1、2.4拋物線2.4.1拋物線及其標準方程一、拋物線的定義一、拋物線的定義定點定點F F定直線定直線l相等相等思考思考: :定義中為什么加上條件定義中為什么加上條件“l不經過不經過F F”? ?提示提示: :若點若點F F在直線在直線l上上, ,滿足條件的動點滿足條件的動點P P的軌跡是過點的軌跡是過點F F且垂且垂直于直于l的直線的直線, ,而不是拋物線而不是拋物線. .二、拋物線的標準方程二、拋物線的標準方程p2p2(- ,0)(- ,0)p2x=x=p2(0, )(0, )p2y=y=p2(0, )(0, )p2y=y=p2判斷判斷:(:(正確的打正確的打“”“”, ,錯誤的打錯誤的打“”

2、)”)(1)(1)拋物線的方程都是二次函數拋物線的方程都是二次函數.(.() )(2)(2)拋物線的焦點到準線的距離是拋物線的焦點到準線的距離是p.(p.() )(3)(3)拋物線的開口方向由一次項確定拋物線的開口方向由一次項確定.(.() )提示提示: :(1)(1)錯誤錯誤. .拋物線的方程不都是二次函數拋物線的方程不都是二次函數, ,如開口向右的如開口向右的拋物線的方程為拋物線的方程為y y2 2=2px(p0),=2px(p0),對任一個對任一個x x的值的值,y,y的值不唯一的值不唯一, ,所以不是二次函數所以不是二次函數. .(2)(2)正確正確. .在拋物線標準方程中在拋物線標準

3、方程中,p0,p0,焦點到準線的距離為焦點到準線的距離為p.p.(3)(3)正確正確. .一次項是一次項是x x項時項時,p0,p0開口向右開口向右,p0,p0,p0開口向上開口向上,p0,p0,pp0,p越大越大, ,拋物線開口越開闊拋物線開口越開闊, ,反之反之越扁狹越扁狹. .(3)(3)四種標準方程的位置的相同點四種標準方程的位置的相同點: :原點在拋物線上原點在拋物線上; ;焦點在坐標軸上焦點在坐標軸上; ;準線與焦點在原點兩側準線與焦點在原點兩側, ,且準線與其中一條坐標軸垂直且準線與其中一條坐標軸垂直. .3.3.拋物線的焦點及開口方向拋物線的焦點及開口方向4.4.拋物線與二次函

4、數的關系拋物線與二次函數的關系二次函數的解析式為二次函數的解析式為y=axy=ax2 2+bx+c(a0),+bx+c(a0),當當b,cb,c為為0 0時時,y=ax,y=ax2 2表示焦點在表示焦點在y y軸上的拋物線軸上的拋物線, ,標準方程為標準方程為x x2 2= y,a0= y,a0時拋物線時拋物線開口向上開口向上,a0,a0a0時時, , 拋物線開口向右拋物線開口向右, ,焦點坐標是焦點坐標是( ,0),( ,0),準線方程是準線方程是x=- ;x=- ;當當a0a0),=2px(p0),則則2 22 2=2p=2p1,1,解得解得p=2,p=2,拋物線方程為拋物線方程為y y2

5、 2=4x;=4x;當拋物線的焦點在當拋物線的焦點在y y軸上時軸上時, ,設拋物線的方程為設拋物線的方程為x x2 2=2py(p0),=2py(p0),則則1 12 2=2p=2p2,2,解得解得p= ,p= ,拋物線方程為拋物線方程為x x2 2= y.= y.方法二方法二: :設所求拋物線的標準方程為設所求拋物線的標準方程為y y2 2=mx=mx或或x x2 2=ny,=ny,將點將點(1,2)(1,2)代入代入, ,得得m=4,n= .m=4,n= .故所求的方程為故所求的方程為y y2 2=4x=4x或或x x2 2= y.= y.14121212【拓展提升拓展提升】1.1.用待

