1、v1.0可編輯可修改微專題“函數的零點”教學環節第一環節：一題多變數形結合探零點高考中，大多數的零點問題基本都要用到數形結合的思想來求解，而直接運用數形結合的思想來探究零點問題多以小題的形式呈現，而且以分段函數的形式居多，為了貼近高考，此環節設置的例題和變式題的函數形式都為分段函數.例題1 (解析式與分段點均確定的零點問題):設函數f(x)2x 1? x<14(x 1)僅 2)? x 1,則函數f(x)的零點為、,_、一,、2x1x<1,一，一變式1:12014福建，文15函數f(x)2l，x1的零點個數是2x6lnx,x1設計意圖：此問題由學生課前預習完成，幫助學生回顧函數零點問

2、題的處理方法：一個原理、兩種方法、三種轉換.讓學生意識到對于分段函數來說，還得根據每一段的定義域來求零點.為后面變式探究打下基礎.小結：在師生的共同探討下，收獲如下：解析式確定的零點問題，不管是不是分段函數，零點問題概括起來就是一個原理一一零點存在性定理，兩種方法一一解出來或畫出來；三種轉化一一轉化為f(x)0型,f(x)c型或者f(x)g(x)型.而分段函數的零點在此基礎上還要結合各段的定義域去確定零點.所蘊含的思想方法有：函數與方程、數形結合、轉化與化歸._x?1?YW*變式2(解析式確定，分段點不定的零點問題)：設函數f(x)21xa,若函數f(x)有兩4(x1)(x2)?xa個零點，則

3、a的取值范圍是.設計意圖：在例題1解析式的基礎上將分段點改為不確定的情況去探求零點.該題由學生先思考后展示，經教師補充后共同提煉出兩種解法：一是先分別作出兩段函數在R上的圖象，再通過分段點的左、右移動來取舍左、右兩段函數的圖象，進而確定滿足條件的分段點的位置.二是通過解方程計算兩段函數零點的取值為0,1,2,找到討論的標準，對a分類討論來求解.變式3(解析式不定，分段點確定的零點問題)：【2015北京，文14】設函數f(x)2xa?x1.若f(x)恰有2個零點，則實數a的取值范圍是4(xa)(x2a)?x1設計意圖：在例題1的基礎上將解析式改為不確定的情況，圖象不定，難度較大.可讓學生先思考然

4、后說出自己的解題方法再計算，最后請代表展示，教師點評.師生共同整理出對于含參的分段函數零點的最優解法：首先在每段中求零點，分析零點與分段點的位置關系找到參數的分類標準，然后將零點進行等價轉化,再運用分類討論的思想，結合圖象找限制條件.通過此變式讓學生體會如何從復雜的情境中準確的找到問題的切入點，同時復習數形結合、分類討論、等價轉化的數學思想.在例1以及3道變式題的基礎上，挑選練習題，進一步鞏固如何運用數形結合的思想來求解零點問題.、,.一.2lxl.x<2一.練習1:12015天津，又8已知函數f(x)2,函數g(x)3f(2x),則函數yf(x)g(x)(x2),x2的零點個數為()A

5、.2B.3C.4D.5設計意圖：分段函數中加絕對值，目標函數也變得復雜，但是求解的方法卻更加靈活、多樣.通過此題進一步鞏固變1知識，同時訓練學生的解題思維.具體有三種做法：一是利用圖象的對稱變換、平移變換等知識，分別作出f(x)與g(x)的草圖，從圖象中發現兩個函數的圖象有兩個交點；二是求出函數yf(x)g(x)的解析式，在每一段中按照例1或變1的方法求零點；三是構造函數h(x)f(x)f(2x),將此問題轉化為求h(x)與y3的交點個數.2(43)30練習2：【2016天津，文14】已知函數f(x)x(4a3)x3a,x0(a0且a1)在R上單調遞減，且關于lOga(x 1) 1,x>

6、 0xx的方程|f(x)|2恰有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是3設計意圖：設置練習2的目的為：鞏固分段點不定零點問題的求法，讓學生感受獲得知識的喜悅，考查學生對此類問題的掌握和理解情況.練習2難度較大，命制中增加了2個限制條件，一是由函數的單調性限制了參數的范圍，二是目標函數中增加了絕對值符號，即解題中需結合函數的翻折變換，利用數形結合的思想找限制條件.通過此題讓學生體會解決此類零點問題的難點并不是零點問題的轉化，而是如何通過畫圖、通過圖象的變換，找到a的限制條件.同時還要注意解題細節，直線y2x與曲線yx2(4a3)x3a相切也符合題意.第二環節：拾級而上借用導數探零點函數的圖象有時并

