1、電磁場與電磁波復習第一局部知識點歸納弟一早矢量分析1、三種常用的坐標系(1)直角坐標系微分線元：d R = ax dx+ Wdy+dz面積元:jdSx =dydzdSy =dxdz,體積元：dgcMydzJdSz =dxdy(2)柱坐標系工 dlr = drdSr = dl dl z = rd dzz = drdz ,體積元：di = rdrd 邛dz長度元：dlcp = rd中,面積元dSq)= dlrdldlz = dz(3)球坐標系dSz = dl dlz = rdrdzdlr = drdl - rddl = r sin ?d ;dSr = dl dl - r2 sin did ：,面

2、積元： dS = dlrdl q； = rsinOdrd 中,體 積元：dS(p = dlrdl = rdrd 日d = r2 sin Frd 飛:2、三種坐標系的坐標變量之間的關系(1)直角坐標系與柱坐標系的關系'x=rcos中 r=qx2+y2y =rsin :,= arctanxz 二z(2)直角坐標系與球坐標系的關系r = x2 y2 z2 y =r sin 日sin Q 伯=arccosz.x2y2 z2a arctan z(3)柱坐標系與球坐標系的關系z = r cos二r = 3 2 + z2,步=arccosz ,22r - z=邛3、梯度(1)直角坐標系中:gradT

3、 cP.口 =；=ax ay x二 yT cP az ：z(2)柱坐標系中：,J1grad二二a a. az rr -'z(3)球坐標系中：1grad = x J = ar a1a .：；:r ' r4.散度(1)直角坐標系中：Ax八2Azdiv A =；x2y；z(2)柱坐標系中：1 :div A =(rAr)r ；r(3)球坐標系中：,1 F 2div A =一(Ar)r ：:r5、高斯散度定理:(sin uA1)1：:A|AdS=廣 Adz = JdivAdi ,意義為：任意矢量場A的散度在場中任XXT意體積內的體積分等于矢量場 A在限定該體積的閉合面上的通量.6,旋度(

4、1) 直角坐標系中：TaxTayTazFxAx-:yAy:zAz(2) 柱坐標系中:T ar.rArTra :百 rA :Taz3:zAz(3) 球坐標系中：Tar-TArT rau公 rA 二T r sin a a(pr sin gcpT兩個重要性質：矢量場旋度的散度恒為零,父A = 0標量場梯度的旋度恒為零, M N = 07、斯托克斯公式：第二章 靜電場和恒定電場1、靜電場是由空間靜止電荷產生的一種發散場.描述靜電場的根本變量是電場強度：8.854 10J2F/m位移矢量D和電位邛.電場強度與電位的關系為：E = Z華.斯2、電場分布有點電荷分布、體電荷分布、面電荷分布和線電荷分布.其電

5、場強度和電位的 計算公式如下：1點電荷分布1 r qk RkE -34二；0 k4 Rk(2)體電荷分布 '-14二；.N 1.1VNqk- qC (),- C0 k 4 Rk 4'： 0 k w RkE,4二；0P(r )(r - r )dvr'r=,P(r )dv4二；oTr -r3面電荷分布E 二,4 二；0'-,>底(r )(r-r )dS4 二；o' , 1:S(r )dS C4 線電荷分布>1E二4 二；°cT 1,:l (r )(r -r )dl=!4二；0：l(r )dlC3、介質中和真空中靜電場的根本方程分別為ID

6、 d S =q'積分形式一包格t介質中的高斯定理q為S面內的總源電荷和S面內的總極化電荷之和 V D=r微分形式Ed7=0 積分形式lEd0,一打*T安培環路定理,說明靜電場是一種發散 場,也是保守場.,Vxe =0微分形式,1 ncE d S =一Z qj.(積分形式)忖E=£微分形式,p為體電荷密度；0真空中的高斯定理D = 0 E P = ； E = 0 r ES；0y在線性、各向同性介質中,本構方程為:4、電介質的極化1極化介質體積內的極化體電荷密度為:-V,PP極化強度矢量.2介質外表的極化面電荷密度為：PpS = P nn為外表的單位法向量矢 量p J5、在均勻介

7、質中,電位滿足的微分方程為泊松方程和拉普拉斯方程,即(II)如果介質分界面上分布電荷密度Ps , D的法向分量從介質1跨過分界面進入介質2p2邛=_(有源區域),V2邛=0(無源區域)6、介質分界面上的邊界條件(1)分界面上Dn的邊界條件D1n - D2n = Ps/ n 1( D1 D2 ) = %(Ps為分界面上的自由電荷面密度),當分界面上沒有 自由電荷時,那么有：Dm =d2n即n =ns,它給出了 D的法向分量在 介質分界面兩側的關系：(i)如果介質分界面上無自由電荷,那么分界面兩側D的法向分量連續;T時將有一增量,這個增量等于分界面上的面電荷密度：s.用電位表示:卞 1,"