6、定系數法求拋物線標準方程的步驟用待定系數法求拋物線標準方程的步驟2.2.求拋物線的標準方程時需注意的三個問題求拋物線的標準方程時需注意的三個問題(1)(1)把握開口方向與方程間的對應關系把握開口方向與方程間的對應關系. .(2)(2)當拋物線的類型沒有確定時當拋物線的類型沒有確定時, ,可設方程為可設方程為y y2 2=mx=mx或或x x2 2=ny,=ny,這這樣可以減少討論情況的個數樣可以減少討論情況的個數. .(3)(3)注意注意p p與與 的幾何意義的幾何意義. .p2【變式訓練變式訓練】(2013(2013新課標全國卷新課標全國卷)設拋物線設拋物線C:yC:y2 2=2px =2p

7、x (p0)(p0)的焦點為的焦點為F,F,點點M M在在C C上上,|MF|=5,|MF|=5,若以若以MFMF為直徑的圓過點為直徑的圓過點(0,2),(0,2),則則C C的方程為的方程為( () )A.yA.y2 2=4x=4x或或y y2 2=8x B.y=8x B.y2 2=2x=2x或或y y2 2=8x=8xC.yC.y2 2=4x=4x或或y y2 2=16x D.y=16x D.y2 2=2x=2x或或y y2 2=16x=16x【解析解析】選選C.C.由題意知：由題意知： 準線方程為準線方程為x= x= 則由拋物則由拋物線的定義知，線的定義知，x xM M=5- =5- 設

8、以為直徑的圓的圓心為設以為直徑的圓的圓心為所以圓方程為所以圓方程為 又因為過點又因為過點(0,2)(0,2)，所以，所以y yM M=4=4，又因為點在上，所以，又因為點在上，所以16= 16= 解得解得p=2p=2或或p=8p=8，所以拋物線的方程為所以拋物線的方程為y y2 2=4x=4x或或y y2 2=16x.=16x.pF( ,0)2，p2 ，p2，My5( ,)22，22My525(x)(y).224p2p(5)2，類型類型 三三 拋物線的實際應用拋物線的實際應用 【典型例題典型例題】1.1.汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分,

9、 ,燈口所燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直在的圓面與反射鏡的軸垂直, ,燈泡位于拋物線焦點處燈泡位于拋物線焦點處, ,已知燈已知燈口的直徑是口的直徑是24cm,24cm,燈深燈深10cm,10cm,那么燈泡與反射鏡頂點那么燈泡與反射鏡頂點( (即截得拋即截得拋物線頂點物線頂點) )間的距離是間的距離是. .2.2.一輛卡車高一輛卡車高3m,3m,寬寬1.6m,1.6m,欲通過斷面為拋物線形的隧道欲通過斷面為拋物線形的隧道, ,已知已知拱口拱口ABAB寬恰好是拱高寬恰好是拱高CDCD的的4 4倍倍, ,若拱寬為若拱寬為am,am,求能使卡車通過的求能使卡車通過的a a的最小整數值的最小整數值. .

10、【解題探究解題探究】1.1.對于實際問題的拋物線模型對于實際問題的拋物線模型, ,建系有什么原則建系有什么原則? ?2.2.解答實際問題應注意什么解答實際問題應注意什么? ?探究提示探究提示: :1.1.一般地一般地, ,遇拋物線模型的實際問題時遇拋物線模型的實際問題時, ,要注意把拋物線建在要注意把拋物線建在標準位置標準位置, ,即頂點在坐標原點即頂點在坐標原點, ,焦點建在坐標軸上焦點建在坐標軸上. .2.2.解答本類題時解答本類題時, ,一要合理畫出圖形一要合理畫出圖形; ;二要建立恰當的直角坐二要建立恰當的直角坐標系標系; ;三要關注點的坐標和圖形中線段的對應關系三要關注點的坐標和圖形

11、中線段的對應關系. .【解析解析】1.1.取反射鏡的軸即拋物線的對稱軸為取反射鏡的軸即拋物線的對稱軸為x x軸軸, ,拋物線的拋物線的頂點為坐標原點頂點為坐標原點, ,建立直角坐標系建立直角坐標系xOy,xOy,如圖所示如圖所示. .因燈口直徑因燈口直徑|AB|=24,|AB|=24,燈深燈深|OP|=10,|OP|=10,所以點所以點A A的坐標是的坐標是(10,12).(10,12).設拋物線的方程為設拋物線的方程為y y2 2=2px(p0),=2px(p0),由點由點A(10,12)A(10,12)在拋物線上在拋物線上, ,得得12122 2=2p=2p10,10,所以所以p=7.2.

