1、第一章習題2、(ii) 證明：對于22、具體構(gòu)造與之間的一個完全的一一映射.解：記中的有理數(shù)點集為；中的無理數(shù)點集為 ；,作映射 所以 29、求證：中任一集合的導(dǎo)集是閉集.證明：若,則為閉集,否則 要證明為閉集 為的聚點 中含有的無窮多個點也中含有的無窮多個點 從而為閉集30、(i)設(shè)是任意的兩個集合,若,則.證明：為的聚點 為的聚點 (ii)若,求證：是閉集.根據(jù)(i)式可知,則是閉集32、中任一集合的孤立點是至多可數(shù)的證明：先來證明中的孤立點是至多可數(shù)的記為中以有理數(shù)為端點的開區(qū)間全體所成的集合,則為可數(shù)集.設(shè)為中的孤立點全體,則對于任意的,則存在的一個以有理數(shù)為端點的鄰域,使得對于每一個

2、,都做出這樣的一個鄰域,由于每個鄰域中只含有一個中的點,故對于中不同的兩個點對應(yīng)的鄰域，也不同.令則與等價,而,則是至多可數(shù)集,從而是至多可數(shù)集,因此有限個至多可數(shù)集的直積是至多可數(shù)集.33、若不可數(shù),則也不可數(shù).證明：假設(shè)是至多可數(shù)集,則設(shè)為的孤立點全體,則為至多可數(shù)集因為,則為至多可數(shù)集則為至多可數(shù)集與已知矛盾.第二章習題2、求證：證明：因為,所以又因為,而,其中為兩兩不交的開區(qū)間因為開區(qū)間是開集,但是開集不一定是開區(qū)間,所以因此3、設(shè)是兩個不相交的開集,求證：證明：,所以 6、設(shè)求證：證明：要想證明,只需要證明下面來證明,即證明：而同理可證明：10、設(shè)是可測集列,(i)求證：.證明：,左

3、右取測度 (ii)若有,使得,求證：證明：,左右取測度 11、設(shè)可測并且,則.證明：可測 由可測可知可測 而,所以可測 從而可測;可測,而,所以可測.13、設(shè)都可測,求證：.證明：已知可測,則取集合,有 再取,有 結(jié)合上邊兩式便知 20、設(shè)是中測度皆為一的可測集列,求證.證明 22、設(shè)是中的可測集,滿足,求證：.證明：,要證明,只需證明而 第三章習題 4、若對于任何,在可測,求證:在上可測.證明：， 因此在上可測6、求證：為使在上可測,充要條件是對于任意的有理數(shù).證明：必要性因為在上可測,則對于,因此,對于任意的有理數(shù) 充分性對于，存在單調(diào)遞增的有理數(shù)列,且則 因此在上可測8、設(shè)是可測集合上的

4、可測函數(shù)，則對于任何開集和閉集,和是可測集合.證明：，所以 由并集定義可知, 而 10、設(shè)是可測集合上的可測函數(shù)列,求證：中使得收斂的點的全體是可測集.證明：設(shè)中使得收斂的點的全體為集合,而11、設(shè)在上可微,求證：可測.證明：因為在上可微,所以在上連續(xù),因此在上為可測函數(shù).所以 可測14、設(shè)是一列兩兩不相交的可測集,求證為使在上可測的充要條件是對于每一個在上可測.必要性: 由題設(shè)知為可測集,而在上可測,所以與均為可測集,故為可測集,所以在上可測充分性： 已知對于任意的為可測集,由可測集滿足可數(shù)并的性質(zhì)在集合上測 23、設(shè)在可測集上,求證：(i).證明：已知可知對于， (ii) 證明：因為所以因

5、此(iv)當時,證明：對于的任意子列,因為所以,因此存在子列使得又因為，所以因此存在子列，使得,所以27、設(shè)是上的一列實值可測函數(shù),若,求證：證明：因為,則反之不成立.定理3.2.2、設(shè),為可測集合上的可測函數(shù),是實數(shù),當幾乎處處有定義的時候,有都是可測集合上的可測函數(shù).證明：對于；因為可測,則可測,因此可測.因此也可測.第四章習題1、設(shè)非負且，求證在上幾乎處處為零.證明： 所以在上幾乎處處為零2、設(shè),求證：.證明：因為,則由積分的絕對連續(xù)性可知,對于對于當,有因為,則由極限定義可知對于上述的,存在正整數(shù)當時,有因此對于存在正整數(shù)當時,有3、設(shè)是可測集合上的幾乎處處有限的可測函數(shù)列,求證：為了使得充要條件是.證明：必要性因為,所以又因為,所以根據(jù)控制收斂定理可知：充分性：因為,所以如果,則對于任意的,有而與矛盾因此,7、