1、第五章 頻率響應分析法5.1 頻率特性的基本概念 頻率特性的定義 頻率特性和傳遞函數的關系 頻率特性的圖形表示方法5.2 幅相頻率特性（Nyquist圖） 典型環節的幅相特性曲線 開環系統的幅相特性曲線5.3 對數頻率特性（Bode圖） 典型環節的Bode圖 開環系統的Bode圖 最小相角系統和非最小相角系統5.4 頻域穩定判據 奈奎斯特穩定判據 奈奎斯特穩定判據的應用 對數穩定判據5.5 穩定裕度 穩定裕度的定義 穩定裕度的計算5.6 利用開環頻率特性分析系統的性能 低頻漸近線與系統穩態誤差的 關系 中頻段特性與系統動態性能的關系 高頻段對系統性能的影響5.7 閉環頻率特性曲線的繪制 用向量

2、法求閉環頻率特性 尼柯爾斯圖線5.8 利用閉環頻率特性分析系統的性能 閉環頻率特性的幾個特征量 閉環頻域指標與時域指標的關系引言頻率響應法的特點1）由開環頻率特性閉環系統穩定性及性能2）二階系統頻率特性時域性能指標 高階系統頻率特性時域性能指標3）物理意義明確許多元部件此特性都可用實驗法確定 工程上廣泛應用4）在校正方法中，頻率法校正最為方便5.1頻率特性的基本概念1.定義一、 地位：三大分析方法之一二、 特點：以右圖RC網絡為例： 設 求網絡頻率特性頻率特性定義一：頻率特性物理意義：頻率特性是當輸入為正弦信號時，系統穩態輸出（也是一個與輸入同頻率的正弦信號）與輸入信號的幅值比，相角差。又可看

3、出： 一般地：對線性定常系統而言：頻率特性頻率特性定義二：系統傳遞函數中令，即得系統頻率與有密切聯系頻率特性定義三：系統頻率特性例1：已知系統傳遞函數，求？解： 頻率響應法與時域法的不同點：1）輸入是正弦函數2）只研究系統穩態分量(而非過渡過程)中，幅值，相角隨的變化規律系統不同形式的數學描述間的關系：2.頻率特性的表示方法以為例：依頻率特性定義二：在平面上，自變量沿虛軸取值：時，復函數在平面上用復矢量描述，其模和相角的變化規律，即頻率特性。例 表示頻率特性的四種方法：I. 頻率特性.幅相特性（奈奎斯特）.對數頻率特性 （波特圖）對數幅相特性 （尼克爾斯圖）5.2 典型環節的頻率特性1. 典型

4、環節的幅相特性曲線1）比例環節比例環節的傳遞函數為2） 積分環節 微分環節 3） 慣性環節 不穩定環節 ² 關于的幅相特性是半圓的證明證：設實部：虛部：由得：這是 圓心在，半徑為的圓方程， 只有下半圓。² 幅相特性的互相確定由幅相特性曲線形狀由初始點頻率特性可以寫出² 慣性環節是一個低通濾波器非最小相角系統(其相角變化量比最小相角系統大)4） 二階振蕩環節 不穩定二階振蕩環節 1)² 諧振頻率、諧振峰值諧振峰值振蕩環節穩態輸出能達到的最大幅值比諧振頻率使輸出達到幅值時的頻率值推導： （1）令得： 即： （2） （3）² 振蕩環節特點：不同，特性

5、不同時，對應共振現象問題：時，這里為何幅值？| 振蕩環節 幅相曲線由曲線形狀由起點：由處的相角：由處的模值：由確定出的，可寫出：II6) 一階復合微分環節 不穩定的一階復合微分環節III7) 二階復合微分環節不穩定二階復合微分環節 III8) 延遲環節 2 對數頻率特性(Bode圖)1.典型環節的對數頻率特性(波德圖)波德圖坐標的特點：橫軸():按刻度以標定縱軸():波德圖坐標與幅相圖坐標的關系：波德圖的優點： 可將幅值相乘化為對數相加運算 可以在較大的頻段范圍內表示系統頻率特性 可以繪制漸近的對數幅頻特性；可以制作標準樣板，畫出精確的對數頻率特性 利用實驗得出的頻率特性數據，很容易定出 頻率