12、p=7.2.所以拋物線的焦點所以拋物線的焦點F F的坐標為的坐標為(3.6,0).(3.6,0).因此燈泡與反射鏡頂點因此燈泡與反射鏡頂點間的距離是間的距離是3.6cm.3.6cm.答案答案: :3.6cm3.6cm2.2.以拱頂為原點以拱頂為原點, ,拱高所在直線為拱高所在直線為y y軸軸, ,建立如圖所示的直角坐標系建立如圖所示的直角坐標系. .設拋物線方程為設拋物線方程為x x2 2=-2py(p0),=-2py(p0),則點則點B B的坐標為的坐標為( ),( ),由點由點B B在拋物線上在拋物線上, ,( )( )2 2=-2p=-2p(- ),p= ,(- ),p= ,拋物線方程為

13、拋物線方程為x x2 2=-ay.=-ay.aa,24a2a4a2將點將點E(0.8,y)E(0.8,y)代入拋物線方程代入拋物線方程, ,得得y=-y=-點點E E到拱底到拱底ABAB的距離為的距離為解得解得a12.21,aa12.21,a取整數取整數, ,aa的最小整數值為的最小整數值為13.13.0.64.aaa0.64y3.44a【拓展提升拓展提升】求解拋物線實際應用題的五個步驟求解拋物線實際應用題的五個步驟【變式訓練變式訓練】某隧道橫斷面由拋物線及矩某隧道橫斷面由拋物線及矩形的三邊組成形的三邊組成, ,尺寸如圖所示尺寸如圖所示, ,某卡車空車某卡車空車時能通過此隧道時能通過此隧道,

14、,現載一集裝箱現載一集裝箱, ,箱寬箱寬3m,3m,車與箱共高車與箱共高4.5m,4.5m,問此車能否通過該隧道問此車能否通過該隧道? ?說明理由說明理由. .【解析解析】在以拋物線的頂點為坐標原點在以拋物線的頂點為坐標原點, ,以過頂點的水平直線以過頂點的水平直線為為x x軸建立的直角坐標系中軸建立的直角坐標系中, ,點點A A的坐標為的坐標為(3,-3),(3,-3),設拋物線方程為設拋物線方程為x x2 2=-2py,=-2py,拋物線方程為拋物線方程為x x2 2=-3y.=-3y.如果此車能通過隧道如果此車能通過隧道, ,卡車和集裝箱應處于以卡車和集裝箱應處于以y y軸為對稱軸的軸為

15、對稱軸的對稱位置對稱位置, ,把點把點(x,-0.5)(x,-0.5)代入代入x x2 2=-3y=-3y得得x x2 2=-3=-3(-0.5),(-0.5),xx1.22.1.22.因此因此, ,高度為高度為4.5m4.5m處處, ,允許的寬度約為允許的寬度約為2 21.22=2.443,1.22=2.440),=2px(p0),則由題意知則由題意知:p=3,:p=3,所求拋物線的方程為所求拋物線的方程為:y:y2 2=6x.=6x.323232323252【拓展提升拓展提升】定義法求拋物線方程的關鍵定義法求拋物線方程的關鍵拋物線的軌跡問題拋物線的軌跡問題, ,既可以用軌跡法直接求解既可以

16、用軌跡法直接求解, ,也可以轉化為也可以轉化為拋物線的定義求解拋物線的定義求解. .后者的關鍵是找到條件滿足動點到定點的后者的關鍵是找到條件滿足動點到定點的距離等于到定直線的距離距離等于到定直線的距離, ,有時需要依據條件進行轉化有時需要依據條件進行轉化. .【易錯誤區易錯誤區】求拋物線焦點和弦長時的誤區求拋物線焦點和弦長時的誤區【典例典例】(2013(2013南昌高二檢測南昌高二檢測) )從拋物線從拋物線y y2 2=4x=4x上一點上一點P P引拋引拋物線準線的垂線物線準線的垂線, ,垂足為垂足為M,M,且且|PM|=5,|PM|=5,設拋物線的焦點為設拋物線的焦點為F,F,則則MPFMP

