1、上海歷年中考數學壓軸題復習2001年上海市數學中考27.已知在梯形 ABC加，AD/ BC Aa BC 且 AA 5, AB= DG= 2.(1)如圖8, P為AD上的一點，滿足/ BPC= /A.圖8求證； AB小 DPC求AP的長.(2)如果點P在AD邊上移動(點 P與點A D不重合)，且滿足/ BP匿/A, PE交 直線BC于點E,同時交直線 DC于點Q那么當點Q在線段DC的延長線上時，設 AP= x, CQ= V，求y關于x的函數解析式，并 寫出函數的定義域；當CE= 1時，寫出AP的長(不必寫出解題過程).27. (1)證明: ZABP= 180 / A /APB/DP0180 -Z

2、 BPO / APB / BPC= /A,，/ABP= /DPC .在梯形 ABC理，AD/ BC AB= CDZA= / D. . . AB% DPC解：設AP= x,則DP= 5 x,由ABP DPC彳導AB 里，即2 0，解得AP DCx2x1= 1, x2= 4,則AP的長為1或4.AR AP2 x 一(2)解：類似(1)，易得 ABP- DPQ 空 4 .即',得PD DQ 5 x 2 y1 2 5y -x - x 2 , 1 vx< 4.2 2AP= 2 或 AP= 3 J5.（題27是一道涉及動量與變量的考題，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推斷與證明均可借

3、鑒（1）的思路.這是一種從模仿到創造的過程，模仿即借鑒、套用，創造即靈活變化，這是中學生學數學應具備的一種基本素質，世上的萬事萬物總有著千絲萬縷的聯系，也有著質的區別，模仿的關鍵是發現聯系，創造的關鍵是發現區別，并找到應付新問題 的途徑.）上海市2002年中等學校高中階段招生文化考試27.操作：將一把三角尺放在邊長為 1的正方形ABCtDh,并使它的直角頂點 P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經過點B,另一邊與射線DC相交于點Q（1）當點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系？試證明你觀察 得到結論；（2）當點Q在邊CD上時，設四邊形PBCQj面積為y,求y與x之間的函數解析

4、式, 并寫出函數的定義域；（3）當點P在線段AC上滑動時， PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出 所有能使 PCQ成為等腰三角形的點 Q的位置，并求出相應的 x的值；如果不可能，試說 明理由.（圖5、圖6、圖7的形狀大小相同，圖 5供操作、實驗用，圖 6和圖7備用）五、（本大題只有1題，茜分12分，（1）、（2）、（3）題均為4分）27.N圖1圖2（1）解：PQ=PB（1分）證明如下：過點 P作MM/ BQ分別交AB于點M交CDT點N,那么四邊形 AMNBn四邊形BCN赭B是矩形， AM誄口 CN喈B是等腰直角三角形（如圖 1）.NA NO MB（1分）ZBPQ=90 , ZQPhkZ

5、 BPI90 .而/ BPM-Z PBIW90 , ZQPI4:Z PBM（1分）又; Z QNR=Z PMB=90 , . QN巨PMB（1分）PQ=PB（2）解法由（1） QN0PMB 得 NQ= MPA2x, . AM=MR=NQ=DN= x, 2；2BM=PN=CN=1-x,2<2.CQ= C D- DQ= 1 2 , x = 1 2 x .211得 S p = - BC B - 八LOU 一2X1X （1-x）24iX.4（1分）（1- V2x） （1迤x）23v12（1分）四邊形 PBcf S3B共 6pc（T X 2v1?x +1.1 2 i（1分，1分）即 y=-x-/2

6、x + l （0<x<）.22解法二作P71BG T為垂足（如圖2）,那么四邊形PTC電正方形.又/ PNQ= Z PTB= 90 , PB= PQ . /PB售 PQN（2分）S四邊形PBCQ= 0四邊形pbt+ S四邊形ptcQT S四邊形ptc# SapqNT S正方形ptcn=CN= （ 1 x ） = x V2x + 122y=1x2-<；2x + l （0<x<）. （ 1 分）22（3） pcqt能成為等腰三角形當點P與點A重合，點Q與點D重合，這時PQ= QC PCQ是等腰三角形，此時x= 0 （ 1分）當點Q在邊DC的延長線上，且CP= CQ寸，