8、;二 2一十1+ /- Ps 和 a二 n 二 n",i；:n=0)(2)分界面上Et的邊界條件(切向分量)T T T T- T T nx E = nx E或 E1t = E2t ,電場強度的切向分量在不同的分界面上總是連續的.由于電場的切向分量在分界面上總連續,法向分量 有限,故在分界面上的電位函數連續,即%=啊.電力線折射定律:7、靜電場能量(1)靜電荷系統的總能量體電荷:面電荷:WeCdT;2 j：S二 n線電荷:f Psds;S1.(2)導體系統的總能量為：We =-H qkK .2 k(3)能量密度靜電能是以電場的形式存在于空間,而不是以電荷或電位的形式存在于空間中的.場中

9、任意1?一點的能重留度為：- = - D E =2在任何情況下,總靜電能可由We =123E J /m21匹、工來計算.2 V8、恒定電場存在于導電媒質中由外加電源維持.描述恒定電場特性的根本變量為電場強度E和電流密度J,且J=0E.仃為媒質的電導率. (1)恒定電場的根本方程山溝、江鄉土沖上鏟1r 積分形式：qJ,dS=_四電流連續性萬程：S；t微分形式：節J=.史或 J“f=0Ft2t恒定電流場中的電荷分布和電流分布是恒定的.場中任一點和任一閉合面內都不能有電荷的增減,即 曰=0和2=0.因此,電流連續性方程變為：:fJdS = 0和 J=0,再加上ftNS%Ed丁=0和千是=0,這變分別

10、是恒定電場根本方程的積分形式和微分形式.(2)恒定電場的邊界條件T Y一 一 一J ,(1) Jin = J2n或 n (Ji J2) =0,(2) Eit = E2t 或 nx (Eit -E2t) =0TT應用歐姆定律可得：a1E1n =<r2E2n和J =包.121 c此外,恒定電場的焦耳損耗功率密度為P=OE2,儲能密度為8 e =比.e 2第四章恒定磁場f1、磁場的特性由華感應強度B和磁場冷度(真空磁導率：|以=4n "0,H /m,|)H來描述,真空中磁感應強度的計算公式為:(1)線電流:,J >4Id l aRl24 二 1 R(3)體電流:(2)面電流:T

11、 TJs aRR2dSdS-一,0 Js (r -r ) 小丁2、恒定磁場的根本方程(1)真空中恒定磁場的根本方程為：真空中安培環路定理：A、磁通連續性方程：?積分形式：要=0 , B、微分形式：v B=0,積分形式:qB%> =n0i歲分形式：VxB=N0J(2)磁介質中恒定磁場的根本方程為：A、磁通連續性方程仍然滿足：積分形式：磨d； = 0 ,、微分形式： B =0f' )B、磁介質中安培環路定理：積分形式：口伸d 10逆分形式：B>c、磁性媒質的本構萬程：B=wwH=rHH=f-M,其中M為磁化強度矢量.恒定磁場是一種漩渦場,因此一般不能用一個標量函數的梯度來描述.

12、3、磁介質的磁化磁介質在磁場中被磁化, 其結果是磁介質內部出現凈磁矩或宏觀磁化電流.磁介質的磁化程度用磁化強度M表示.1磁介質中的束縛體電流密度為：Jm = VxM ;2磁介質外表上的束縛面電流密度為：j：=Mx及其中,n為外表的單位法向量矢量4、恒定磁場的矢量磁位為：B x A,矢量A為矢量磁位.在庫侖標準條件 A = 0下,場與源的關系方程為：v2X=1?有源區h2A=0無源區 對于分布型的矢量磁位計算公式：（1） 線電流：A=L五2面電流：4： R R4 二5、恒定磁場的邊界條件1分界面上Bn的邊界條件在兩種磁介質的分界面上,取一個跨過分界面兩側的小扁狀閉合柱面高 hT0為無窮小量,如右

13、圖所示,應用磁通連續性方程可得：T T T T T TsB dS =B1nds -B2 ndS =0于是有：n B2-B1 =0或 B1n =B2nJsdS3體電流：a=_L巫R一4二.R分界面上Bn的邊界條件(即 Js = 0 ),那么 7x(H1-Ht) =0即 hU =Ht 或H1sin 0 =HzSin &磁力線折射定律tan %1tan4口 2（2） 分界面上Ht 切向分量的邊界條件： nxHt_Ht=jS,如果分界面上無源外表電流用矢量磁位表示的邊界條件為：a =A2；、, At -/'、 A2t =JSJ 1- 26、電感的計算T TqT T1外自感：l0 =旦=