6、軸等距對應頻率值等比?？v軸是相對的(的點在遠處)II典型環節的對數頻率特性1. 比例環節：2. 3.慣性環節對數相頻特性對稱性的證明：(見右圖)只需證明即可：設4.（與慣性環節的特性對稱與軸）5.振蕩環節對數頻率特性曲線,修正。6.與振蕩環節特性對稱 7. 延遲環節：注意： 對數頻率的特點： 互為倒數的環節之間的對數曲線間的對稱關系 半對數坐標低，慣性，振蕩環節相頻曲線樣板由系統的對數幅頻曲線確定系統傳遞函數(最小相角系統) 53系統開環頻率特性的繪制531開環幅相曲線的繪制例：單位反饋開環傳遞函數：一般地： 起點：(時)完全由中來確定：終點：(時)當時：中間部分由零極點矢量隨的變化趨勢來大致

7、確定。注意問題：1) I型系統：一般不落在虛軸上，時的實部漸近坐標為：2) 當中不含有零點時，及一般會連續減小，曲線是連續收縮的。當有零點時，曲線則則可能會扭曲。3) 特殊點的確定：i） 與負實軸的交點處的頻率及幅值試探，當時ii） 時的頻率和相角試探，當時例1 畫幅相曲線解：例2 畫幅相曲線例4 分析：曲線從負實軸上（下）過？為什么例5 分析：曲線從負實軸上（下）過？為什么與負實軸交點的確定：與例3一樣：試探使：即使故有制作奈奎斯特曲線的一般規律，見當時，情況可能有不同，要具體分析：例6： 求奈奎斯特圖解：分析： 角度，為何從 為何不會出單位圓之外，且時，以進入點?；當時，例：已知開環傳遞函

8、數如下，作幅相特性曲線解：起點，時，與實軸交點（虛部為0的點），令虛部為0：代入實部：實部終點時，例：已知系統開環傳遞函數，畫出其幅相曲線，定出與坐標交點處的參數。 解： 令 令 例：已知單位反饋系統，開環傳遞函數為：求 1）當時：2）畫出時的幅相曲線解：1）時：令即：令即：注：此題可用試探法在平面確定：2）畫出時的幅相特性，如圖532開環對數頻率特性曲線的繪制例1 系統曲線如右，求解：依圖： 轉折頻率(0)例2 最小相角系統曲線如右，求解：依圖 (1)(2)(3)由(2)式 (4)(5)2 開環系統對數頻率特性曲線即：開環系統對數頻率曲線各環節對數頻率曲線之迭加例1：已知 畫對數頻率曲線解：

9、化為標準形式為4個典型環節之組合：1) 比例環節2) 積分環節3) 振蕩環節4) 一階微分繪制開環對數頻率特性的一般步驟：原理：構成的典型環節數步驟：以為例21. 把化為標準形式(開環增益型)2. 將各環節的轉折頻率按順序排出：3. 確定最小轉折頻率左邊的曲線(直線)過，的點斜率為4. 迭加作圖：(在上面直線的基礎上)對數相頻曲線：先畫出各環節相頻曲線，之后逐個疊加。5. 校正(依所需的精度而定) 當二階環節時，要用校正曲線校正 當兩慣性環節轉折頻率很接近時，需要校正6. 檢查 最右邊曲線的斜率 轉折點數(慣性環節數)+(一階復合微分數)+(振蕩環節數)+(二階復合微分數) 相角的最后趨近值開

10、環系統的對數頻率特性（補充）例1 基點基線迭加作圖(如右上圖)幅相曲線如右圖例2 基線例3 已知單位反饋系統，開環傳遞函數如下，畫對數頻率特性，幅相特性 1. 標準形式：2. 轉折頻率：3. 最左端曲線：()點；斜率4. 作圖檢查 右端曲線斜率 轉折點3 最后趨近值已知對數頻率特性，求系統傳遞函數例1：已知最小相角系統的對數幅頻曲線如下圖所示，求解：確定：依圖： (無法確定)例2：已知最小相角系統(最小相角)對數幅頻曲線如右：求解：依圖：確定：依圖：例3：已知最小相角系統相頻特性，求解：例3：已知某開環系統的對數頻率特性曲線如圖所示，求解：依圖：有：1) 定：依圖2) 定兩環節中的”號，作出當