7、4PCQ是等腰三角形（如圖3）（1 分）2一22解法一 此時，QN= P陣 " x, CP= a/2-x, CN=12CP= 1- x .222i-. CQ= QN-CN= x - （1- -x） = V2x-1.22當 J2x=72x 1 時，得 x=1. （1 分）1解法二 此時/ CPQ /PCN= 22. 5 , Z APB= 90° 22.5 = 67.5 , 2/ABP= 180° （ 45° +67.5 ） = 67.5 ,得/ APB= / ABP. AP= AB= 1,x= 1. （ 1 分）上海市2003年初中畢業高中招生統一考試27

8、.如圖，在正方形 ABCD中，AB= 1 ,弧AC是點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧。點E是邊AD上的任意一點(點 E與點A D不重合)，過E作弧AC所在圓的切線，交邊 DC 于點F, G為切點：(1)當/ DEF= 45o時，求證：點 G為線段EF的中點；(2)設AE= x, FC= y,求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；5(3)將 DEF沿直線EF翻折后得 D1EF,如圖，當EF= V時，討論 AD1D與 ED1F是6否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要求寫出結論，不要求寫出理由。此文檔部分內容來源于網絡，如有侵權請告知刪除本文檔可自行編輯和修改內容，感謝您的支持&

9、amp;區得。=：,=2."證明 J： NDEF = 45 得 NDFE =附一/DEF 二 45 K /DFE Ju= /DEF",DE = DF.又= 因為AB建國B的半徑,AD,榴，所以AD切圓E于點肌同理,CD旬0IB于點CX因為EF電圓B于點G廝以屈*跖,理=布,因此EG = fG,即 點G為線段EF的中點,(2)解;： EG =屈=工，用=CF =人£D = I 一/田=1 - y在口1尸中,由團+用=用：得(1一工)2+(】一W？ =(1+丁汽：7 =解:當即二4時,由得EF = ED + FG = AE + R： = h+= 得 o1 + x 6工

10、i或取即AE = 4或妊當恁=4時/ADi以AEDiE怔明如下:設直線EF交叫D0于點乩如圖2.據慝直,AEDF篡ED】E EF，加且 DH =5 H, AE =；，加=I,得 AE =即， £EH g. ： ZDMD = 2FED = /FEDi, ZADjD = /EHD = 90 又: /EDiF=NEDF = 90"，；* NEDiF=NAD|D, AADjDwAEDjH 當AE工J時心AD D與«)1 F不相限J2004年上海市中考數學試卷27、（2004?上海）數學課上，老師提出：如圖，在平面直角坐標系中， O為坐標原點，A點的坐標為（1, 0）,點B

11、在x軸上，且在點 A的右側，AB=OA過點A和B作x軸的垂線，分別交二次函數 y=x2的圖象于點C和D,直 線0僅BD于點M直線CD交y軸于點H,記點C D的的橫坐標分別為 xo Xd,點H的縱 坐標為yH.同學發現兩個結論：s cmD S 梯形 abm=2 : 3數值相等關系：xc? XD=-yH（1）請你驗證結論和結論成立；（2）請你研究：如果上述框中的條件“A 的坐標（1,0）”改為“A的坐標（t , 0） （t >0） ”， 其他條件不變，結論是否仍成立（請說明理由）；（3）進一步研究：如果上述框中的條件“A 的坐標（1, 0） ”改為“A 的坐標（t , 0） （t >0

12、）”,又將條件"y=x 2"改為"y=ax2 （a>0）”,其他條件不變，那么 xc、xd與yH有怎專題：壓軸題。分析：（1）可先根據AB=OA導出B點的坐標，然后根據拋物線的解析式和A, B的坐標得出C, D兩點的坐標，再依據 C點的坐標求出直線 OC的解析式.進而可求出 M點的坐標，然后 根據C D兩點的坐標求出直線 CD的解析式進而求出 D點的坐標，然后可根據這些點的坐標 進行求解即可；（2） （3）的解法同（1）完全一樣.解答：解：（1）由已知可得點B的坐標為（2, 0）,點C坐標為（1, 1）,點D的坐標為（2, 4）,由點C坐標為（1,1）易得直