14、此叫dl0d l , 2互感：m12=M21 =30卜史I4 二 l L R4 二 七 “2R3內自感：單位長度的圓截面導線的內自感為：長度為l的一段圓截面導線的內L8 二自感為L =旦.8 二7、磁場的能量和能量密度1磁場的總能量磁介質中,載流回路系統的總磁場能量為：Wnl =£ £ M kj I j 1k2 j 土 k 33磁場能量密度1- B H d工計算出;2B、,一乂人日-1 A、任意磁介質中：8m =H B ,此時磁場總能量可以由 Wm在各向同性,線性磁介質中：防=1HB=NH,此時磁場總能量可以由22Wm第五章時變電磁場1、法拉第電磁感應定律 最,(1)感應電

15、動勢為： £ =；dtt積分形式：qE,dT=q空 dS(2)法拉第電磁感應定律1s Ft_ T溫微分形式：Vxe=-二 t它說明時變的磁場將鼓勵電場,而且這種感應電場是一種旋渦場,即感應電場不再是保,>守場,感應電場 E在時變磁場中的閉合曲線上的線積分等于閉合曲線圍成的面上磁通 的負變化率.2、麥克斯韋位移電流假說電位移矢量對時間的變化率可視為一種廣義的電流根據麥克斯韋提出的位移電流假說,T一；,D ,、- 一 , , 一密度,稱為位移電流密度,即Jd =巳.位移電流一樣可以鼓勵磁場,從而可以得出 d2t時變場中的安培環路定律卜分形式iJH d 1 =CS(J +詈)d SI

16、> 微分形式：vxHuJ+WD3、麥克斯韋方程組D>r(1) .1H d 1 = s(J) dS.t- - 一,.B ；(2)：1 E d 1 =-.s-j- dST T(3) sB d 1 =0(4) sD'dS=q,Tc T T dD(1)Vxh =J + (1) 微分形式 L TdB (2)積分形式(2)Vxe =-二- a(3)V B = 0(4八 D =：(3)非限定形式的麥克斯韋方程組在線性和各向同性的介質中,有媒質的本構關系:D 二 E 二 0 ；r E,B - 1 H -0,H,Jc=仃E,由此可得非限定形式的麥克斯韋方程組:L T T dE(1H =J +

17、s a«(2HmE一空(3)V 串H =0(4八；E>=：(4)麥克斯韋方程組的實質A、第二方程:一時變電磁場.史的安培環路定律q物理意義工一磁場是由電流和時變的一電場B、第二方程：法拉第電磁感應定律.物理意義：說明了時變的磁場鼓勵電場的這一事實.C、第三方程：時變電場的磁通連續性方程.物理意義：說明了磁場是一個旋渦場.d、第向方程：高而定證 粉a意L 而變血詼場而面灸菽i谷量是而通荷麗加而.思考題：麥克斯韋方程中為什么沒有寫進電流連續性方程答：由于它可以由微分形式的方程組中、式兩式導出.把式兩邊同時取散度得由于矢量的旋度的散度恒等于零,故得,再把式代入上式,即得J+上二=.,

18、這便是電流連續性方程.；:t4、分界面上的邊界條件(1)法向分量的邊界條件一 T 二, 一- T r _A、dh勺邊界條件nM(D1D2) = PS ,右分界面上PS =.,那么n黑(D1 - D2)=.T八T M M b、b的邊界條件nM(B1 B2)=.(2)切向分量的邊界條件A、E的邊界條件>f >n (E1 - E2)=.TTTTTTTTb、Hit勺邊界條件 nM(Hi H 2) = Js,假設分界面上 Js =.,那么 nM(Hi H2)=.(3)理想導體(仃=8)外表的邊界條件 T T T T T(1) nH =JsU Ht =Js T Tf(2)nME =.= Et

19、=.,« TT'(3) n B =.U Bn =./八Ps匚 良(4) n EEnJ".；.T式中n是導體外表法線方向的單位矢量.上述邊界條件說明：在理想導體與空氣的分界面上,如果導 體外表上分布有電荷,那么在導體外表上有電場的法向分量,那么由上式中的式決定,導體外表上電場 的切向分量總為零；導體外表上磁場的法向分量總為零,如果導體外表上分布有電流,那么在導體外表 上有磁場的切向分量,那么由上式中的決定.5、波動方程2-22 e無源區域內,E、 1的波動方程分別為：V2 H=Q> V2E%£=.；Ft2?t21二衣此兩式為三維空間中的矢量齊次波動方程

20、.由此可以看出：時變電磁場在無源空間中是以波動的方式在運動,故稱時變電磁場為電磁波,且電磁波的傳播速度為：0 =p6、坡印廷定理和坡印廷矢量 ,',：1 .9199數學表達式：-爐H dS = - (- JH- E )d -E d111 I.由于雙=卜電di為體積E內的總電場儲能, 岫=卜用df為體積E內的總磁場儲能,P=Ed三 為體積工內的總焦耳損耗功率.于是上式可以改寫成：EMH dS=!M4+岫)+P,式中的S為限定體積七的閉合面. S物理意義：對空間中任意閉合面 s限定的體積丁,S矢量流入該體積邊界面的流量等于該體積內電 磁能量的增加率和焦耳損耗功率,它給出了電磁波在空間中的能