7、不能直接畫出，或分情況畫出，必須通過求導討論單調性才能畫出，進而探究零點.所以導數在探究零點問題中的工具作用不容小覷，而且這是新課標文科卷近年來考查的熱點，通常以解答題的形式呈現，考查的都是非分段函數的零點，并未涉及到分段函數.例題2：(必修1,88頁例1改編)判斷函數f(x)xlnx2的零點個數.、一一1x1工”萬法一：因為f(x)xlnx2,所以f(x)1-，所以f(x)在(0,1)上-xx單調遞減，在(1,)上單調遞增，所以f(x)minf(1)1,又因為當x接近0時函千數值為正數，同時f(e2)0,結合f(x)的圖象(圖1)可知f(x)的零點有2個.方法二：判斷函數f(x)xlnx2的

8、零點個數，即判斷方程xlnx20根計/的個數，即判斷函數yx2與函數ylnx的交點個數，由圖2可知，它們的交點二-有兩個，所以f(x)的零點有2個.一/I設計意圖：通過例題2進一步鞏固第一環節中解決零點問題的方法，即一個原理，兩種方法，三種轉化.同時指出不同之處為：不再是分段函數，函數的單調性必須借助于求導才能判斷.由學生課前完成.變式1:判斷函數f(x)xlnx2a的零點個數.方法一：因為參數在常數項的位置，它是例2中的函數經過上下平移得到的，由圖象易得：當a1時,無零點；當a1時，有一個零點；當a1時，有兩個零點.方法二：由題意，原問題即判斷函數yx2a與函數ylnx的交點個數，在例2的方

9、法二的基礎上，求出函數ylnx的斜率為1的切線方程為yx1,通過平移函數yx2易得同樣結論.方法三：運用分離參數法.轉化為判斷函數yxlnx2與ya的交點個數問題.由例2中方法一的圖象易得同樣結論.設計意圖：添加參數，參數在常數項的位置.變式2：若函數f(x)xlnx2a在區間1,e2上有一個零點，求a的取值范圍.e，設計意圖：添加區間后，變式1下的三種方法均可行，幫助學生實現方法的自然遷移.變式3:若函數f(x)axlnx2有一個零點，求a的取值范圍.設計意圖：改變參數位置，將參數置于一次項系數位置，增加問題難度，讓學生面對新目標.方法一：因為f(x) ax ln x 2,所以f(x)ax

10、1a一，所以當a<0時，f(x)在(0,)上單調遞 x減，又因為當x接近0時函數值為正數，同時f (1) a 2 0 ,所以函數必定有一個零點.3)上單調遞增，所以f(x)minf(-)a當a0時，易知f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,aalnx有一個交點，而函數y ax 2 y lnx相切時滿足題意，相切時 P(-,ln -),又因為P點在直線a a e .ln x 2"(x 0)有一個交點.因為0即可，解得ae.綜上所述：a<0或ae.方法二：由題意可知，函數yax2與函數y是過定點(0,2)的直線，由圖3,當aW0或直線與1可設切點為P(x0,y0),由一a可

11、知切點坐標為%yax2上，解得ae.綜上所述：a<0或a方法三：分離參數可得.即函數ya與q(x)q(x)1nx1,所以q(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,)上單調遞減，所以xee1q(x)minq(1)e,又因為當x接近0時函數值是負的，當x趨向正無窮時函數值是正的，e由圖4可知，a的取值范圍是a<0或ae.變式4：當a0時，若函數f(x)xalnx有兩個零點，求a的取值范圍.答案為:ae.練習：【2015新課標1,文21】設函數f(x)e2xalnx.討論f(x)的導函數f(x)的零點的個數.第三環節：順藤摸瓜解題規律及時找解題規律：零點問題概括起來就是一個原理一一零點存在

12、性定理，兩種方法一一解出來或畫出來；三種轉化轉化為f(x)0型，f(x)c型或者f(x)g(x)型.數形結合探究含參的分段函數零點具體做法為：首先在每段中求零點，分析零點與分段點的位置關系找到參數的分類標準，然后將零點進行等價轉化，再運用分類討論的思想，結合圖象找限制條件.不僅要用到等價轉化的數學思想、還需用到分類討論和數形結合的思想.借用導數探究一般函數零點具體做法為：1、f(x)0型.求導，對參數分類討論進而討論函數的單調性,確定函數圖象的特征，找參數的限制條件；2、f(x)c型.將函數變形，把參數置于一邊，對新構造的確定v1.0可編輯可修改函數求導，討論函數單調性，確定圖象的特征，最后平