11、兩環節”不同組合時的相頻曲線i） ii） iii） iv） 3)例 某無閉環零點的二階系統，閉環增益。當輸入正弦信號的頻率調到時，相角恰好遲后，從示波器上看到的與波形如右圖所示：求 解：依題意有 由此得出 例4：單位反饋系統開環對數幅頻特性曲線如右下(最小相角)，求閉環系統傳遞函數。解：依對數曲線形狀，可寫出: (0)最左端曲線在處與軸相交。有： (1)依圖，有： (2) (3) 依(3):注，此題的確定可以直接圖 54 頻率域穩定判據奈氏判據是用開環幅相特性判斷閉環系統穩定性的方法。1. 奈氏判據： 解釋：設：其開環零極點分布圖及根軌跡為：由曲線可見： 2. 說明：開環：閉環：閉環特征式：設

12、輔助函數：特點：為具體起見：設 則零點()極點()分布如右圖示：的幅值，相角為：當自變量按右圖走出一條封閉曲線(把整個右半平面包圍進來)時被包圍的(右半s平面)開環極點和閉環極點數之差對討論的系統：，不穩定3. 奈氏判據的應用當虛軸上有開環極點分布時的處理補充大圓弧(當時)補大圓弧的方法：從的點逆時針補個例：作出開環零極點分布圖：(a)作出幅相曲線圖(b):需補充的大圓弧常見曲線 可見，當： (穩定) (不穩定)理由：見根軌跡(c)，小時，根位于左半平面，大時，有兩個根到右半平面。注：1). 的絕對值的最小單位是，順時針包圍為負，逆時針為正。2). 只是開環極點在右半平面的根的個數，而右半平面

13、的開環零點不管。3). 只能是非負整數4. 奈氏判據特點：1). 由開環幅相曲線判斷閉環系統穩定性2). 便于研究當系統結構參數改變時對系統穩定性的影響3). 容易研究包含延遲環節的系統的穩定性4). 推廣之，可用以分析某些非線性系統的穩定性5. 對數穩定判據：奈氏判據移植于對數頻率坐標的結果 包圍點在Bode圖上的特性。 包圍點在左邊有交點 在的頻段范圍內，與線有交點判據：在范圍的頻段中：若變化由相角減小的穿越為負穿越相角增加的穿越為正穿越如上兩例，如開環穩定，則對于： 閉環穩定對于： 閉環穩定1. 2. 看根軌跡3.4. 不穩定5.6.奈奎斯特穩定判據（補充）例1 例2 5.5 穩定裕度(

14、開環頻率指標)問題引出：如右開環傳遞函數為：從奈奎斯特圖曲線上看，閉環系統穩定程度如何，取決于曲線距離點的遠近程度。即閉環系統的穩定程度（穩定儲備量）定義了穩定裕度，分別用處的兩個特征點。動態性能穩定程度§ 穩定裕度的定義1.2. 穩定裕度的幾何意義例：3. 穩定裕度的物理意義系統在方面的穩定儲備量，一般要求4. 穩定裕度與動態性能指標之間有直接聯系對二階系統而言：與之間有一一對應關系。對高階系統而言：用可以近似估算動態性能指標。§ 的計算例1 ：.由奈氏圖求：| 令令 |令 .由Bode圖求| 直接讀圖法 與交點在處直接讀出值與交點在處直接讀| 計算：依圖| 依圖III.

15、 從平面上求試探：當時，當時，例2 單位反饋系統，開環傳遞函數為：求 1) 使的值2) 使的值解：作出對數頻率特性如圖所示：1) 找到的處(對應),使線與相交2) 找到與相交點(對應),在上方量出定出點使線通過點例3 求=？解:作曲線如右由圖有另有：求：整理得：例：作業5-21(3)做法之一已知系統開環傳函：判定其穩定性，求穩定裕度解：用奈氏判據，解析法令作的對數幅頻曲線，交出,(試根得)答：系統不穩定7.Z=P-2N=8. Z=P-2N=例1.型最小相角系統，系統開環頻率特性如右，判定穩定性： 解：由對數判據，在范圍內，兩次負穿越 對應大致作出相應的圖如右：例2.開環傳遞函數：畫出奈奎斯特圖

16、。判定穩定性：解：利用零極點矢量圖作圖：可以作出奈氏圖如右所示畫出對數頻率特性：可見 討論：k變化時，曲線上下移動不變。 但不論K怎樣變動，負穿越點總在>0范圍內?？偛环€定。2.做根軌跡驗證：1. 定義：相角裕度 幅值裕度 的幾何意義 的物理意義若系統頻率特性的相角在原有基礎上再滯后，則閉系統處于臨界穩定若系統的開環增益在原有基礎上再加大倍，則系統處于臨界穩定。分別表示系統在相角、幅值兩個方面的穩定儲備量。當（或）時閉環系統穩定，時不穩定 與閉環系統的性能指標直接相關。對二階系統來說，與之間一一對應。對高階系統來說，用的近似估計性能指標。為使閉環系統獲得滿意的動態過程，一般要求5.5 穩