13、線OC的函數解析式為y=x,故點M的坐標為（2, 2）,所以 S»A CM=1 , S 梯形ABM=一所以Sa CMD S 梯形 abm=2 : 3, 即結論成立.設直線CD的函數解析式為 y=kx+b,k+b = 1則于S=4,k=3.ZB A - - 2解得所以直線CD的函數解析式為y=3x - 2.由上述可得，點 H的坐標為(0, - 2), yH= - 2因為 Xc? Xd=2,所以 xc? xd=- yH,即結論成立；(2) (1)的結論仍然成立.理由：當A的坐標(t, 0) (t>0)時，點B的坐標為(2t , 0),點C坐標為(t, t2),點 D的坐標為(2t

14、, 4t2 ),由點C坐標為(t , t2 )易得直線OC的函數解析式為y=tx ,故點M的坐標為(2t , 2t2 ),所以 SacM=t3 , S 梯形 ABM="t3 .所以Sa CMD S 梯形 abm=2 : 3,即結論成立.設直線CD的函數解析式為 y=kx+b ,tk-f-b = t2則比'k=3tb= -2F解得2所以直線CD的函數解析式為y=3tx - 2t ;2由上述可得，點 H的坐標為(0, - 2t2), yH=-2t 2因為 xc? xD=2t ,所以 xc? xd=- yH,即結論成立； .一_. 、 . .2. 一 .， . .(3)由題息，當二

15、次函數的解析式為 y=ax (a>0),且點A坐標為(t , 0) (t>0)時，點C坐標為(t , at 2),點D坐標為(2t, 4at 2),設直線CD的解析式為y=kx+b ,則:tk'f-b-at2 、2tk+b = 4#,解得J k-3at b= - 2at2所以直線CD的函數解析式為 y=3atx - 2at 2,則點H的坐標為(0, - 2at 2), yH=-2at2.2因為 xc? XD=2t ,所以 xc? xd=- yH.點評：本題主要考查了二次函數的應用、一次函數解析式的確定、圖形面積的求法、函數圖象的交點等知識點.2005年上海市初中畢業生統一學

16、業考試數學試卷1、(本題滿分12分，每小題滿分各為 4分)在 ABC中，/ ABC= 90° , AB= 4, BC= 3,。是邊AC上的一個動點，以點 。為圓心作半圓, 與邊AB相切于點D,交線段 OC于點E,彳EPL ED,交射線 AB于點P,交射線CB于點F。(1) 如圖 8,求證： ADa4AEP(2) 設OA= x, AP= y,求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；(3) 當BF= 1時，求線段AP的長.圖9 (備用圖)25.(1證明：連結ODQ AP切半圓于 D,ODA PED 90又 QOD OE, ODE OED90 ODE 90 OED EDA PEA,又Q

17、A AADE : AEP,、OD CB(2)OA ACOD 3 OD 3x OE,同理可得：AD 4xx 555Q ADE : AEP8 xAP AEy5AE AD8x 4xx x55(x 0)(3)由題意可知存在三種情況464216xy x y x5255但當E在C點左側時B F顯然大于4所以不合舍去當x 5時AP AB(如圖) 4延長DO, BE交于H易證 DHE DJE6 一HD 6x,Q PBE PDH 905PFB : PHD1 PB612PB 2 AP 6II,5當x -時P點在B點的右側4延長DO,PE交于點H同理可得DHE EJDPBF : PDH2006年上海市初中畢業生統一

18、學業考試數學試卷25 （本題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分7分，第（3）小題滿分3 分）已知點P在線段AB上，點O在線段AB的延長線上。以點 。為圓心，OP為半徑作圓，點 C 是圓。上的一點。（1） 如圖 9,如果 AP=2PB PB=BO 求證： CA6 BC。（2） 如果AP=m（m是常數，且 mt 1）, BP=1, OP是OA OB的比例中項。當點 C在圓 。上運動時，求AC: BC的值（結果用含m的式子表示）；（3） 在（2）的條件下，討論以 BC為半徑的圓B和以CA為半徑的圓C的位置關系， 并寫出相應m的取值范圍。此文檔部分內容來源于網絡，如有侵權請告知刪除本文