13、移直線yc,找到參數c的限制條件；3、f(x)g(x)型.將函數變形，把函數零點問題轉化為一條直線和一個一般曲線的交點問題，利用導數求曲線的切線，通過圖象找到參數的限制條件.我們應將具體問題轉化為三種類型的某一類，有時還要通過分析、比較找出最優解，也即最佳策略.設計意圖：讓學生對所學的知識有比較全面的認識，引導學生歸納總結解決不同零點問題的處理方法、思想方法和解題步驟，從解決問題的方法、規律、思維策略等方面反思自己的做法，總結解題的經驗教訓，提高解題能力.及時反饋課堂的教學效果，讓復習課更加深刻、細致和精準，從而實現微專題復習課的終極目標.第四環節：回歸梳理，下一輪會更精彩布置學生課后在函數零

14、點的課本習題中，在以前做過和考過的題目中，把與本課相類似的零點問題找出來再做，總結和歸納解題的經驗、感悟、困惑和教訓.同時布置課后練習，為二輪復習打下扎實的基礎.課后練習：IxI.xm1.12016山東，文15】已知函數f(x)|2|,，其中m0.若存在實數b,使得關于x的方x2mx4m,xm程f(x)b有三個不同的根，則m的取值范圍是.(3,)_0,0x<1、一，*.2.12015江蘇，13】已知函數f(x)|lnx|,g(x)；，則萬程|f(x)g(x)1,實根的個數為.|x24|2,x1exax<0.3 .已知函數f(x),0(aR),若函數f(x)在R上有兩個零點，則a的取

15、值范圍是.2x1,x02x2ax,xw134 .已知實數a0,f(x)Ie.yy1若方程f(x)a2有且僅有兩個不等實根，且較大實根大于2,則logx,xi42實數a的取值范圍是.5.12016新課標1,文21已知函數f(x)(x2)exa(x1)2.(I)討論f(x)的單調性；(II)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.6.12014新課標1,文12已知函數f(x)ax33x21,若f(x)存在唯一的零點小,且50,則a的取值范圍是.7.12014陜西，文21】設函數f(x)lnxm,mR.x(n)討論函數g(x)f(x)零點的個數.3設計意圖：進一步鞏固所學，讓學生學會獨立識別題目的類型

16、、聯想方法、選擇思路，在不同的復合情境中抓住題目的本質，尋找解題的規律，“以不變應萬變”.體會函數與方程思想，數形結合思想，轉化與化歸思想.教學反思：本課復習了解決與零點相關問題的兩種基本思路：數形結合；導數法.兩類題型：求零點的個數；已知零點的個數求參數.內容設計層層深入，分段進行，又環環相扣，使學生在接受知識、探究問題的過程中能有一個逐步積累深入、螺旋上升的發展.但本課主要涉及的是數形結合解決分段函數中的零點問題，以及借用導數畫圖象來解決非分段函數的零點問題，對于非分段函數直接畫圖或者通過圖象的變換再畫圖去求解零點的問題，限于課時不能展開.直接解方程求解函數的零點，因為考得較少故而直接忽略

17、掉了.近五年與零點有關的真題搜集如下:1、【2016山東，文15】已知函數| x |, x < mf(x)x2 2mx 4m, x m'其中m 0 .若存在實數b ,使得關于x的方程f(x) b有三個不同的根，則m的取值范圍是2、【2016天津,文14】已知函數2x (4 a 3)x 3a,xx loga(x 1) 1,x> 00(a 0且 a1)在R上單調遞減，且關于 x的方程 | f (x)| 2-恰有兩個不相等的實數解，則 a的取值范圍是33、【2015天津,文8已知函數f(x)2 |x|,x< 22(x 2)2,x 2,函數g(x)f(2x),則函數y f (

18、x) g(x)的零9點的個數為(A.24、12015安徽，文4】下列函數中，既是偶函數又存在零點的是(A. y ln xy cosx5、12015安徽，文14】在平面直角坐標系xOy中，若直線y2a與函數|x a| 1的圖像只有一個交點,則a的值為6、【2015湖南，文14若函數f(x) |2x2| b有兩個零點，則實數 b的取值范圍是7、【2015陜西，文9】設f(x)則 f(x)()A.既是奇函數又是減函數.既是奇函數又是增函數C.是有零點的減函數.是沒有零點的奇函數8、【2015湖北，文13函數f(x)2sin xsin(x2)x2的零點個數為9、【2015江蘇，13已知函數f(x)|l

19、nx|, g(x)0, 0xW1I ,、一r、，“，,則方程| f(x) g(x)| 1 ,實根的個數2_|x 4| 2, x 110、【2014新課標1,文12已知函數f(x)32ax 3x1 ,若f (x)存在唯一的零點小 ,且 0 ,則a的取值范圍是(A. (2,)B . (1,) C .(2) D . (, 1)11、12014湖北，文9】已知f(x)是定義在R上的奇函數,當 x>0 時，f (x) x2 3x,則函數 g(x) f (x) x 3的零點的集合為()A. 1,3 B . 3, 1,1,3C . 2,1,3D. 2 /7,1,312、【2014福建，文15函數f(x