17、定裕度1. 從開環頻率特性指標估算時域指標系統的穩定程度與動態指標間有密切聯系描述閉環系統穩定程度的開環頻率特性指標為：故：值與動態性能之間有直接聯系。(1) 一階系統注意： 定義及物理意義的不同 時： 0型系統與1型系統有所不同 處，以通過(2) 二階系統l 其中：為轉折頻率對數頻率特性可見各特征量之間的關系：（當保持不變是時）定性分析之間的關系：(由頻域指標時域指標的定量描述)指導思路： (5-76)二階系統曲線二階系統估算時域指標的方法：例：系統如右，估算系統時域指標：解：畫對數幅頻特性(如右下圖)由圖5-95：由圖3-13：l 注： 時， 曲線斜率大小大小的關系 在處最好以通過軸，這樣

18、才能保證較好動態特性 0型二階系統與1型二階系統有所不同 在頻率特性曲線上，不論怎樣，一般都比較接近(3) 高階系統頻域指標之間的統計近似公式： l 高階系統由開環頻域指標的方法l 例：已知單位反饋系統開環傳遞函數，求系統開環頻率指標及動態性能指標系統如右：作出開環對數幅頻曲線估計系統動態性能解：作開環對數幅頻曲線如下頁依圖得： 討論問題：要使原系統中的頻段和相似，可以把降低，此時有：對：三系統性能對比：性能系統310.3370.385.40.45201.265.40.9100.71可見，理想的開環對數頻率特性應具備以下幾點：低頻段：應盡可能抬高一些：中頻段：應以斜率穿過軸，并保持一定的長度：

19、高頻段：應盡可能壓低些：有利抑制噪聲影響注意： 時， 斜率與的關系：斜率大相角大，但不易準確描述 不能以是否以斜率過軸來判定系統穩定性(只能用奈氏判據)低、中、高頻段的劃分是相對的，沒有嚴格的分界線，且與無線電的“高 利用閉環頻率特性分析系統性能：(1). 零頻值(2). 諧振頻率，諧振峰值(3). 帶寬頻率：下降到時的一階系統：二階系統：(以為例)二階欠阻尼系統開、閉環頻率指標與時域指標之間的一一對應關系一般來說開環頻率與閉環頻率屬同一量級，若大都大，若小都小，的大小決定調節時間的大小(二階系統)一般地例1 一臺筆錄儀，其傳遞函數為，要求被測信號的頻率在以內時，記錄的振幅誤差不大于被測信號振

20、幅的10，試計算儀器應有的頻寬解：依題：當時要求：即：例2 已知閉環系統幅頻、相頻特性如右圖所示。試寫出該系統的傳遞函數，并計算該系統的動態性能指標解：依圖可以寫出： (是二階環節) 依圖有： 確定顯然：零頻值 (直流時穩態輸出對輸入之比) 頻“不同5 6系統的閉環頻率特性閉環頻率指標：帶寬頻率：反映快速性：零頻值：(4) 一階系統(見開環時的討論)(5) 二階系統(6) 高階系統：利用近似估計公式：例：作出前例的閉環幅頻曲線，如右圖：找出特征點:2. 三頻段理論例：ll 最小相角系統有一一對應關系可以由直接研究閉環系統性能。l 三頻段：l注： 各頻段分界線沒有明確的劃分標準 與無線電的“低”、“中”、“高”頻概念不同 不能以是否以過線作為判定閉環系統是否穩定的標準 只適用于單位反饋的最小相角系統 5.7頻域性能指標和時域性能指標的關系工程問題常常要求作出一個閉環系統的頻率特性曲線來。但由于一般不易寫成因式連乘積的形式：設故頻率特性不易畫出。需要從入手去研究。二、 閉環頻率特性和等，等圓圖，尼柯爾斯圖線1). 對于單位反饋系統這樣可以確定隨的變化規律，但每對一個都要這樣分析太麻煩，故需研究一個較通用的辦法：2). 作出常數的軌跡等圓，如： 作的垂直平分線，則其上的總為1?？梢宰C明，等軌跡為圓： 證明：設則：上