1、小學數學奧數基礎教程(五年級)本教程共30講奇偶性（三）利用奇、偶數的性質，上兩講已經解決了許多有關奇偶性的問題。本講將繼續利用奇偶性研究一些表面上似乎與奇偶性無關的問題。例1 在7×7的正方形的方格表中，以左上角與右下角所連對角線為軸對稱地放置棋子，要求每個方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，則在這條對角線上的格子里至少放有一枚棋子，這是為什么？分析與解：題目說在指定的這條對角線上的格子里必定至少放有一枚棋子，假設這個說法不對，即對角線上沒放棋子。如下圖所示，因為題目要求擺放的棋子以MN為對稱軸，所以對于MN左下方的任意一格A，總有MN右上方的一格A，A與A關于MN對稱

2、，所以A與A要么都放有棋子，要么都沒放棋子。由此推知方格表中放置棋子的總枚數應是偶數。而題設每行放3枚棋子，7行共放棋子 3×7=21（枚），21是奇數，與上面的推論矛盾。所以假設不成立，即在指定的對角線上的格子中必定至少有一枚棋子。例2 對于左下表，每次使其中的任意兩個數減去或加上同一個數，能否經過若干次后（各次減去或加上的數可以不同），變為右下表？為什么？分析與解：因為每次有兩個數同時被加上或減去同一個數，所以表中九個數碼的總和經過變化后，等于原來的總和加上或減去那個數的2倍，因此總和的奇偶性沒有改變。原來九個數的總和為1+2+9=45，是奇數，經過若干次變化后，總和仍應是奇數，

3、與右上表九個數的總和是4矛盾。所以不可能變成右上表。例3 左下圖是一套房子的平面圖，圖中的方格代表房間，每個房間都有通向任何一個鄰室的門。有人想從某個房間開始，依次不重復地走遍每一個房間，他的想法能實現嗎？分析與解：如右上圖所示，將相鄰的房間黑、白相間染色。無論從哪個房間開始走，因為總是黑白相間地走過各房間，所以走過的黑、白房間數最多相差1。而右上圖有7黑5白，所以不可能不重復地走遍每一個房間。例4 左下圖是由14個大小相同的方格組成的圖形。試問能不能剪裁成7個由相鄰兩方格組成的長方形？分析與解：將這14個小方格黑白相間染色（見右上圖），有8個黑格，6個白格。相鄰兩個方格必然是一黑一白，如果能

4、剪裁成7個小長方形，那么14個格應當是黑、白各7個，與實際情況不符，所以不能剪裁成7個由相鄰兩個方格組成的長方形。例5 在右圖的每個中填入一個自然數（可以相同），使得任意兩個相鄰的中的數字之差（大數減小數）恰好等于它們之間所標的數字。能否辦到？為什么？分析與解：假定圖中5與1之間的中的數是奇數，按順時針加上或減去標出的數字，依次得到各個中的數的奇偶性如下：因為上圖兩端是同一個中的數，不可能既是奇數又是偶數，所以5與1之間的中的數不是奇數。同理，假定5與1之間的中的數是偶數，也將推出矛盾。所以，題目的要求辦不到。例6 下頁上圖是半張中國象棋盤，棋盤上已放有一只馬。眾所周知，馬是走“日”字的。請問

5、：這只馬能否不重復地走遍這半張棋盤上的每一個點，然后回到出發點？分析與解：馬走“日”字，在中國象棋盤上走有什么規律呢？為方便研究規律，如下圖所示，先在棋盤各交點處相間標上和，圖中共有22個和23個。因為馬走“日”字，每步只能從跳到，或由跳到，所以馬從某點跳到同色的點（指或），要跳偶數步；跳到不同色的點，要跳奇數步。現在馬在點，要跳回這一點，應跳偶數步，可是棋盤上共有23+22=45（個）點，不可能做到不重復地走遍所有的點后回到出發點。討論：如果馬的出發點不是在點上而是在點上，那么這只馬能不能不重復地走遍這半張棋盤上的每個點，最后回到出發點上呢？按照上面的分析，顯然也是不可能的。但是如果放棄“回

6、到出發點”的要求，那么情況就不一樣了。從某點出發，跳遍半張棋盤上除起點以外的其它44點，要跳44步，44是偶數，所以起點和終點應是同色的點（指或）。因為44步跳過的點與點各22個，所以起點必是，終點也是。也就說是，當不要求回到出發點時，只要從出發，就可以不重復地走遍半張棋盤上的所有點。練習9 1.教室里有5排椅子，每排5張，每張椅子上坐一個學生。一周后，每個學生都必須和他相鄰（前、后、左、右）的某一同學交換座位。問：能不能換成？為什么？2.房間里有5盞燈，全部關著。每次拉兩盞燈的開關，這樣做若干次后，有沒有可能使5盞燈全部是亮的？3.左下圖是由40個小正方形組成的圖形，能否將它剪裁成20個相同

7、的長方形？4.一個正方形果園里種有48棵果樹，加上右下角的一間小屋，整齊地排列成七行七列（見右上圖）。守園人從小屋出發經過每一棵樹，不重復也不遺漏（不許斜走），最后又回到小屋。可以做到嗎？5.紅光小學五年級一次乒乓球賽，共有男女學生17人報名參加。為節省時間不打循環賽，而采取以下方式：每人只打5場比賽，每兩人之間用抽簽的方法決定只打一場或不賽。然后根據每人得分決定出前5名。這種比賽方式是否可行？6.如下圖所示，將112順次排成一圈。如果報出一個數a（在112之間），那么就從數a的位置順時針走a個數的位置。例如a=3，就從3的位置順時針走3個數的位置到達6的位置；a=11，就從11的位置順時針走

8、11個數的位置到達10的位置。問：a是多少時，可以走到7的位置？練習91.不能。提示:如右圖所示，25個座位分為12白13黑。相鄰座位總是一黑一白，因為只有12個白座位，所以原來坐在黑座位上的13人不可能都換到白座位上。2.不可能。提示：一開始亮著的燈（0盞）是偶數，每次有兩盞燈亮暗發生變化，不改變亮著的燈數的奇偶性，所以亮著的燈數總是偶數，不可能5盞燈都亮著。3.不能。提示：與例4類似。4.不可以。提示：如右圖所示，表示小木屋。守園人只能黑白相間地走，走過的第奇數棵樹是白的，第偶數棵樹是黑的，走過第48棵樹應是黑的，而黑樹與小木屋不相鄰，無法直接回到小木屋。5.不可行。提示：17人每人打5場（次），共打17×5=85（場），即共有85人次參賽。因為每場球是2人打的，每個人都算一次，所以每賽一場球2人次，不論賽多少場球，總計的人次數應是偶數，與共有85人次