20、)2x 2, x< 02x 6 In x, x的零點個數是013、12013天津，文8】設函數f(x)exx2,g(x)Inxx23.若實數a,b滿足f(a)0,g(b)0,則()A.g(a)0f(b)B.f(b)0g(a)C.0g(a)f(b)D.f(b)g(a)014、12013湖南，文6】函數f(x)lnx的圖象與函數g(x)x24x4的圖象的交點個數()A.0B.1C.2D.315、12013上海，文】方程r913x的實數解為.3116、12013湖北，文12】已知函數f(x)x(lnxax)有兩個極值點，則實數a的取值范圍是()A. (,0)B.(0,L)C.(0,1)D.(0

21、,)17、12013安徽，文10已知函數f(x)x3ax2bxc有兩個極值點x1,x2,若f(xjx1x2,則關于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同實根個數為()A. 318、12012湖北，文】函數B. 4C.5D.6f(x)xcos2x在區間0,2上的零點的個數為()A.2B.3C.4D.511912012北京，文】函數9)x，(1/的零點個數為()2A.0B.1C.2D.3f (x)是f (x)的導函數.當20、12012湖南，文】設定義在R上的函數f(x)是最小正周期為2的偶函數,x0,時，0f(x)1;當x(0,)且x時，(x-)f(x)0.則函數22yf(x)sinx在2

22、,2上的零點個數為()A.2B.4C.5D.821、【2012天津文】已知函數y反J的圖像與函數ykx的圖像恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是|x1|22、12016新課標1,文21已知函數f(x)(x2)exa(x1)2.(I)討論f(x)的單調性；(II)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.23、12016北京，文20】設函數f(x)x3ax2bxc.(I)求曲線yf(x)在點(0,f(0)處的切線方程；(II)設ab4,若函數f(x)有三個不同零點，求c的取值范圍;(III)求證：a23b0是f(x)有三個不同零點的必要而不充分條件.24、【2016江蘇，文19已知函數f(x)axbx

23、(a0,b0,a1,b1).(I)設a2,b2求方程f(x)2的根；若對任意xR,不等式f(2x)>mf(x)6式恒成立，求實數m的最大值；(II)若0a1,b>1,函數g(x)f(x)2有且只有1個零點，求ab的值.25、12015新課標1,文21】設函數f(x)e2xalnx.(I)討論f(x)的導函數f(x)的零點的個數；2(II)證明：當a0時fx>2aaIn.ax226、12015北東，又19設函數fxklnx,k0.2(I)求f(x)的單調區間和極值；(II)證明：若f(x)存在零點，則f(x)在區間(1,%0上僅有一個零點.27、12015廣東，文21】設a為實

24、數，函數fx(xa)2|xaa(a1).(I)若f(0)w1,求a的取值范圍；(n)討論f(x)的單調性；4(出)當a>2時，討論f(x)在區間(0,)內的零點個數.x228、12015山東，文20設函數f(x)(xa)lnx,g(x)與.已知曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線與e直線2xy0平行.(I)求a的值；(n)是否存在自然數k,使得方程f(x)g(x)在(k,k1)內存在唯一的根如果存在，求出k;如果不存在,請說明理由；(III)設函數m(x)minf(x),g(x)(minp,q表示p,q中的較小值)，求m(x)的最大值.29、12015四川，文21已知函數f(x)2x

25、lnxx22axa2,其中a0.(I)設g(x)為f(x)的導函數，討論g(x)的單調性；(n)證明：存在a(0,1),使得f(x)>0恒成立，且f(x)0在區間(1,)內有唯一解.30、12015浙江，文20設函數f(x)x2axb,(a,bR).2,、-a.(I)當b1時，求函數f(x)在1,1上的最小值g(a)的表達式；4(n)已知函數f(x)在1,1上存在零點，0Wb2aW1,求b的取值范圍.31、【2014湖南，文21】已知函數f(x)xcosxsinx1(x0).(I)求f(x)的單調區間；1112(n)記為為f(x)的從小到大的第i(iN)個零點，證明：對一切nN，有，二二x1x2xn332、12014陜西，文21】設函數f(x)lnxm,mR.x(I)當mee(e為自然對數的底數)時，求f(x)的極小值；(n)討論函數g(x)f(x)個零點的個數；3(出)若對任意ba0,-f-(b)一f-(a)1恒成立，求m的取值范圍.ba33、12014四川，文21已知函數f(x)exax2bx1,其中a,bR,e2.71828為自然對數的底數.(I)設g(x)是函數f(x)的導函數，求函數g(x)在區間0,1上的最小值；(n)若f(1)0,函數f(x)在區間(0,1)內有零點，證明：e2a1.34、【2013江蘇，文】設函數f(x)l