21、量守恒和能量轉換關系.坡印廷矢量(能流矢量)S、=E> H'表示沿能量流動方向單位面積上傳過的功率.T7、動態矢量磁位 A和動態標量為 與電磁場的關系為：T :A B=VA, E = -VC> - ftT達朗貝爾方程(或稱 A與6的非齊次波動方程)為、2a 一一一 jW 三 trtt ；第六章正弦平面電磁波歐拉公式： ejx = cosx + j sin x1、正弦電磁場(1) 正弦電場、磁場強度的復數表示方法(以電場強度為例)在直角坐標系中,正弦電磁場的電場分量可以寫成：E(x, y,z,t) = ax Exm(x, y,z) cos' t (x, y, z) 1

22、ay Eym(x, y, z) cos' t (x, y,z) az Ezm(x, y,z) cos1 t(x,y, z)l運用歐拉公式將其表示成復數矢量形式 ：Ex =Exmcost . (x,y,z)l-Re匕mej( t ")】=Re(Exmej bEy=EymcosLt ：y(x,y,z)：ReEymej( t'y) =Re(Eymejt)Ez = EzmcosY：z(x,y,z)l-ReEzmej( t z)1=Re(Ezmej t).j x.j ：y,j ：z,-=其中,Exm Exme , E ym Eyme, E zm Ezme 分力u稱為各分重振幅的

23、相重,它的模和相位角都是空間坐標的函數,因此E(x,y, z,t) = Re(ax Exmay Eym az Ezm)ej t= Re(Eej t)其中,E =ax Exm+av Eym+az Ezm ,稱為電場強度復矢量,它含有各分量的振幅和初相兩大要 xyz素.電場強度復矢量是一個為簡化正弦場計算的表示符號,一般不能用三維空間中一個矢量來表示,也不能寫成指數形式.例題1將以下場矢量的瞬時值改寫為復數；將場得復矢量寫為瞬時值a、 . ,：xx、(1)H = ax H 0k(一)sin(一)sin(kz - t) az H0 cos(一)cos(kz - t) 二 aa(2) Exm = 2

24、jE0 sin 二 cos(kxcosi)eTkzsin )解：(1)由于cos(kz 6t)是偶函數,T T =ax H xm az H zm那么 cos(kz -Ft) = cos仰t - kz)而 sin(kz -0t) = cos(kz -0t -) = cos(ot -kz +-),故Hm = ax H 0k()sin()ekz2 az H 0 cos()e4kz二 aa(2)由于Exmi a_j(kzsin0_?)= 2jE° sin cos(kxcos)edkzsin 71 = 2E0 sin u cos(kxcos)e2故 Ex =2E0 sin ：icos(kxco

25、s " cos( ,t-kzsin 1 一)2(2)麥克斯韋方程組的復數形式 m E = j® B ,此方程組沒有時間因子,注意：式中的場量仍代表復矢量,標量仍代表復數.i B =0t D對于正弦電磁場的求解,我們可根據給出的源寫出其復矢量和復數,然后利用麥克斯韋方程組的復數 形式求出場得復矢量,再由電磁場的復矢量寫出電磁場的正弦表達式.例題2在真空中,正弦電磁波的電場分量為Ez, t) = 3y 103 sin(cot - Pz),求波的磁場分量H(z,t)解：先將波的電場分量寫出復矢量,即 Ey =_j103ej- ,將其代入矢量的麥克斯韋方程組：xE=M0M得：1寸定

26、二LE ,將Ey =_j103ej抬)代入上式可得一"K ' 二R 多H=£jJl103ej 聿,將上式展開取實部得：H(z,t)=-£&103sin儂 t-Pz).0口0(3) 正弦場中的坡印廷定理<SdS=j(Pm+Pe+PT)dT+j2 小田平均 - W坪均)5S其中w平也-U H 2為磁場能量密度的平均值, w平也-中E2為電場能量密度的平均值.這里場 VVm十均H HVV e十均 E E44量三H分別為正弦電場和磁場的幅值.正弦電磁場的坡印廷定理說明：流進閉合面s內的有功功率供閉合面包圍的區域內媒質的各種功率損耗；而流進(或流出)的無功功率代表著電磁波與該區域功率交換的尺度.(4) 亥姆霍茲方程(正弦電磁場波動方程的復數形式)22占k E=0,式中k =0總稱為正弦電磁波的波數.' 2 H k2 H =02、理想介質中的均勻平面波(1)均勻平面波的波動方程及其解平面波是指波陣面為平面的電磁波.均