17、F的面積為的面積為. .【解析解析】拋物線方程為拋物線方程為y y2 2=4x,=4x,則準線方程為則準線方程為x=-1.x=-1. 令令P P點坐標為點坐標為P(xP(x0 0,y,y0 0),),由圖可知由圖可知, ,|PM|=|PM|=x x0 0+1=5.+1=5.xx0 0=4.=4.把把x x0 0=4=4代入代入y y2 2=4x,=4x,解得解得y y0 0= =4,4,MPFMPF的面積為的面積為 |PM|PM|y|y0 0|= |= 5 54=10.4=10.答案答案: :10101212【誤區警示誤區警示】【防范措施防范措施】1.1.準確記住拋物線的焦點和準線準確記住拋物

18、線的焦點和準線在拋物線方程中在拋物線方程中, ,一次項系數與焦點的橫或縱坐標間是一次項系數與焦點的橫或縱坐標間是“4 4倍倍關系關系”, ,要牢記公式要牢記公式, ,不能失誤不能失誤, ,如本例中準線方程為如本例中準線方程為x=-1.x=-1.2.2.加強圖形之間的聯系與直觀性加強圖形之間的聯系與直觀性在解析幾何的解題中在解析幾何的解題中, ,要加強圖形的直觀要加強圖形的直觀, ,對結論性的知識應對結論性的知識應利用圖形加強記憶利用圖形加強記憶, ,避免運算中使用錯誤結論避免運算中使用錯誤結論, ,如本例中如本例中PMPM的的長可表示為長可表示為x x0 0+1=5.+1=5.3.3.注意拋物

19、線定義的應用注意拋物線定義的應用拋物線的定義比較靈活拋物線的定義比較靈活, ,要注意靈活應用要注意靈活應用, ,往往是往往是“看到焦點看到焦點, ,想到準線想到準線; ;看到準線看到準線, ,想到焦點想到焦點”, ,這有利于問題的解決這有利于問題的解決. .【類題試解類題試解】(2013(2013新課標全國卷新課標全國卷)O)O為坐標原點，為坐標原點，F F為拋為拋物線物線C C：y y2 2= = 的焦點，的焦點，P P為為C C上一點，若上一點，若|PF|= |PF|= 則則POFPOF的面積為的面積為( )( )【解析解析】選選C.C.設設P(xP(x1 1,y,y1 1) )，則，則|

20、PF|= |PF|= 解解得得 因為因為P P為為C C上一點，則上一點，則 得得|y|y1 1|= |= 所以所以S SPOFPOF= =4 2x4 2，A.2 B.2 2 C.2 3 D.411pxx24 22，1x3 2.211y4 2x4 23 224，2 6，122 62 3.21.1.拋物線拋物線x=4yx=4y2 2的準線方程是的準線方程是( () )A.y=A.y= B.y=-1B.y=-1 C.x=-C.x=- D.x=D.x=【解析解析】選選C.C.拋物線的標準方程是拋物線的標準方程是y y2 2= x,= x,這里這里p= ,p= ,所以準線方程為所以準線方程為x=- .

21、x=- .121161814181162.2.拋物線拋物線y y2 2=8x=8x的焦點到準線的距離是的焦點到準線的距離是( () )A.1A.1 B.2 B.2 C.4 C.4 D.8 D.8【解析解析】選選C.C.拋物線拋物線y y2 2=8x=8x的焦點坐標為的焦點坐標為(2,0),(2,0),準線方程為準線方程為x=-2,x=-2,所以焦點到準線的距離為所以焦點到準線的距離為4.4.3.3.點點P P為拋物線為拋物線y y2 2=2px=2px上任一點上任一點,F,F為焦點為焦點, ,則以則以P P為圓心為圓心, ,以以|PF|PF|為半徑的圓與準線為半徑的圓與準線l( () )A.A.相交相交 B.B.相切相切C.C.相離相離 D.D.位置由位置由F F確定確定【解析解析】選選B.B.根據拋物線的定義根據拋物線的定義,|PF|,|PF|等于點等于點P P到準線到準線l的距離的距離, ,即圓心即圓心P P到直線到直線l的距離等于半徑的距離等于半徑|PF|,|PF|,所以半徑為所以半徑為|PF|PF|的圓的圓P P與準線與準線l相切相切. .