19、檔可自行編輯和修改內容，感謝您的支持CAO25. （1）證明:AOPOQ POAOCOQAP 2PB PB BO PO, AO 2PO.POBOCO , CO BO2 .Q/COA /BOC,CAOs/Xbco.（2分）（1分）（1分）（2）解：設OP x,則OB x 1, OA x m, QOP是OA, OB的比例中項,2x x 1 x m ,OBQOP 是 OA,OB的比例中項,即OAOPOB，QOP OC,OA OCOC OB（1分）（1分）（1分）（1分）設圓O與線段AB的延長線相交于點 Q ,當點C與點P ,點Q不重合時,Q/AOC /COB, ACAOABCO . （1 分）AC

20、OCBC OBAC OCBC OB（1分）OPOBm ;當點C與點P或點Q重合時，可得ACBC當點C在圓O上運動時，AC:BC m；（1分）(3)解：由(2)得，AC BC,且 AC BCAC BC m 1 BC ,圓B和圓C的圓心距d BC ,顯然 BC m 1 BC,圓B和圓C的位置關系只可能相交、內切或內含.當圓B與圓C相交時,m 1 BC BC m 1 BC ,得 0 m 2 ,（1分）（1分）當圓B與圓C內切時，m 1 BC BC,得m 2;當圓B與圓C內含時，BC m 1BC,得m 2 .（1分）2007年上海市初中畢業生統一學業考試25.（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第

21、（2）, （3）小題滿分各5分）已知：/MAN 60°,點B在射線AM上，AB 4 （如圖10）. P為直線AN上一動點,以BP為邊作等邊三角形 BPQ （點B, P, Q按順時針排列），。是4BPQ的外心.（1）當點P在射線AN上運動時，求證：點 O在/MAN的平分線上；（2）當點P在射線AN上運動（點P與點A不重合）時，AO與BP交于點C ,設AP x ,ACgAO y ,求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；（3）若點D在射線AN上，AD 2 ,圓I為AABD的內切圓.當 BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時，請直接寫出點 A與點。的距離.QO是等邊三角形BPQ的外心,OB

22、OP ,圓心角BOP°360120°.當OB不垂直于AM時，作OHAM , OT AN ,垂足分別為H , T .由 HOT A AHO ATO 360°,且 A 60°,AHO ATO 90°, HOT 120°.BOH POT.RtABOH 0 RtAPOTOHMAN的平分線上.當OBAM時,APO3600A BOPOBA 900.即OPMAN的平分線上.P在射線AN上運動時，點O在MAN的平分線上.綜上所述，當點Q AO平分MAN且MAN 600,BAOPAO由(1)知,OB OP, BOP 1200,CBO30°,C

23、BO PAC.Q BCOPCA, AOB APC . ABOs ACP .AB AO _吧 7. ACgAO ABgAP. y 4x .AC AP定義域為：x 0.(3)解：如圖6,當BP與圓I相切時，AO 2，3；如圖7,當BP與圓I相切時,AO如圖8,當BQ與圓I相切時,AO0.圖6P(A)圖72008年上海市中考數學試卷25.（本題滿分14分，第（1）小題滿分5分，第（2）小題滿分4分，第（3）小題滿分5 分）已知AB 2, AD 4, DAB 90°, AD / BC （如圖13）. E是射線BC上的動點（點E與點B不重合），M是線段DE的中點.（1）設BE x, AABM的

24、面積為y ,求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；（2）如果以線段 AB為直徑的圓與以線段 DE為直徑的圓外切，求線段 BE的長；（3）聯結BD,交線段AM于點N ,如果以A, N, D為頂點的三角形與zBME相似, 求線段BE的長.Q M 為 DE 的中點，MH / BE , MH又Q AB BE , MH AB .備用圖1-(BE AD).C(1分)(1分)211Szxabm -ABgMH，得 y -x 2（x 0）;22（2分）（1分）（2）由已知得 DE J（x 4）2 22（1分）Q以線段AB為直徑的圓與以線段 DEMH1_1 _ rr 1-AB -DE ,即一（x 4）222

25、為直徑的圓外切，2 2 J（4x）L22（2分）4解得x ,即線段3（3）由已知，以A,又易證得 DAM4BE的長為一；3N, D為頂點的三角形與zBME相似,EBM （1分）由此可知，另一對對應角相等有兩種情況：當DB當ADNDE , ADBBEM 時，Q AD / BE,易得BE 2AD .得ADNADNBEM ; ADBDBEDBEDEBEBME 時,BME .又Q AD /BEDBE BE , MEB8;（1分）BME .BEM .（2分）ADB DBE . BEDAMEB .BEEMBE2EM gDE ,得jj22（x 4）2 J22 （x 4）2 .綜上所述，所求線段10 （舍去）

