1、第六節第六節 函數展開成冪級數函數展開成冪級數三三 函數展開成冪級數函數展開成冪級數二二 泰勒級數泰勒級數一一 問題的提出問題的提出2.2.展開式是否唯一展開式是否唯一? ?3.3.在什么條件下才能展開成冪級數在什么條件下才能展開成冪級數? ?1.1.如果能展開如果能展開, , 是什么是什么? ?na上節例題上節例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 即得形如即得形如 函數的展開式函數的展開式.需要考慮需要考慮問題問題 是否存在冪級數在其收斂域內以是否存在冪級數在其收斂域內以 為和函數為和函數? ?)(xf一 問題的提出)()(!)()(! 2)()()(

2、)(00)(200000 xrxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 二 泰勒級數1.1.toylor公式：公式：復習前面的兩個公式復習前面的兩個公式,)()!1()()(10)1( nnnxxnfxr 其中其中 在在 與與 之間之間 0 xx)(!) 0(! 2) 0() 0() 0()()(2xrxnfxfxffxfnnn 2.2.maclaurin公式公式,)!1()()(1)1( nnnxnfxr 其中其中 在在 與與 之間之間 0 xx函數展開冪級數的必要條件函數展開冪級數的必要條件.定理定理1 1 若若 在在 處能展開成冪級數處能展開成冪級數則則 在在 內具有任意階導數內具有任意

3、階導數, ,且且)(xf0 xnnnxxa)(00 )(xf),(0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann證明證明在在 內收斂于內收斂于 ,即即nnnxxa)(00 )(0 x)(xf nnxxaxxaaxf)()()(0010 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn令令 , ,即得即得0 xx 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐項求導任意次逐項求導任意次, ,得得即為泰勒系數即為泰勒系數), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且泰勒系數是唯一的且泰勒系數是唯一的, ,所以所以)(xf的展開式是唯一的的展開式是唯一的.問題

4、問題nnnxxnxfxf)(!)()(000)(? 泰勒級數在收斂區間是否收斂于泰勒級數在收斂區間是否收斂于f(x)? 不一定不一定.定義定義 如果如果f(x)在點在點 處任意階可導處任意階可導,則冪級數則冪級數稱為稱為 在點在點 的泰勒級數的泰勒級數. 稱為稱為在在 點點 的麥克勞林級數的麥克勞林級數.0 xnnnxxnxf)(!)(000)( nnnxnf 0)(!)0()(xf0 x)(xf0 x), 2 , 1 , 0( 0)0()( nfn在在x=0點任意可導點任意可導, ,且且 0, 00,)(21xxexfx例如例如.00 nnx麥克勞林級數為麥克勞林級數為)(xf該級數在該級數

5、在 內和函數內和函數 可見可見. 0)( xs),(除除 外外, 的麥氏級數處處不收斂于的麥氏級數處處不收斂于 .0 s)(xf)(xf函數展開冪級數的充要條件函數展開冪級數的充要條件.)()(!)()(000)(xrxxixfxfninii 證明證明必要性必要性.設設 能展開為泰勒級數能展開為泰勒級數.)(xf),()()(1xsxfxrnn )()(lim1xfxsnn )(limxrnn)()(lim1xsxfnn ;0 定理定理2 2 在點在點 的泰勒級數的泰勒級數, ,在在 內內收斂于收斂于 在在 內內)(xf)(xf)(0 xu 0 x)(0 xu . 0)(lim xrnn充分性

6、充分性),()()(1xrxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxrnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).(xf的泰勒級數收斂于的泰勒級數收斂于)(xf定理定理3 3 設設 在在 上有定義上有定義, , 對對 恒有恒有則則 在在 內可展開成點內可展開成點 的泰的泰勒級數勒級數. .)(xf),(00rxrxx , 0 m)(0 xu, 1 , 0,| )(|)( nmxfn)(xf),(00rxrx 0 x證明證明10)1()()!1()()( nnnxxnfxr ,)!1(10 nxxmn),(00rxrxx , 0)!1(lim10 nxxnn 010)!1

7、(nnnxx在在 收斂收斂),(, 0)(lim xrnn),(00rxrxx 故故可展成點可展成點 的泰勒級數的泰勒級數. .0 x三 函數展開成冪級數1.1.直接法直接法( (泰勒級數法泰勒級數法) )步驟步驟: :;!)()1(0)(nxfann 求求 nxnfxffn!)0()0( )0()(寫出寫出 級數級數: :maclaurin)2(討論討論 或或,)()(mxfn 0lim nnr)3().(xf則級數在收斂區間內收斂于則級數在收斂區間內收斂于解解,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112), 2 , 1 , 0(

8、n nxxnxxe!1! 2112由于由于m的任意性的任意性, 即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx例例1 1xexf )(將將 展開成冪級數展開成冪級數., 0 mxnexf )()(me ,mm 在在 上上解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )()(xfn)2sin( nx1 ),( x且且例例2 2將將 展開成展開成 冪級數冪級數.xxfsin)( x解解,)1)(1()1()()(nnx

9、nxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 r例例3 3 將將 展開成展開成 冪級數冪級數.x)()1()(rxxf 在在 內內, ,若若)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !) 1() 1(!)() 1()!1() 1() 1(nnmmmnnmmnnmm 利用利用)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xxsxs . 1

10、)0( s且且兩邊積分兩邊積分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1 , 1( x牛頓二項式展開式牛頓二項式展開式注意在注意在 處收斂性與處收斂性與 的取值有關的取值有關. .1 x )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnx

11、xxx雙階乘雙階乘21, 1 當當 時時,有有2.2.間接法間接法根據唯一性根據唯一性, , 利用常見展開式利用常見展開式, , 通過變量代換通過變量代換, ,四四則運算則運算, , 恒等變形恒等變形, , 逐項求導逐項求導, , 逐項積分等方法逐項積分等方法, ,求展開式求展開式. .從而可以得到以下幾個常見的展開式從而可以得到以下幾個常見的展開式: : )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn)(sincos xx由由例例4 4 將將 展開成展開成 冪級數冪級數.x211)(xxf 解解)11(,1112 xxxxxn把把 換成換成 得得x2x ,)1(1112422 nnxxxx)11( x例例5 5 將將 展開成展開成 冪級數冪級數. .x)1ln()(xxf 解解,)1(1112 nnxxxx)11( x將上式從將上式從 到到 逐項積分逐項積分, ,得得0 x nxxxxnn 132)1(3121 xxdxx01)1ln()11( x例例