（2）設（ 1）中所求軌跡為C2，若 C1、C2 的離心率分別為e1、 e2，當 e2 時， e2 的取值范圍1練習 2 直線 l : ykx 1與雙曲線 C : 2x 2y21的右支交于不同的兩點A、 B.（）求實數k的取值范圍； （）是否存

21、在實數k，使得以線段 AB 為直徑的圓經過雙曲線C 的右焦點 F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由 .考點五易錯點一 忽視焦點位置產生的混淆例 若雙曲線的漸近線方程是y1 x ，焦距為 10，求雙曲線標準方程2二 忽視判別式產生的混淆例 若雙曲線的方程為 2x2y22 與點 P（ 1,1），則以 P 為中點的弦是否存在三 忽視雙曲線兩支距離的最小值例 設 F1, F2 是雙曲線x2y2161 的左右焦點。 P 在雙曲線上。若點 P 到焦點 F1 的距離為 9，求它到 F2 距離20四 忽視等價條件例 已知雙曲線 x2y24 與直線 l : yk ( x 1) 試討論 k 的取值范圍使 l

22、 與雙曲線有唯一公共點8雙曲線常見題型與典型方法歸納(修改版附詳解答案 )附 詳解答案雙曲線典型題型與方法歸納答案考點一雙曲線標準方程及性質1. 雙曲線的定義第一定義：【典例】 答案 D注意： 等軸雙曲線【典例】答案 x2y 2144考點二 雙曲線標準方程一 求雙曲線標準方程的方法如答案 y2x21916方法一 ： 運用定義【典例 1】解答：設動圓 M的半徑為 r 則由已知 | MC1 |r2,| MC2 | r2, | MC1 | | MC2 | 2 2 。又 C1 （-4 ， 0）， C2 （ 4，0）， | C1C2 |=8 ， 22<| C1C2|。根據雙曲線定義知，點M的軌跡是

23、以C1 （ -4 ， 0）、 C2 （4， 0）為焦點的雙曲線的右支。Q a2, c 4, b2c2a214點 M 的軌跡方程是x2y21(x2)214【典例2】答案（ 1） x2y21 （ 2） x2y21(x1)【典例 3】答案x2y21151597【典例4】解析：由正弦定理及sin Bsin C1|AC|AB|1|BC| |BC|sin A 得，22由雙曲線的第一定義知頂點A 的軌跡是以 C、B 為焦點，長軸長為2 的雙曲線的右支，2222y2x1bca =3x1c2a1（頂點 A 的軌跡方程為3）.練習答案1. B2 C方法二 ： 運用待定系數法【典例1】答案（1） x2y21 （2）

24、 x2y25 （ 3） x2y 21或 y2x214544（4） x2y21（ 5） x2y21 （ 6） x2y216419241241655考點三雙曲線的幾何性質題型一幾何性質簡單應用【典例 1】（ 7）答案ac練習（ 1）2 ，yx9雙曲線常見題型與典型方法歸納(修改版 附詳解答案 )(2) （）答案e51; （）答案S1252S22【解析】（）由于以12 為直徑的圓內切于菱形1 1 22 ，因此點O到直線FB的距離為a，又由于虛軸A AFBFB22兩端點為 B1， B2， 因 此 OB2 的 長 為 b ， 那 么 在 F2OB2 中 ， 由 三 角 形 的 面 積 公 式 知 ，1

25、bc1 a | B2 F2 |1 a(b c) 2，又由雙曲線中存在關系c2a 2b2 聯立可得出 (e21) 2e2 ，根據222e (1,) 解出 e51 ;2（）設 F2OB2,很顯然知道F2 A2OAOB2,因此 S22a 2 sin( 2 ) .在F2 OB2 中求得sinb, cosc,故 S24a2sincos4a2 bc；b2b2b2c2c2c 2菱形 F1B1 F2 B2 的面積 S12bc ，再根據第一問中求得的e 值可以解出S125.S22題型二求與離心率及漸近線有關問題【典例 1】離心率（ 1）C （2） B （3） C222244212a b lga b lgab&l

26、t;lga lg1 0， lge12<0. 解析 lge lge lgaa2a2 lgea練習（ 1） A（ 2）D（3）答案52【典例 2】漸近線（ 1） 答案 y2 x（2） 答案 5或 5（3） B234byb xb,acbc（ 4）【解析】由題意知直線F1B 的方程為：yx b ，聯立方程組c得點 Q(,) ，cxyaccaab0ybx b,a2c c2cac,bc)，所以 PQ 的中點坐標為(聯立方程組y得點 P(ab2 ,) ，所以 PQ 的垂直平分線x0ca cbab222a2方 程 為 ： ycc( xa 2c )， 令y0， 得 x c(1a2 )， 所 以 c(1 2

27、 )3c， 所 以bbbbb10雙曲線常見題型與典型方法歸納(修改版附詳解答案 )a22b22c22a2 ，即3a22c2 ，所以 e6。故選 B2練習答案 8【典例3】（漸近線夾角問題）（ 1）若雙曲線的兩條漸近線夾角是2a ，求它的離心率e ；【解】：由題設知 asin，或 acos離心率 e1或1。ccsincos（ 2）若雙曲線的離心率是e ，求它的兩條漸近線夾角余弦值。解設兩條漸近線夾角是2 ,(0) ,c4seca若 1e2 ，則夾角 22 arccos 1,e2 ，則夾角 22 arccos 1ee題型三 焦點三角形【典例1】答案 B【典例2】答案C練習 解答：（ 1）由已知：

28、c13 ，設橢圓長、短半軸長分別為a、 b，雙曲線實半軸、虛半軸長分別為m、am4x2y2x2y 2n，則7g 133g 13，解得 a=7,m=3. b=6,n=2. 橢圓方程為1, 雙曲線方程為1 。493694am（2）不妨設F1,F2分別為左右焦點，P是第一象限的一個交點，則所以又| F1F2 | 2 13， cosF1PF2 =題型四求最值【典例1】解設雙曲線的右焦點為E，則|PF | |PE| 4，|PF | PA|4 | PE | | PA|，當 A、P、E共線時， (| PE | PA |)min|AE|5，|PF| PA | 的最小值為 9。【典例2】解( PM )maxPF1R1PF12( PN )min PF2 R2PF11( PM PN )max2a3 9練習解 |MA|1|MF |=|MA|1 ed | MA | d1134, 此時 M (2 3,3)2222考點四直線與雙曲線的位置關系一 位置關系 判斷1 判斷【典例】