26、.即線段BE的長為2.（2分）BE的長為8或2.2009年上海市初中畢業統一學業考試25.（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分5分，第（3）小題滿分5 分）已知 ABC 90°, AB 2, BC 3, AD / BC, P為線段BD上的動點，點 Q在射線AB上，且滿足EQ處（如圖8所示）.PC AB（1）當AD 2,且點Q與點B重合時（如圖9所示），求線段PC的長；3 一 一（2）在圖8中，聯結AP .當AD -,且點Q在線段AB上時，設點B、Q之間的距離2、口、，S*A APQ為x ,S*A PBCy ,其中SaAPQ表不 APQ的面積，S>aPBC表不

27、 PBC的面積，求y關于x的函數解析式，并寫出函數定義域;(3)當AD AB ,且點Q在線段AB的延長線上時(如圖10所示)，求 QPC的大小.(1) AD=2且Q點與B點重合,S1, S2,高分別圖8(2009年上海25題解析)解:因為/ A=90 PQ/PC=AD/AB=1,所以： PQC等腰直角三角形，(2)如圖：添加輔助線，根據題意，兩個三角形的面積可以分別表示成 是 H, h,則：S1= (2-x) H/2= (2*3/2) /2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)22S2=3*h/2 因為兩 S1/S2=y,消去 H,h,得：，2Y=-(1/4)*x+(1/2),定義域：當點P

28、運動到與D點重合時，X的取值就是最大值，當 PC垂直BD時，這時X=0, 連接DC,作Q四直DC由已知條件得：B、。D C四點共圓，則由圓周角定理可以推知： 三角形QDG目似于三角形ABDQD/DC=AD/AB=3/4 令 QD=3t,DC=4t,貝U: QC=5t,由勾股定理得：直角三角形 AQD中：(3/2)A2+(2-x)A2=(3t)A2直角三角形QBC中：3A2+*人2=(5。A2整理得：64xA2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0得x1=7/8 x2=(43/8)>2( 舍去)所以函數：Y=-(1/4)*x+1/2的定義域為0 , 7/8(3)因為：PQ/

29、PC=AD/AB假設PQ不垂直PC則可以作一條直線 PQ垂直于PC,與AB交于Q'點，則：B, Q' , P, C四點共圓，由圓周角定理，以及相似三角形的性質得：PQ /PC=AD/AB,又由于PQ/PC=AD/AB所以，點 Q'與點Q重合，所以角/ QPC=902010年上海市初中畢業統一學業考試數學卷25.如圖9,在RtABC中，Z ACB= 90° .半徑為1的圓A與邊AB相交于點 D,與邊AC相交于點E,連結DE并延長，與線段 BC的延長線交于點 P.(1)當/ B= 30°時，連結 AP,若4AEP與4BDP相似，求 CE的長;(2)若CE

30、=2, BD=BC求/ BPD的正切值;7 A 口三 A E 上 AED=«T =/CEP J. ZEPC = JO,:.刃服BDP為等鷹二用形, aep 'AiepMi似: ZEAP= Z EPA= ZDLJP=ZDPB=.WFEME工在打凸工仃中.ELEP-：經過也口作DQJ_AC于點小 且鼓聲Q，. BDr丁禺 E= l,EC=2二 m一丫上At過一見f二,adq與月日,和假,A/J 4g"aS '7c在 RT/mrxj"向E任守YU一型辿 nc 7Jjt - + 2上一&T j+1_1Jtj + l弊之鉗，=4.UU BC=4逋熹C作CHRP二 ADE 耳 AFC 褶 1%/. = t LU AF=AC> 即 DF=EC=2, ZC HF,*JiF-DF=2,RFC與八口門相葭fC* 3 L一Lsu/RPDt一二二- CP 4 2過口戊作于點Q,劇ADVE yZlPVE*日似，設Agar則Qkla:.處二5 H出ii上方產。=1ec cr3二可? 一 五I -a）;在RlAAD